Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về bài giảng một số phương trình lượng giác thường gặp lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài 3 một số phương trình lượng giác thường gặp lớp 11 cũng như bài tập phương trình lượng giác thường gặp bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 11 nhé!
I. Một số phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình $\sin x=m,\,\,\,\,\,\left| m \right|\le 1$
Nếu $m$ biểu diễn được dưới dạng $\sin $ của những góc đặc biệt thì:
$\sin x=m\Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\alpha +k2\pi \\ & x=\pi -\alpha +k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Nếu $m$ không biểu diễn được dưới dạng $\sin $ của những góc đặc biệt thì:
$\sin x=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\arcsin m+k2\pi \\ & x=\pi -\arcsin m+k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Các trường hợp đặc biệt:
- -$\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- -$\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- -$\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
2. Phương trình $\cos x=m,\,\,\,\,\left| m \right|\le 1$
Nếu $m$ biểu diễn được dưới dạng $\cos in$ của những góc đặc biệt thì:
$\cos x=m\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\alpha +k2\pi \\ & x=-\alpha +k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Nếu $m$ không biểu diễn được dưới dạng $\cos in$ của những góc đặc biệt thì:
$\cos x=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\operatorname{arc}cosm+k2\pi \\ & x=\operatorname{arc}cosm+k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Các trường hợp đặc biệt:
- -$\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- -$\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- -$\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
3. Phương trình: $\tan x=m.$ Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\tan x=\tan m\Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\tan x=m\Leftrightarrow x=\arctan m+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
4. Phương trình: $\cot x=m.$ Điều kiện: $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\cot x=\cot m\Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\cot x=m\Leftrightarrow x=\operatorname{arc}\cot m+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
II. Bài tập mẫu
Bài tập 1:
Giải phương trình $\frac{{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{4}}x}{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{4}}x}=9$.
A. $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi $. B. $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi $. C. $x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi $. D. $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi $.
Lời giải
Điều kiện: ${{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{4}}x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi $
Ta có $\frac{{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{4}}x}{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{4}}x}=9\Leftrightarrow \frac{1-2{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{4}}x}{1-2{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{4}}x}=9$
$\Leftrightarrow \frac{{{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}}{{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}}=9\Leftrightarrow \frac{{{\sin }^{4}}x}{{{\cos }^{4}}x}=9\Leftrightarrow {{\tan }^{4}}x=9\Leftrightarrow \tan x=\pm \sqrt{3}$$\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi $ (thỏa đk).
Bài tập 2:
Phương trình ${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=\frac{7}{16}$ có nghiệm là:
A. $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{2}$. B. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$. C. $x=\pm \frac{\pi }{5}+k\frac{\pi }{2}$. D. $x=\pm \frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}$.
Lời giải
Ta có ${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=\frac{7}{16}\Leftrightarrow {{\sin }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{4}}x=\frac{7}{16}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x=\frac{7}{16}\Leftrightarrow \frac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x=\frac{9}{16}$
$\Leftrightarrow \sin 2x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \\& x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ & x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}$.
Bài tập 3:
Gọi ${{x}_{1}};\,{{x}_{2}}$ lần lượt là các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn $\left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]$ của phương trình $\tan x+\cot x=2\left( \sin 2x+\cos 2x \right)$. Tính tổng $S=2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}$.
A. $S=-\frac{\pi }{2}$. B. $S=\frac{\pi }{2}$. C. $S=\pi $. D. $S=2\pi $.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos x\ne 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\,\,k\in \mathbb{Z}$
$\tan x+\cot x=2\left( \sin 2x+\cos 2x \right) $$\Leftrightarrow 1=\sin 2x\left( \sin 2x+\cos 2x \right)$$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x+{{\cos }^{2}}2x=\sin 2x\left( \sin 2x+\cos 2x \right) $$\Leftrightarrow \cos 2x\left( \sin 2x-\cos 2x \right)=0 .$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \sin 2x-\cos 2x=0 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2} \\\end{align} \right. $
Vì $x\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow x\in \left\{ -\frac{3\pi }{8};-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{4} \right\}\Rightarrow {{x}_{1}}=-\frac{3\pi }{8},\,\,{{x}_{2}}=\frac{\pi }{4}\Rightarrow S=-\frac{\pi }{2}$
Bài tập 4:
Tìm số nghiệm trên đoạn $\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]$ của phương trình ${{\sin }^{3}}x+\sin x\cos x=1-{{\cos }^{3}}x$.
A. $2$. B. $4$. C. $3$. D. $1$.
Lời giải
Chọn A
$ {{\sin }^{3}}x+\sin x\cos x=1-{{\cos }^{3}}x\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=1-\sin x\cos x $$ \Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( 1-\sin x\cos x \right)=1-\sin x\cos x $$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}&1-\sin x\cos x=0 \\ \sin x+\cos x=1 \\\end{align} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 2x=2\,\,\left( \text{VN} \right) \\ \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\\end{align} \right.,\,\,k\in \mathbb{Z}$
Vì $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow x\in \left\{ 0;\frac{\pi }{2} \right\}$
Bài tập 5:
Tính tổng $S$ các nghiệm trên đoạn $\left[ -\pi ;\pi \right]$ của phương trình $\left( 2\sin x-1 \right)\left( 2\sin 2x+1 \right)=3-4{{\cos }^{2}}x$.
A. $S=\pi $. B. $S=2\pi $. C. $S=\frac{\pi }{2}$. D. $S=\frac{5\pi }{6}$.
Lời giải
Chọn A
$ \left( 2\sin x-1 \right)\left( 2\sin 2x+1 \right)=3-4{{\cos }^{2}}x \\ \Leftrightarrow \left( 2\sin x-1 \right)\left( 2\sin 2x+1 \right)=4{{\sin }^{2}}x-1 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2\sin x-1=0 \\ &\sin 2x=\sin x \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\frac{1}{2} \\ & \sin x=0 \\ & \cos x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ & x=k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\\end{align} \right.,\,\,k\in \mathbb{Z} $
Vì $x\in \left[ -\pi ;\pi \right]\Rightarrow x\in \left\{ -\pi ;-\frac{\pi }{3};0;\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{6};\pi \right\}\Leftrightarrow S=\pi $
Bài tập 6:
Trên đoạn $\left[ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right]$, phương trình $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$ có nghiệm dạng $\frac{a\pi }{2},\,a\in \mathbb{Z}$. Tính tổng $S$ các giá trị $a$ tìm được)
A. $S=4$. B. $S=1$. C. $S=2$. D. $S=6$.
Lời giải
Chọn A
$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 2x=0 \\ & \cos x=-\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{k\pi }{2} \\ & x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\\end{align} \right.,\,k\in \mathbb{Z}$
Vì $x\in \left[ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right]\Rightarrow x\in \left\{ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2};\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3} \right\}\Rightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\ & a=3 \\\end{align} \right.\Rightarrow S=4$.
Bài tập 7:
Số nghiệm của phương trình $\sin \left( 2x-{{40}^{0}} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $-{{180}^{0}}\le x\le {{180}^{0}}$ là ?
A. $2$. B. $4$. C. $6$. D. $7$.
Lời giải
Ta có : $ \sin \left( 2x-{{40}^{0}} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 2x-{{40}^{0}} \right)=\sin {{60}^{0}} $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 2x-{{40}^{0}}={{60}^{0}}+k{{360}^{0}} \\& 2x-{{40}^{0}}={{180}^{0}}-{{60}^{0}}+k{{360}^{0}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 2x={{100}^{0}}+k{{360}^{0}} \\& 2x={{160}^{0}}+k{{360}^{0}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow x={{50}^{0}}+k{{180}^{0}} \\ x={{80}^{0}}+k{{180}^{0}} $
Xét nghiệm $x={{50}^{0}}+k{{180}^{0}}$.
Ta có : $-{{180}^{0}}\le x\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -{{180}^{0}}\le {{50}^{0}}+k{{180}^{0}}\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -\frac{23}{18}\le k\le \frac{13}{18}$.
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $\left[ \begin{align}& k=-1\Rightarrow x=-{{130}^{0}} \\& k=0\Rightarrow x={{50}^{0}} \\\end{align} \right.$.
Xét nghiệm $x={{80}^{0}}+k{{180}^{0}}$.
Ta có : $-{{180}^{0}}\le x\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -{{180}^{0}}\le {{80}^{0}}+k{{180}^{0}}\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -\frac{13}{9}\le k\le \frac{5}{9}$.
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $\left[ \begin{align}& k=-1\Rightarrow x=-{{100}^{0}} \\& k=0\Rightarrow x={{80}^{0}} \\\end{align} \right.$.
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Chọn B
Cách 2 $\left( CASIO \right)$.
Ta có : $-{{180}^{0}}\le x\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -{{360}^{0}}\le x\le {{360}^{0}}$.
Chuyển máy về chế độ $DEG$, dùng chức năng $TABLE$ nhập hàm $f\left( X \right)=\sin \left( 2X-40 \right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$với các thiết lập $Start=-360$, $END=360$, $STEP=40$. Quan sát bảng giá trị của $f\left( X \right)$ ta suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài tập 8:
Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $2\sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)-1=0.$
A. $x=\frac{\pi }{4}.$ B. $x=\frac{7\pi }{24}.$ C. $x=\frac{\pi }{8}.$ D. $x=\frac{\pi }{12}.$
Lời giải
Ta có $2\sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)-1=0\Leftrightarrow \sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \frac{\pi }{6}$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & 4x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & 4x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2} \\\end{align} \right.\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).$
TH1. Với $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\xrightarrow{\text{Cho}>0}\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}>0\Leftrightarrow k>-\frac{1}{4}\to {{k}_{\min }}=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{8}.$
TH2. Với $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\xrightarrow{\text{Cho}>0}\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}>0\Leftrightarrow k>-\frac{7}{12}\to {{k}_{\min }}=0\Rightarrow x=\frac{7\pi }{24}.$.
So sánh hai nghiệm ta được $x=\frac{\pi }{8}$ là nghiệm dương nhỏ nhất.