Lý thuyết và bài tập mẫu nguyên hàm

Trong bài viết này, các bạn hãy cùng Khoa Cử đi tìm hiểu lý thuyết nguyên hàm, tính chất nguyên hàm, các phương pháp tính nguyên hàm cùng các bài tập mẫu đầy đủ các dạng để các bạn tham khảo. Khoa cử hy vọng rằng với những thông tin được chia sẽ bên dưới đây sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 12!

I. LÝ THUYẾT NGUYÊN HÀM

Kí hiệu $\text{K}$ là một khoảng, hay một đoạn hay một nửa khoảng.

1) Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\text{K}$. Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$trên $\text{K}$nếu ${F}’\left( x \right)=f\left( x \right)$ với mọi x thuộc $\text{K}$.

2) Định lý nguyên hàm

• Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\text{K}$thì $\forall C\in \text{R}$ hàm số $F\left( x \right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\text{K}$.
• Đảo lại nếu $F\left( x \right),\,G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\text{K}$thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $F\left( x \right)=G\left( x \right)+C$

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ký hiệu là  $\int{f\left( x \right)=F\left( x \right)+C}$.

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên $\text{K}$ đều có nguyên hàm trên $\text{K}$”

3) Tính chất của nguyên hàm.

• Nếu $f,g$ là hai hàm số liên tục trên $\text{K}$thì $\int{\left[ f(x)\pm g(x) \right]}\text{d}x=\int{f(x)\text{d}x\pm \int{g(x)\text{d}x}}$.
• $\int{kf(x)\text{d}x=k\int{f(x)\text{d}x}}$ với mọi số thực $k$ khác 0.

Suy ra$\int{\left[ k.f(x)+l.g(x) \right]}\text{d}x=k\int{f(x)\text{d}x+l\int{g(x)\text{d}x}}$

• ${{\left( \int{f(x)\text{d}x} \right)}^{\prime }}=f(x)$.

4) Công thức nguyên hàm từng phần

                     $\int{u\text{d}v}=uv-\int{v\text{d}u}$.

5) Công thức đổi biến số

                     $\int{f\text{ }\!\![\!\!\text{ }u\left( x \right)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }{u}’\left( x \right)\text{d}x}=F\text{ }\!\![\!\!\text{ }u\left( x \right)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }+C$.

6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp

Hàm sơ cấp	Hàm số hợp$u=u\left( x \right)$	Thường gặp
$\,1)\int{\text{d}x}=x+C$	$\,1)\int{\text{d}u}=u+C$.	1) Vi phân $\,\,\,\text{d}\left( ax+b \right)=\frac{1}{a}\text{d}x$
$2)\,\int{{{x}^{\alpha }}\text{d}x}=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+C\,\,\,\left( \alpha \ne -1 \right)$	$2)\,\int{{{u}^{\alpha }}\text{d}u}=\frac{{{u}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+C\,\,\,\left( \alpha \ne -1 \right)$	$2)\,\int{{{\left( a\,x+b \right)}^{\alpha }}\text{d}x=\frac{1}{a}}\cdot \frac{1}{\alpha +1}{{(ax+b)}^{\alpha +1}}+C$
$3)\,\,\int{\frac{\text{d}x}{x}}=\ln \left| x \right|+C\,\,\,\left( x\ne 0 \right)$	$3)\,\,\int{\frac{\text{d}u}{u}}=\ln \left| u \right|+C\,\,\,\left( u\left( x \right)\ne 0 \right)$	$3)\,\,\int{\frac{\text{d}x}{ax+b}}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\,\,\,\left( a\ne 0 \right)$
$4)\,\int{\cos x\text{d}x}=\sin x+C$	$4)\,\int{\cos u\text{d}u}=\sin u+C$	$4)\,\int{\cos (ax+b)\text{d}x}=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C\,$
$5)\,\int{\sin x\text{d}x}=-\cos x+C$	$5)\,\int{\sin u\text{d}u}=-\cos u+C$	$5)\,\int{\sin (ax+b)\text{d}x}=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C\,$
$6)\,\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}=\tan x+C$ Với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi $	$6)\,\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}\text{d}u}=\tan u+C$ Với $u\left( x \right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi $	$6)\,\int{\frac{\text{d}x}{{{\cos }^{2}}\left( ax+b \right)}}=\frac{1}{a}\tan \left( ax+b \right)+C$
$7)\,\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\text{d}x}=-\cot x+C$. Với $x\ne k\pi $	$7)\,\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}u}\text{d}u}=-\cot u+C$ Với $u\left( x \right)\ne k\pi $	$7)\,\int{\frac{\text{d}x}{{{\sin }^{2}}\left( ax+b \right)}}=\frac{-1}{a}\cot \left( ax+b \right)+C$
$8)\,\int{{{e}^{x}}\text{d}x}={{e}^{x}}+C$	$8)\,\int{{{e}^{u}}\text{d}u}={{e}^{u}}+C$	$8)\,\int{{{e}^{ax+b}}\text{d}x}=\frac{1}{a}{{e}^{ax+b}}+C$
$9)\,\int{{{a}^{x}}\text{d}x}=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C\,\,\,\left( 0<a\ne 1 \right)$	$9)\,\int{{{a}^{u}}\text{d}u}=\frac{{{a}^{u}}}{\ln a}+C\,\,\,\left( 0<a\ne 1 \right)$	$9)\,\int{{{a}^{px+q}}\text{d}x}=\frac{1}{p.\ln a}{{a}^{px+q}}+C\,\,\,\left( 0<a\ne 1 \right)$.

II. BÀI TẬP MẪU NGUYÊN HÀM

Câu 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây

a) $\int{x\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}\text{d}x}$

b) $\int{\frac{1}{x\sqrt{x+1}}\text{d}x}$

c) $\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}\,\text{d}x}$

Lời giải

a) Xét $\int{x\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}\text{d}x}$.

Đặt $t=\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{4}}=1-{{x}^{2}},$ suy ra $4{{t}^{3}}\text{d}t=-2x\text{d}x\Rightarrow -2{{t}^{3}}\text{d}t=x\text{d}x$

Khi đó $\int{x\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}\text{d}x}=-2\int{t.{{t}^{3}}\text{d}t=}-\frac{2{{t}^{5}}}{5}+C=-\frac{2\left( 1-{{x}^{2}} \right)\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}}{5}+C$

b) Xét $\int{\frac{1}{x\sqrt{x+1}}\text{d}x}$.

Khi đó $\int{\frac{1}{x\sqrt{x+1}}\text{d}x}=\int{\frac{2t}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)t}\text{d}t}=\int{\frac{2}{{{t}^{2}}-1}\text{d}t}=\int{\left( \frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1} \right)\text{d}t}$

$=\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|+C=\ln \left| \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \right|+C$

c) Xét $\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}\,\text{d}x}=\int{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}.x\text{d}x}$.

Khi đó $\int{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}.x\text{d}x}=\int{\left( {{t}^{2}}-9 \right)t.t\text{d}t}=\int{\left( {{t}^{4}}-9{{t}^{2}} \right)\text{d}t}$$=\frac{{{t}^{5}}}{5}-3{{t}^{3}}+C.$

Như vậy $\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+9}\,\text{d}x}=\frac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+9} \right)}^{5}}}{5}-3{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+9} \right)}^{3}}+C$

Xem thêm: Các dạng bài tập về nguyên hàm đầy đủ chi tiết nhất

Câu 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây

a) $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x-1}{x\ln x}\text{d}x}$

b) $\int{\frac{x\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}$

c) $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x\left( 1+\sqrt{\ln x+1} \right)}\text{d}x}$

Lời giải

a) Xét $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x-1}{x\ln x}\text{d}x}$.

Đặt $t=\ln x,$ suy ra $\text{d}t=\frac{1}{x}\text{d}x$

Khi đó $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x-1}{x\ln x}\text{d}x}=\int{\frac{{{t}^{2}}-1}{t}\text{d}t}=\int{\left( t-\frac{1}{t} \right)\text{d}t}=\frac{{{t}^{2}}}{2}-\ln \left| t \right|+C=\frac{{{\ln }^{2}}x}{2}-\ln \left| \ln x \right|+C$

b) Xét $\int{\frac{x\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}$.

Đặt $t=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)$, suy ra $\text{d}t=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x\Rightarrow \frac{1}{2}\text{d}t=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x$.

Khi đó $\int{\frac{x\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}=\frac{1}{2}\int{t\text{d}t}=\frac{1}{4}{{t}^{2}}+C=\frac{1}{4}{{\ln }^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+C$.

c) Xét $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x\left( 1+\sqrt{\ln x+1} \right)}\text{d}x}$.

Đặt $t=1+\sqrt{1+\ln x}\Rightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}=1+\ln x\Leftrightarrow \ln x={{t}^{2}}-2t$

suy ra $\frac{\text{d}x}{x}=\left( 2t-2 \right)\text{d}t$.

Khi đó $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x\left( 1+\sqrt{\ln x+1} \right)}\text{d}x}=\int{\frac{{{\left( {{t}^{2}}-2t \right)}^{2}}}{t}\cdot \left( 2t-2 \right)\text{d}t}$

$=2\int{\left( {{t}^{4}}-5{{t}^{3}}+8{{t}^{2}}-4t \right)\text{d}t}=\frac{2}{5}{{t}^{5}}-\frac{5}{2}{{t}^{4}}+\frac{16}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+C$.

Như vậy $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x\left( 1+\sqrt{\ln x+1} \right)}\text{d}x}=\frac{2}{5}{{t}^{5}}-\frac{5}{2}{{t}^{4}}+\frac{16}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+C$ với $t=1+\sqrt{\ln x+1}$

Câu 3: Tìm nguyên hàm

$I=\int{\frac{\sin 2x+3\cos x}{1+\sqrt[3]{1+2\sin x}}dx}$

$J=\int{\frac{\sqrt[3]{{{\sin }^{3}}x-\sin x}}{{{\sin }^{3}}x}\cot x.dx}$

$K=\int{\frac{4{{\sin }^{2}}3x+\sin 4x}{\tan x+\cot 2x}dx}$.

Lời giải

1. Ta có: $I=\int{\frac{(2\sin x+3)\cos xdx}{1+\sqrt[3]{1+2\sin x}}}$.

Đặt $t=1+\sqrt[3]{1+2\sin x}\Rightarrow \sin x=\frac{{{(t-1)}^{3}}-1}{2}$$\Rightarrow \cos xdx=\frac{3}{2}{{(t-1)}^{2}}dt$

$\Rightarrow I=\int{\frac{\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(t-1)}^{2}}+2]\frac{3}{2}{{(t-1)}^{2}}dt}{t}}=\frac{3}{2}\int{\frac{({{t}^{2}}-2t+3)({{t}^{2}}-2t+1)dt}{t}}$

$=\frac{3}{2}\int{\left( {{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+8t-8+\frac{3}{t} \right)dt}=\frac{3}{2}\left[ \frac{{{t}^{4}}}{4}-\frac{4{{t}^{3}}}{3}+4{{t}^{2}}-8t+3\ln \left| t \right| \right]+C$, với $t=1+\sqrt[3]{1+2\sin x}$

2. Ta có: $J=\int{\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}.\cot x.\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx}=\int{\sqrt[3]{{{\cot }^{2}}x}.\cot x.\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx}$

Đặt $t=\cot x\Rightarrow dt=-\frac{dx}{{{\sin }^{2}}x}$$\Rightarrow J=-\int{\sqrt[3]{{{t}^{2}}}.tdt}=-\int{{{t}^{\frac{5}{3}}}dt}=-\frac{3}{8}{{t}^{\frac{8}{3}}}+C$

3. Ta có: $\frac{4{{\sin }^{2}}3x+\sin 4x}{\tan x+\cot 2x}=\frac{2(1-\cos 6x)+\sin 4x}{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos 2x}{\sin 2x}}$

$=\left( \sin 4x-2\cos 6x+2 \right)\sin 2x=\sin 6x\sin 2x-2\cos 6x.\sin 2x+2\sin 2x$

$=\frac{1}{2}\cos 4x-\frac{1}{2}\cos 8x-\sin 8x+\sin 4x+2\sin 2x$

$K=\frac{1}{8}\sin 4x-\frac{1}{16}\sin 8x+\frac{1}{8}\cos 8x-\frac{1}{4}\cos 4x-\cos 2x+C$

Câu 4: Tính tích phân bất định

a/ $\int{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}}$ b/ $\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}}$

Lời giải

a/ Đặt: x = sint; t$\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow dx=c\text{ostdt}$

Suy ra: $\frac{dx}{\sqrt{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}=\frac{c\text{ostdt}}{\sqrt{{{\left( \text{1-si}{{\text{n}}^{\text{2}}}t \right)}^{3}}}}=\frac{c\text{ostdt}}{\text{co}{{\text{s}}^{\text{3}}}t}=\frac{dt}{c\text{o}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}=d\left( \tan t \right)$.

Khi đó: $\int{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}}=\int{d\left( \tan t \right)=\tan t+C=\frac{\sin t}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}}=\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}+C}$

b/ Vì: ${{x}^{2}}+2x+3={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}$, nên

Đặt: $x+1=\sqrt{2}\tan t;t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow dx=\sqrt{2}.\frac{dt}{c\text{o}{{\text{s}}^{\text{2}}}t};\tan t=\frac{x+1}{\sqrt{2}}$

Suy ra: $\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}=\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\frac{dt}{\sqrt{2\left( {{\tan }^{2}}t+1 \right)}.c\text{o}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}=\frac{dt}{\sqrt{2}c\text{ost}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{c\text{ostdt}}{\text{1-si}{{\text{n}}^{\text{2}}}t}$

$=-\frac{1}{2\sqrt{2}}.\left( \frac{c\text{ostdt}}{\text{sint-1}}-\frac{c\text{ostdt}}{\text{sint+1}} \right)$.

Khi đó: $\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\left( \frac{c\text{ostdt}}{\text{sint-1}}-\frac{c\text{ostdt}}{\text{sint+1}} \right)=}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln \left| \frac{\sin t-1}{\sin t+1} \right|+C$(*)

Từ: $\tan t=\frac{x+1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}t=\frac{{{\sin }^{2}}t}{1-{{\sin }^{2}}t}=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}\Rightarrow {{\sin }^{2}}t=1-\frac{2}{{{x}^{2}}+2x+3}$. Ta tìm được sint, thay vào (*) ta tính được I.

Câu 5: Tìm nguyên hàm để tính tổng a+b

Biết $F\left( x \right)=\left( ax+b \right){{e}^{x}}$ là nguyên hàm của hàm số $y=\left( 2x+3 \right){{e}^{x}}$.Khi đó, tính $a+b$

Lời giải

Ta có: $\int{\left( \text{2x+3} \right){{e}^{x}}}\text{d}x=\left( \text{ax+b} \right){{e}^{x}}$, nghĩa là:

$\left[ \left( \text{ax+b} \right){{e}^{x}} \right]’=\left( \text{2x+3} \right){{e}^{x}}$

$\Leftrightarrow a.{{e}^{x}}+{{e}^{x}}\left( \text{ax}+b \right)\text{=}\left( \text{2x+3} \right){{e}^{x}}$

$\Leftrightarrow {{e}^{x}}\left( \text{ax}+a+b \right)\text{=}\left( \text{2x+3} \right){{e}^{x}}$

Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1

Vậy $a+b=3$.

Câu 6: Tìm nguyên hàm

1. $I=\int{x\sqrt[3]{x+1}dx}$                        2. $I=\int{\frac{x}{\sqrt[4]{x+1}}dx}$

3. $I=\int{\frac{(x+1)dx}{1+\sqrt{4x+1}}}$                       4. $I=\int{\frac{{{x}^{5}}-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{3}}+2}}dx}$

5. $I=\int{\frac{\sin 2x+\cos x}{\sqrt{3\sin x+1}}dx}$                       6. $I=\int{\frac{\tan x.dx}{1+\sqrt[3]{\ln (\cos x)+1}}}$

7. $I=\int{\frac{\ln x}{\left( 1+\sqrt{\ln x+2} \right)x}dx}$                       8. $I=\int{\sqrt{{{e}^{2x}}+4{{e}^{x}}+5}.{{e}^{x}}dx}$

Bài giải

1. Đặt $t=\sqrt[3]{x+1}\Rightarrow x={{t}^{3}}-1$,ta có : $I=\frac{3}{7}\sqrt[3]{{{(x+1)}^{7}}}-\frac{3}{4}\sqrt[3]{{{(x+1)}^{4}}}+C$.
2. Đặt $t=\sqrt[4]{x+1}\Rightarrow x={{t}^{4}}-1$,$I=\frac{4}{7}\sqrt[4]{{{(x+1)}^{7}}}-\frac{4}{3}\sqrt[4]{{{(x+1)}^{3}}}+C$
3. Đặt $t=1+\sqrt{4x+1}\Rightarrow x=\frac{1}{4}({{t}^{2}}-2t)$

$I=\frac{1}{8}\left( \frac{1}{3}{{t}^{3}}-\frac{3}{2}{{t}^{2}}+6t-4\ln \left| t \right| \right)$ với $t=1+\sqrt{4x+1}$.

4. Đặt $t=\sqrt{{{x}^{3}}+2}\Rightarrow {{x}^{3}}={{t}^{2}}-2\Rightarrow {{x}^{2}}dx=\frac{2}{3}tdt$

$I=\frac{2}{9}\sqrt{{{({{x}^{3}}+2)}^{3}}}-2\sqrt{{{x}^{3}}+2}+C$

5. Đặt $t=\sqrt{3\sin x+1}\Rightarrow \sin x=\frac{1}{3}({{t}^{2}}-1)$

$I=\frac{4}{27}\sqrt{{{(3\sin x+1)}^{3}}}+\frac{2}{9}\sqrt{3\sin x+1}+C$.

6. Đặt $t=1+\sqrt[3]{\ln (\cos x)+1}\Rightarrow \ln (\cos x)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+3t-2$

$\Rightarrow \tan xdx=3({{t}^{2}}-2t+1)dt$

$I=\frac{3}{2}{{(1+\sqrt[3]{\ln (\cos x)+1})}^{2}}-6(1+\sqrt[3]{\ln (\cos x)+1})+3\ln \left| 1+\sqrt[3]{\ln (\cos x)+1} \right|+C$

7. Đặt $t=1+\sqrt{\ln x+2}\Rightarrow \ln x={{t}^{2}}-2t-1\Rightarrow \frac{dx}{x}=2(t-1)dt$

$I=\frac{2}{3}{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2t+2\ln \left| t \right|+C$ với $t=1+\sqrt{\ln x+2}$.

8. Đặt $t+{{e}^{x}}=\sqrt{{{e}^{2x}}+4{{e}^{x}}+5}\Rightarrow {{e}^{x}}=\frac{5-{{t}^{2}}}{2t-4}$

$\Rightarrow {{e}^{x}}dx=\frac{-{{t}^{2}}+4t-5}{2{{(t-2)}^{2}}};\sqrt{{{e}^{2x}}+4{{e}^{x}}+5}=\frac{{{t}^{2}}-4t+5}{2t-4}$

$I=-\frac{1}{4}\int{\frac{{{\left[ {{(t-2)}^{2}}+1 \right]}^{2}}}{{{(t-2)}^{3}}}dt}$$=-\frac{1}{4}\left[ \frac{1}{2}{{t}^{2}}-2t+2\ln \left| t-2 \right|-\frac{1}{2{{(t-2)}^{2}}} \right]+C$

với $t=\sqrt{{{e}^{2x}}+4{{e}^{x}}+5}-{{e}^{x}}$.

Câu 7: Tìm nguyên hàm

Tìm nguyên hàm: $I=\int{\frac{\tan xdx}{\sqrt{{{\sin }^{2}}x+3}}}$

Lời giải.

Đặt $t=\cos x\Rightarrow dt=-\sin xdx$. Suy ra $I=-\int{\frac{dt}{t\sqrt{4-{{t}^{2}}}}}$

$\bullet $ $t>0\Rightarrow $$I=-\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}\sqrt{\frac{4}{{{t}^{2}}}-1}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dy}{\sqrt{{{y}^{2}}-1}}}$ (với $y=\frac{2}{t}$)

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\ln \left| y+\sqrt{{{y}^{2}}-1} \right|=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{2}{\cos x}+\sqrt{\frac{4}{{{\cos }^{2}}x}-1} \right|+C$

$\bullet $ $t<0\Rightarrow $ $I=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}\sqrt{\frac{4}{{{t}^{2}}}-1}}}=-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{2}{\cos x}+\sqrt{\frac{4}{{{\cos }^{2}}x}-1} \right|+C$.

Câu 8: Tìm nguyên hàm

Tìm nguyên hàm:

${{I}_{2}}=\int{\frac{x}{\sqrt[3]{2x+1}}}dx$ ${{J}_{2}}=\int{\frac{dx}{1+x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}$

${{I}_{3}}=\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}}$ ${{J}_{4}}=\int{\frac{xdx}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt{x+1}}}$

${{J}_{1}}=\int{\frac{x}{1+\sqrt{2x+1}}dx}$ ${{J}_{5}}=\int{\sqrt[3]{3x-{{x}^{3}}}}dx$ ${{J}_{6}}=\int{\frac{x}{3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}}\,dx$.

Bài giải

1. Đặt $t=2x+1$$\Rightarrow {{I}_{2}}=\frac{3\sqrt[3]{{{\left( 2x+1 \right)}^{5}}}}{20}-\frac{3\sqrt[3]{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}}{8}+C$.
2. Đặt $t=x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}\Rightarrow dt=\left( 1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}} \right)dx=\left( \frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}} \right)dx$

$\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}=\frac{dt}{t}\Rightarrow {{I}_{3}}=\int{\frac{dt}{t}}=\ln \left| t \right|+C=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+4} \right|+C$.

3. Đặt $t=1+\sqrt{2x+1}\Rightarrow 2x+1={{\left( t-1 \right)}^{2}}\Rightarrow x=\frac{{{t}^{2}}-2t}{2}\Rightarrow dx=\left( t-1 \right)dt$

$\Rightarrow {{J}_{1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{\left( {{t}^{2}}-2t \right)\left( t-1 \right)dt}{t}}=\frac{1}{2}\int{\left( {{t}^{2}}-3t+2 \right)dt}=\frac{{{t}^{3}}}{6}-\frac{3{{t}^{2}}}{4}+t+C$

$=\frac{{{\left( 1+\sqrt{2x+1} \right)}^{3}}}{6}-\frac{3{{\left( 1+\sqrt{2x+1} \right)}^{2}}}{4}+\left( 1+\sqrt{2x+1} \right)+C$.

4. Đặt $t=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow t-x=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {{t}^{2}}-2xt+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+1$

$\Rightarrow x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t}\Rightarrow dx=\frac{{{t}^{2}}+1}{2{{t}^{2}}}dt$ $\Rightarrow {{J}_{2}}=\frac{1}{2}\int{\frac{{{t}^{2}}+1}{{{t}^{2}}\left( 1+t \right)}dt}$

Ta có : $\frac{{{t}^{2}}+1}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}=\frac{2}{t+1}+\frac{1}{{{t}^{2}}}-\frac{1}{t}$$\Rightarrow {{J}_{2}}=2\ln \left| t+1 \right|-\frac{1}{t}-\ln \left| t \right|+C$

Hay ${{J}_{2}}=2\ln \left| 1+x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right|+x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right|+C$.

5. Đặt $t=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$

6. Đặt $t=\sqrt[6]{x+1}$

7. Đặt $t=\frac{\sqrt[3]{3x-{{x}^{3}}}}{x}$.

Xem thêm:

Ứng dụng tích phân trong thực tế

Lý thuyết và bài tập mẫu tích phân

Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ