Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về khai triển nhị thức newton cơ bản rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các công thức nhị thức newton cũng như các bài tập nhị thức newton lớp 11 bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Nhắc lại các hằng đẳng thức
$\begin{align} & {{\left( a+b \right)}^{0}}=1 \\ & {{\left( a+b \right)}^{1}}=a+b \\ & {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \\ & {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}} \\ & ……… \\\end{align}$
Định nghĩa
${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+…+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}$
Tính chất của Nhị thức Newton
1. Số các số hạng của công thức là $n+1$
2.Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: $\left( n-k \right)+k=n$
3. Số hạng tổng quát của nhị thức là: ${{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$
(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ${{\left( a+b \right)}^{n}}$)
Tam giác pascal trong khai triển nhị thức
| ${{\left( a+b \right)}^{0}}$ | 1 | |||||
| ${{\left( a+b \right)}^{1}}$ | 1 | 1 | ||||
| ${{\left( a+b \right)}^{2}}$ | 1 | 2 | 1 | |||
| ${{\left( a+b \right)}^{3}}$ | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| ${{\left( a+b \right)}^{4}}$ | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| ${{\left( a+b \right)}^{5}}$ | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1. |
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Khai triển nhị thức Newton sau
| STT | Cho khai triển nhị thức sau | Yêu cầu | ĐA | |
| Số hạng tổng quát | Số hạng thứ k | |||
| 1 | ${{\left( 3x+5 \right)}^{7}}$ | Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ 4 | ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}{{3}^{7-k}}{{5}^{k}}.{{x}^{7-k}}$ | Thứ 4 ® k=3 ® ${{T}_{4}}$ |
| 2 | ${{\left( 1-5x \right)}^{9}}$ | Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ 5 | ${{T}_{k+1}}=C_{9}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{5}^{k}}.{{x}^{k}}$ | Các ý còn lại tương tự. |
| 3 | ${{\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}^{18}}$ | Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ 9 | ${{T}_{k+1}}=C_{18}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{2}^{18-k}}.{{x}^{\frac{18-k}{2}}}$ | |
| 4 | ${{\left( 6x-y \right)}^{6}}$ | Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ 3 | ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{6}^{6-k}}.{{x}^{6-k}}.{{y}^{k}}$ | |
| 5 | ${{\left( \frac{1}{x}-x \right)}^{10}}$ | Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ 7 | ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{x}^{2k-10}}$ | |
| 6 | ${{\left( 2x+{{y}^{2}} \right)}^{28}}$ | Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ 25 | ${{T}_{k+1}}=C_{28}^{k}{{2}^{28-k}}.{{x}^{28-k}}.{{y}^{2k}}$ | |
| 7 | ${{\left( 2\sqrt{x}-4y \right)}^{30}}$ | Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ 16 | ${{T}_{k+1}}=C_{30}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{2}^{30+k}}.{{x}^{\frac{30-k}{2}}}.{{y}^{k}}$ | |
| 8 | ${{\left( \frac{2}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}-\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}^{9}}$ | Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ 8 | ${{T}_{k+1}}=C_{9}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{2}^{9-k}}.{{x}^{\frac{7k-36}{6}}}$ | |
Lời giải
Khai triển nhị thức Newton sau
- ${{\left( 3x+5 \right)}^{7}}$
Theo công thức nhị thức Newton ta có
${{\left( 3x+5 \right)}^{7}}$$=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{3}^{7-k}}{{5}^{k}}.{{x}^{7-k}}}$
Số hạng tổng quát ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}{{3}^{7-k}}{{5}^{k}}.{{x}^{7-k}}$
Số hạng thứ 4(k=3) là ${{T}_{4}}=C_{7}^{3}{{3}^{7-3}}{{5}^{3}}.{{x}^{7-3}}=35375{{x}^{4}}$
- ${{\left( 1-5x \right)}^{9}}$
Theo công thức nhị thức Newton ta có
${{\left( 1-5x \right)}^{9}}$$=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{5}^{k}}.{{x}^{k}}}$
Số hạng tổng quát ${{T}_{k+1}}=C_{9}^{k}{{\left( 1 \right)}^{9-k}}{{\left( -5 \right)}^{k}}=C_{9}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{5}^{k}}.{{x}^{k}}$
Số hạng thứ 5(k=4) là ${{T}_{5}}=C_{9}^{4}{{\left( -1 \right)}^{4}}{{5}^{4}}.{{x}^{4}}=78750{{x}^{4}}$
- ${{\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}^{18}}$
Theo công thức nhị thức Newton ta có
${{\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}^{18}}$$={{\left( 2{{x}^{\frac{1}{2}}}-1 \right)}^{18}}=\sum\limits_{k=0}^{18}{C_{18}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{\left( 2{{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{18-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{18}{C_{18}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{2}^{18-k}}.{{x}^{\frac{18-k}{2}}}}$
Số hạng tổng quát ${{T}_{k+1}}=C_{18}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{2}^{18-k}}.{{x}^{\frac{18-k}{2}}}$
Số hạng thứ 9 là ${{T}_{9}}=C_{18}^{8}{{\left( -1 \right)}^{8}}{{2}^{18-8}}.{{x}^{\frac{18-8}{2}}}={{2}^{10}}.C_{18}^{8}{{x}^{5}}$
- ${{\left( 6x-y \right)}^{6}}$
Theo công thức nhị thức Newton ta có
${{\left( 6x-y \right)}^{6}}$$=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{6}^{6-k}}.{{x}^{6-k}}.{{y}^{k}}}$
Số hạng tổng quát ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{6}^{6-k}}.{{x}^{6-k}}.{{y}^{k}}$
Số hạng thứ 3 (k=2) là ${{T}_{3}}=C_{6}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{6}^{6-k}}.{{x}^{6-k}}.{{y}^{k}}=C_{6}^{2}{{6}^{4}}{{x}^{4}}{{y}^{2}}$
- ${{\left( \frac{1}{x}-x \right)}^{10}}$
Theo công thức nhị thức Newton ta có
${{\left( \frac{1}{x}-x \right)}^{10}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{x}^{2k-10}}}$
Số hạng tổng quát ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{x}^{2k-10}}$
Số hạng thứ 7 (k=6) là ${{T}_{7}}=C_{10}^{6}{{\left( -1 \right)}^{6}}.{{x}^{2.6-10}}=C_{10}^{6}{{x}^{2}}$
- ${{\left( 2x+{{y}^{2}} \right)}^{28}}$
Theo công thức nhị thức Newton ta có
${{\left( 2x+{{y}^{2}} \right)}^{28}}$$=\sum\limits_{k=0}^{28}{C_{28}^{k}{{2}^{28-k}}.{{x}^{28-k}}.{{y}^{2k}}}$
Số hạng tổng quát ${{T}_{k+1}}=C_{28}^{k}{{2}^{28-k}}.{{x}^{28-k}}.{{y}^{2k}}$
Số hạng thứ 25(k=24) là ${{T}_{24}}=C_{28}^{24}{{2}^{28-24}}.{{x}^{28-24}}.{{y}^{224}}={{2}^{4}}C_{28}^{24}{{x}^{4}}{{y}^{48}}$
- ${{\left( 2\sqrt{x}-4y \right)}^{30}}$
Theo công thức nhị thức Newton ta có
${{\left( 2\sqrt{x}-4y \right)}^{30}}$${{\left( 2{{x}^{\frac{1}{2}}}-4y \right)}^{30}}=\sum\limits_{k=0}^{30}{C_{30}^{k}.{{\left( 2{{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{30-k}}.{{\left( -4y \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{30}{C_{30}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{2}^{30+k}}.{{x}^{\frac{30-k}{2}}}.{{y}^{k}}}$
Số hạng tổng quát ${{T}_{k+1}}=C_{30}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{2}^{30+k}}.{{x}^{\frac{30-k}{2}}}.{{y}^{k}}$
Số hạng thứ 16(k=15) là ${{T}_{16}}=C15{{\left( -1 \right)}^{15}}{{2}^{30+15}}.{{x}^{\frac{30-15}{2}}}.{{y}^{15}}=-{{2}^{45}}C_{30}^{15}{{x}^{\frac{15}{2}}}{{y}^{15}}$
- ${{\left( \frac{2}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}-\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}^{9}}$
Theo công thức nhị thức Newton ta có
${{\left( \frac{2}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}-\frac{\sqrt{x}}{2} \right)}^{9}}$${{\left( \frac{2}{{{x}^{\frac{2}{3}}}}–\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}}{2} \right)}^{9}}={{\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}\left( \frac{2}{{{x}^{\frac{2}{3}}}} \right)}}^{9-k}}{{\left( -\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}}{2} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{2}^{9-k}}.{{x}^{\frac{7k-36}{6}}}}$
Số hạng tổng quát ${{T}_{k+1}}=C_{9}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{2}^{9-k}}.{{x}^{\frac{7k-36}{6}}}$
Số hạng thứ 8(k=7) là ${{T}_{8}}=C_{9}^{k}{{\left( -1 \right)}^{7}}{{2}^{9-7}}.{{x}^{\frac{7.7-36}{6}}}=-\frac{1}{{{2}^{5}}}C_{9}^{7}{{x}^{\frac{13}{6}}}$
Bài tập 2:
Tìm hệ số của:
- Số hạng chứa ${{x}^{5}}$ trong khai triển: ${{\left( 2x-1 \right)}^{12}}$.
- Số hạng chứa ${{x}^{11}}$ trong khai triển: ${{\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{x} \right)}^{10}}$.
- Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ trong khai triển: ${{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{14}}$.
- Số hạng chứa ${{x}^{25}}.{{y}^{10}}$ trong khai triển: ${{\left( {{x}^{3}}+xy \right)}^{15}}$.
Lời giải
- ${{\left( 2x-1 \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}}{{\left( 2x \right)}^{12-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}}{{2}^{12-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{12-k}}$
Tại số hạng chứa ${{x}^{5}}$ thì tương ứng với $12-k=5\Rightarrow k=7$.
Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$ là: $C_{12}^{7}{{2}^{5}}{{\left( -1 \right)}^{7}}=-25344$.
- ${{\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{x} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{10-k}}{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{x}^{2\left( 10-k \right)-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{20-3k}}$
Tại số hạng chứa ${{x}^{11}}$ thì tương ứng với $20-3k=11\Rightarrow k=3$.
Vậy hệ số của ${{x}^{11}}$ là: $C_{10}^{3}{{\left( -1 \right)}^{3}}=-120$.
- ${{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{14}}={{x}^{14}}{{\left( x+1 \right)}^{14}}$
$\Rightarrow $ Không tồn tại số hạng chứa ${{x}^{7}}$.
Vậy hệ số của ${{x}^{7}}$ là: $0$.
- ${{\left( {{x}^{3}}+xy \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{15-k}}{{\left( xy \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{x}^{3\left( 15-k \right)+k}}{{y}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{x}^{45-2k}}{{y}^{k}}$
Tại số hạng chứa ${{x}^{25}}.{{y}^{10}}$ thì tương ứng với $\left\{ \begin{align} & 45-2k=25 \\ & k=0 \\\end{align} \right.\Rightarrow k=10$.
Vậy hệ số của ${{x}^{11}}$ là: $C_{15}^{10}=3003$.
Bài tập 3:
Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển ${{\left( \sqrt{3}-\sqrt{15} \right)}^{6}}$
Lời giải
Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển ${{\left( \sqrt{3}-\sqrt{15} \right)}^{6}}$ là:
${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{\left( \sqrt{3} \right)}^{6-k}}{{\left( -\sqrt{15} \right)}^{k}}={{\left( -1 \right)}^{k}}C_{6}^{k}{{3}^{3}}{{5}^{\frac{k}{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 0\le k\le 6 \right)$
${{T}_{k+1}}$ là số hạng hữ tỉ $\Leftrightarrow \frac{k}{2}$ là một số tự nhiên $\Leftrightarrow k$ chia hết cho 2 $\Leftrightarrow k\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0;2;4;6\}$ (vì $0\le k\le 6$)
Vậy trong khai triển các số hạng hữu tỉ x là số hạng thứ 1; 3; 5; 7
${{T}_{1}}={{\left( -1 \right)}^{0}}C_{6}^{0}{{3}^{3}}{{5}^{\frac{0}{2}}}\,=27$ ${{T}_{2}}={{\left( -1 \right)}^{2}}C_{6}^{2}{{3}^{3}}{{5}^{\frac{2}{2}}}\,=2025$
${{T}_{5}}={{\left( -1 \right)}^{4}}C_{6}^{4}{{3}^{3}}{{5}^{\frac{4}{2}}}\,=10125$ ${{T}_{7}}={{\left( -1 \right)}^{6}}C_{6}^{6}{{3}^{3}}{{5}^{\frac{6}{2}}}\,=3375$
Bài tập 4:
Tìm hệ số của số hạng trong khai triển sau:
- Tìm hệ số của ${{x}^{6}}$ trong khai triển của biểu thức: $A={{\left( 2x-1 \right)}^{11}}+{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{7}}$.
- Tìm hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triển của biểu thức: $A={{\left( x+1 \right)}^{10}}+{{\left( x-1 \right)}^{5}}$.
- Khai triển $P\left( x \right)$ dưới dạng: $P\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$
a) Tìm hệ số ${{a}_{9}}$: $P\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{9}}+{{\left( 1+x \right)}^{10}}+{{\left( 1+x \right)}^{11}}+…+{{\left( 1+x \right)}^{14}}$.
b) Tìm hệ số ${{a}_{15}}$: $P\left( x \right)=\left( 1+x \right)+2{{\left( 1+x \right)}^{2}}+3{{\left( 1+x \right)}^{3}}+…+20{{\left( 1+x \right)}^{20}}$.
Lời giải
- $A={{\left( 2x-1 \right)}^{11}}+{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{7}}=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}}{{\left( 2x \right)}^{11-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}+\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{7-k}}{{.1}^{k}}=$
$=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}}.{{\left( -1 \right)}^{k}}{{.2}^{11-k}}.{{x}^{11-k}}+\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}}.{{x}^{14-2k}}$
Ta có hệ số của ${{x}^{6}}$ trong ${{\left( 2x-1 \right)}^{11}}$ thì tương ứng với $11-k=6\Rightarrow k=5$ là ${{\left( -1 \right)}^{5}}{{.2}^{6}}.C_{11}^{5}$.
Ta có hệ số của ${{x}^{6}}$ trong ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{7}}$ thì tương ứng với $14-2k=6\Rightarrow k=4$ là $C_{7}^{4}$.
Vậy hệ số của ${{x}^{6}}$ là: ${{\left( -1 \right)}^{5}}{{.2}^{6}}.C_{11}^{5}+C_{7}^{4}$.
- $A={{\left( x+1 \right)}^{10}}+{{\left( x-1 \right)}^{5}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{x}^{10-k}}{{.1}^{k}}+\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}}{{x}^{5-k}}.{{\left( -1 \right)}^{k}}=$
$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}.{{x}^{10-k}}+\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}}.{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{x}^{5-k}}$
Ta có hệ số của ${{x}^{3}}$ trong ${{\left( x+1 \right)}^{10}}$ thì tương ứng với $10-k=3\Rightarrow k=7$ là $C_{10}^{7}$.
Ta có hệ số của ${{x}^{3}}$ trong ${{\left( x-1 \right)}^{5}}$ thì tương ứng với $5-k=3\Rightarrow k=2$ là ${{\left( -1 \right)}^{2}}.C_{5}^{2}=C_{5}^{2}$.
Vậy hệ số của ${{x}^{3}}$ là: $C_{10}^{7}+C_{5}^{2}=130$.
3. a) $P\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{9}}+{{\left( 1+x \right)}^{10}}+{{\left( 1+x \right)}^{11}}+…+{{\left( 1+x \right)}^{14}}=$
$=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}}.{{x}^{k}}+\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}.{{x}^{k}}+…+\sum\limits_{k=0}^{14}{C_{14}^{k}}.{{x}^{k}}$
Hệ số của ${{a}_{9}}$ là hệ số của ${{x}^{9}}$ tương ứng với $k=9$: $C_{9}^{9}+C_{10}^{9}+…+C_{14}^{9}=3003$
b) Tương tự như câu a ta có hệ số của ${{a}_{15}}$ là hệ số của ${{x}^{15}}$: $15C_{15}^{15}+16C_{16}^{15}+…+20C_{20}^{15}=400995$.
Bài tập 5:
Tính tổng $S=C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+12C_{n}^{3}+….+n{{.2}^{n-1}}C_{n}^{n}+n{{.4}^{n-1}}C_{n}^{0}-\left( n-1 \right){{.4}^{n-2}}C_{n}^{1}+\left( n-2 \right){{.4}^{n-2}}C_{n}^{3}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}.2C_{n}^{n-1}.$
Lời giải
Ta có:
+ ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+….+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$
Đạo hàm 2 vế: $n{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}x+….+nC_{n}^{n}{{x}^{n-1}}$
Thay $x=2,$ ta được $n{{.3}^{n-1}}=C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+12C_{n}^{3}+….+nC_{n}^{n}{{.2}^{-n+1}}$
+ ${{\left( 2x-1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{\left( 2x \right)}^{n}}-C_{n}^{1}{{\left( 2x \right)}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{\left( 2x \right)}^{n-2}}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}\left( 2x \right)+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}$
Đạo hàm 2 vế: $2n{{\left( 2x-1 \right)}^{n-1}}=2nC_{n}^{0}{{\left( 2x \right)}^{n-1}}-2\left( n-1 \right)C_{n}^{1}{{\left( 2x \right)}^{n-2}}+2\left( n-2 \right)C_{n}^{2}{{\left( 2x \right)}^{n-3}}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}.2C_{n}^{n-1}$
Thay $x=2,$ ta được $n{{.3}^{n-1}}=n{{.4}^{n-1}}C_{n}^{0}-\left( n-1 \right){{4}^{n-2}}C_{n}^{1}+\left( n-2 \right){{4}^{n-3}}C_{n}^{3}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}2C_{n}^{n-1}$
$\Rightarrow S=2n{{.3}^{n-1}}.$
Bài tập 6:
Chứng minh đẳng thức sau:
$C_{n}^{0}+\frac{3}{2}C_{n}^{1}+\frac{5}{4}C_{n}^{3}+…+\frac{{{2}^{n}}+1}{{{2}^{n}}}C_{n}^{n}=\frac{{{2}^{2n}}+{{3}^{n}}}{{{2}^{n}}}-1\,\left( 0\le k\le n,k\in \mathbb{N},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
Lời giải
Xét khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{k}{{x}^{k}}+…+C_{n}^{n}{{x}^{n}}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$
Thay $x=\frac{1}{2}$ ta được ${{\left( \frac{3}{2} \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+\frac{1}{2}C_{n}^{1}+\frac{1}{4}C_{n}^{2}+\frac{1}{8}C_{n}^{3}+…+\frac{1}{{{2}^{k}}}C_{n}^{k}+…+\frac{1}{{{2}^{n}}}C_{n}^{n}$ (1)
Thay $x=1$ ta được ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+…+C_{n}^{k}+…+C_{n}^{n}$ (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
$C_{n}^{0}+\frac{3}{2}C_{n}^{1}+\frac{5}{4}C_{n}^{3}+…+\frac{{{2}^{n}}+1}{{{2}^{n}}}C_{n}^{n}=\frac{{{2}^{2n}}+{{3}^{n}}}{{{2}^{n}}}-1\,$.
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 7:
Chứng minh: $C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+…+\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}+nC_{n}^{n}=n{{.2}^{n-1}}$.
Lời giải
Đặt $S=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+…+\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}+nC_{n}^{n}$. (1)
Áp dụng công thức$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\left( 0\le k\le n,k\in \mathbb{N},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$, ta có:
$\begin{align} & C_{n}^{1}=C_{n}^{n-1} \\ & 2C_{n}^{2}=2C_{n}^{n-2} \\ & 3C_{n}^{3}=3C_{n}^{n-3} \\ & ……………. \\ & \left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}=\left( n-1 \right)C_{n}^{1} \\ & nC_{n}^{n}=nC_{n}^{0} \\\end{align}$
Cộng vế với vế ta được: $S=C_{n}^{n-1}+2C_{n}^{n-2}+3C_{n}^{n-3}+…+\left( n-1 \right)C_{n}^{1}+nC_{n}^{0}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $2\text{S}=n\left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+…+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n} \right)$.
Xét khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
Thay $x=1$ ta được ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$.
Do đó $2\text{S}=n{{2}^{n}}.$ Hay $S=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+…+\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}+nC_{n}^{n}=n{{2}^{n-1}}.$
Bài tập 8:
Xét đa giác lồi có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đều đó.
Lời giải
Giả sử đa giác lồi có n cạnh $\left( n\in \mathbb{N},n\ge 3 \right)$. Khi đó đa giác lồi có n đỉnh. Nối hai đỉnh ta được một cạnh hoặc một đường chéo. Ta có $C_{n}^{2}$ cách nối 2 trong n đỉnh, do đó tổng số cạnh và đường chéo là $C_{n}^{2}$.
Số đường chéo của đa giác là $C_{n}^{2}-n$.
Số cạnh của đa giác là $n$.
Từ giả thiết ta có $C_{n}^{2}-n=2n$
Hay $C_{n}^{2}=3n\Leftrightarrow \frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}=3n\Leftrightarrow \left( n-1 \right)n=6n$ $\xrightarrow{\text{v }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ }\,\,n\ne 0}n=7\,$.