Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng tìm môđun số phức rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về modun số phức bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến môđun số phức một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức trong dạng cũng như tính chất modun số phức này như sau:
1. Môđun số phức là gì?
| o Môđun của số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là $\overline{z}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ .
o Như vậy, môđun của số phức $z$ là $\overline{z}$ chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là:$\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{z\overline{z}}$ . o Một số tính chất của môđun: $\begin{align}& \bullet \text{ }\left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0; \\& \bullet \text{ }\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}},\text{ }\left| -z \right|=\left| z \right|,\text{ }\left| \overline{z} \right|=\left| z \right| \\& \bullet \text{ }\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{ }\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z-z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right| \\& \bullet \text{ }\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{ }\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\\end{align}$
|
2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT:
| o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm là $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$.
o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước của đề bài (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa $z,\overline{z},\left| z \right|,…$) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình 2 ẩn theo $a$ và $b$ nhờ tính chất 2 số phức bằng nhau ( phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau ), rồi từ đó suy ra $a$và $b$ và suy ra được số phức $z$ cần tìm.. |
3. Tìm gtln gtnn của modun số phức:
| Sử dụngcác tính chất và các bất đẳng thức về môđun của số phức sau để giải quyết các bài toán min-max:
$\begin{align}& \bullet \text{ }\overline{\overline{z}}=z \\& \bullet \text{ }\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{z-z’}=\overline{z}-\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{z.z’}=\overline{z}.\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{\left( \frac{z}{z’} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z’}}\\\end{align}$. $\begin{align}& \bullet \text{ }\left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0; \\& \bullet \text{ }\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}},\text{ }\left| -z \right|=\left| z \right|,\text{ }\left| \overline{z} \right|=\left| z \right| \\& \bullet \text{ }\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{ }\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z-z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right| \\& \bullet \text{ }\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{ }\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\\end{align}$ |
4. Cách bấm máy tính Môđun số phức:
Đối với trường hợp bạn sử dụng máy tính casio 570 vn-plus để giải về tìm môđun số phức thì ta làm như sau:
| Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm w2.
o Bấm đơn vị ảo $i$ bằng cách bấm phím b. o Tính môđun của số phức bấm qc. o Để bấm số phức liên hợp của $z$ bấm q22 để hiện Conjg (liên hợp). |
II. BÀI TẬP MẪU
Nếu như chúng ta chỉ chăm chăm ngồi học các công thức tính số phức liên hợp mà bỏ qua các dạng bài tập. Thì rất khó có thể thành thạo làm được bài ở dạng này. Nên, vì thế chúng ta sẽ có cái dạng bài tập mẫu cho các bạn làm bài ngay sau đây:
Bài tập 1:
Cho số phức $z=3+2i$. Tìm môđun số phức $w=zi+\overline{z}\left( 1+2i \right)$.
Giải:
$\begin{align}& w=zi+\overline{z}\left( 1+2i \right)=(3+2i)i+(3-2i)(1+2i) \\& \text{ }=3i-2+3+6i-2i+4=5+7i \\\end{align}$.
Vậy $\left| w \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{7}^{2}}}=\sqrt{74}$.
Bài tập 2:
Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phức$z$:
$a)\text{ }z=\left( 2+4i \right)+2i\left( 1-3i \right).$ $b)\text{ }z=\left( 2-4i \right)\left( 5+2i \right)+\frac{4-5i}{2+i}$.
Giải:
$\text{ a) }z=\left( 2+4i \right)+2i\left( 1-3i \right)=2+4i+2i-6{{i}^{2}}=2+6i+6=8+6i$.
$\Rightarrow $ Phần thực: 8 ; Phần ảo: 6 ; Số phức liên hợp: $\overline{z}=8-6i$.
Vậy ta có, Môđun $\left| z \right|=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10$.
$\begin{align}& \text{b) }z=\left( 2-4i \right)\left( 5+2i \right)+\frac{4-5i}{2+i}=10+4i-20i-8{{i}^{2}}+\frac{\left( 4-5i \right)\left( 2-i \right)}{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}} \\& \text{ }=18-16i+\frac{8-14i-5}{5}=\frac{93}{5}-\frac{94}{5}i. \\\end{align}$
$\Rightarrow $ Phần thực:$\frac{93}{5}$ ; Phần ảo: $\frac{94}{5}$; Số phức liên hợp: $\overline{z}=\frac{93}{5}+\frac{94}{5}i$.
Môđun $\left| z \right|=\sqrt{{{\left( \frac{93}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{94}{5} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{17485}}{5}$.
Bài tập 3:
Cho số phức $z$ có môđun bằng $2018$ và $w$ là số phức thỏa mãn biểu thức $\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{1}{z+w}$. Môđun của số phức $w$ bằng?
Giải:
Từ giả thiết $\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{1}{z+w}\Leftrightarrow \frac{z+w}{zw}-\frac{1}{z+w}=0\Leftrightarrow \frac{{{\left( z+w \right)}^{2}}-zw}{zw\left( z+w \right)}=0$
$\Rightarrow {{z}^{2}}+{{w}^{2}}+zw=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}+zw+\frac{1}{4}{{w}^{2}}+\frac{3}{4}{{w}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( z+\frac{1}{2}w \right)}^{2}}=-\frac{3}{4}{{w}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( z+\frac{1}{2}w \right)}^{2}}={{\left( \frac{i\sqrt{3}w}{2} \right)}^{2}}$Từ ${{\left( z+\frac{1}{2}w \right)}^{2}}={{\left( \frac{i\sqrt{3}w}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow z=\left( -\frac{1}{2}\pm \frac{i\sqrt{3}}{2} \right)w$.
Lấy môđun hai vế, ta được $\left| z \right|=\left| -\frac{1}{2}\pm \frac{i\sqrt{3}}{2}. \right|\left| w \right|=1.\left| w \right|=\left| w \right|\Rightarrow \left| w \right|=2018.$
Bài tập 4:
Tính môđun của số phức $z$ biết $z\ne \left| z \right|$ và $\frac{1}{\left| z \right|-z}$ có phần thực bằng $4.$
Giải:
Cách 1: Giả sử $z=a+bi$ $\left( a,\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\frac{1}{\left| z \right|-z}=\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a-bi}$
$=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a+bi}{{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a}{{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i.$
Theo giả thiết: $\frac{1}{\left| z \right|-z}$ có phần thực bằng 4 nên $\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a}{{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=4$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a}{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-2a\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}=4$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{1}{8}\Rightarrow \left| z \right|=\frac{1}{8}.$
Cách 2: Nếu $z=a+bi$ thì $z+\bar{z}=2a$.
Áp dụng: $\frac{1}{\left| z \right|-z}$ có phần thực bằng $4\Rightarrow $ $\frac{1}{\left| z \right|-z}+\overline{\frac{1}{\left| z \right|-z}}=8$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\left| z \right|-z}+\frac{1}{\left| z \right|-\bar{z}}=8\Leftrightarrow \frac{2\left| z \right|-z-\bar{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}-\left| z \right|\left( z+\bar{z} \right)+z.\bar{z}}=8\Leftrightarrow \frac{2\left| z \right|-z-\bar{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}-\left| z \right|\left( z+\bar{z} \right)+{{\left| z \right|}^{2}}}=8$
$\Leftrightarrow \frac{2\left| z \right|-z-\bar{z}}{2{{\left| z \right|}^{2}}-\left| z \right|\left( z+\bar{z} \right)}=8\Leftrightarrow \frac{2\left| z \right|-z-\bar{z}}{\left| z \right|\left( 2\left| z \right|-z-\bar{z} \right)}=8\Leftrightarrow \frac{1}{\left| z \right|}=8\Leftrightarrow \left| z \right|=\frac{1}{8}.$
| Nhận xét:
Trong bài toán tìm thuộc tính của số phức $z$ thỏa mãn điều kiện K cho trước, nếu K là thuần $z$ (tất cả đều$z$ ) hoặc thuần $\overline{z}$ thì đó là bài toán giải phương trình bậc nhất (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn $z$ hoặc $\overline{z}$. Còn nếu chứa hai loại trở lên ($z$ , $\overline{z}$,$\left| z \right|$) thì ta sẽ gọi $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Từ đó sử dụng các phép toán trên số phức để đưa về hai số phức bằng nhau để giải.. |
Bài tập 5:
Cho số phức $z$ thỏa mãn $(3-i)(z+1)+(2-i)(\overline{z}+3i)=1-i.$ Tìm môđun của số phức $w=\frac{i-z}{1+z}$.
Hướng dẫn:
Ở đây là sẽ cho phím X sẽ là đại diện cho số phức $z$.
Đây là phương trình bậc nhất của số phức.
Bước 1: Các em nhập lại phương trình này với máy tính lần lượt như sau:
$(3-i)(X+1)+(2-i)(C\text{onj}g(X)+3i)-(1-i)$
(3pb)(Q)+1)+(2pb)(q22Q))+3b)p(1pb)
Màn hình hiển thị:
Bước 2:
Tìm số phức $z=a+bi$ nghĩa là đi tìm a và b.
Ta sẽ cho trước a=10000 và b=100 rồi từ đó suy ngược lại mối quan hệ của a và b bằng 1 hệ phương trình 2 ẩn theo a và b, lúc đó tìm được a và b.
Cho $z=10000+100i$ bằng cách nhập r10000+100b=
Màn hình sẽ cho kết quả:
Nghĩa là:
$(3-i)(z+1)+(2-i)(\overline{z}+3i)-(1-i)=50005+19894i=5a+5+(2a-b+6)i$.
Cho nên, ta có:
Từ đó ta tính được môđun của $w$ là:
Bên trên là tất cả những thông tin về dạng bài modun số phức bao gồm cách tính modun số phức cũng như tìm gtln gtnn của modun số phức hợp sao cho chính xác nhất. Nếu như còn có thắc mắc gì về các thông tin mà Khoa Cử đã chia sẽ ở bên trên thì các bạn đừng ngần ngại mà liên hệ ngay cho chúng tôi để nhận được sự giải đáp nhanh và sớm nhất nhé!
Xem thêm:
Lý thuyết và dạng bài tập mẫu của max min số phức
Cách giải và bài tập mẫu cực trị số phức