Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng max min số phức rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về tìm max min số phức bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến tìm max min số phức một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức trong dạng cũng như tính chất của max min số phức này như sau:
| Bài toán: Trong các số phức thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp tổng quát: Ta sẽ đặt phương trình như sau:
Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được. |
| Sử dụngcác tính chất và các bất đẳng thức về môđun của số phức sau để giải quyết các bài toán min-max:
$\begin{align}& \bullet \text{ }\overline{\overline{z}}=z \\& \bullet \text{ }\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{z-z’}=\overline{z}-\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{z.z’}=\overline{z}.\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{\left( \frac{z}{z’} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z’}} \\\end{align}$ $\begin{align}& \bullet \text{ }\left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0; \\& \bullet \text{ }\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}},\text{ }\left| -z \right|=\left| z \right|,\text{ }\left| \overline{z} \right|=\left| z \right| \\& \bullet \text{ }\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{ }\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z-z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right| \\& \bullet \text{ }\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{ }\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\\end{align}$ Kết hợp sử dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, BĐT Bunhia- Cốpxki. § Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các số thực $a,b,x,y$ ta luôn có ${{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ . Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$ § Bất đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto $\overrightarrow{u}\left( x;y \right)$ và $\overrightarrow{v}\left( x’;y’ \right)$ ta luôn có $\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u+v} \right|$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{x{{‘}^{2}}+y{{‘}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( x-x’ \right)}^{2}}+{{\left( y-y’ \right)}^{2}}}$ Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{x’}=\frac{y}{y’}<0$. |
II. BÀI TẬP MẪU
Nếu như chúng ta chỉ chăm chăm ngồi học các công thức tính số phức liên hợp mà bỏ qua các dạng bài tập. Thì rất khó có thể thành thạo làm được bài ở dạng này. Nên, vì thế chúng ta sẽ có cái dạng bài tập mẫu cho các bạn làm bài ngay sau đây:
Bài tập 1:
Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|={{m}^{2}}+2m+5$, với $m$ là tham số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w=\left( 3-4i \right)z-2i$ là một đường tròn. Bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó bằng?
Giải :
Cách 1 : Gọi $w=x+yi$.
Từ giả thiết, ta có $x+yi=\left( 3-4i \right)z-2i\Rightarrow z=\frac{x+\left( y+2 \right)i}{3-4i}=\frac{3x-4y-8}{25}+\frac{4x+3y+6}{25}.i$
$\Rightarrow \left| z \right|=\frac{\sqrt{{{\left( 3x-4y-8 \right)}^{2}}+{{\left( 4x+3y+6 \right)}^{2}}}}{25}$.
Mà $\left| z \right|={{m}^{2}}+2m+5\Leftrightarrow {{\left( 3x-4y-8 \right)}^{2}}+{{\left( 4x+3y+6 \right)}^{2}}={{25}^{2}}\left( {{m}^{2}}+2m+25 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y+4=25{{\left[ {{\left( m+1 \right)}^{2}}+4 \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=25{{\left[ {{\left( m+1 \right)}^{2}}+4 \right]}^{2}}\ge 400={{20}^{2}}.$
Vậy bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó là 20. Dấu $”=”$ xảy ra khi $m=-1$.
Cách 2: Từ giả thiết, ta có $w+2i=\left( 3-4i \right)z$.
Lấy môđun hai vế, ta được $\left| w+2i \right|=\left| 3-4i \right|.\left| z \right|=5.\left( {{m}^{2}}+2m+5 \right)=5\left[ {{\left( m+1 \right)}^{2}}+4 \right]\ge 20.$
Bài tập 2:
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-4 \right|+\left| z+4 \right|=10$. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\left| z \right|$ bằng?
Giải:
Cách 1: Giả sử $z=x+yi\text{ }\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $10=\left| z-4 \right|+\left| z+4 \right|\ge \left| z-4+z+4 \right|=\left| 2z \right|\Rightarrow \left| z \right|\le 5$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có $100={{\left( \left| z-4 \right|.1+\left| z-4 \right|.1 \right)}^{2}}\le \left[ {{\left( \left| z-4 \right| \right)}^{2}}+{{\left( \left| z+4 \right| \right)}^{2}} \right].2$
$\Leftrightarrow {{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 50\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge 9\Rightarrow \left| z \right|\ge 3$.
Cách 2: Giả sử $z=x+yi\text{ }\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$.
Từ giả thiết, ta có $\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=10$. $\left( * \right)$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, gọi $M\left( x;y \right)$ và ${{F}_{1}}\left( -4;0 \right)$, ${{F}_{2}}\left( -4;0 \right)$ thì $\left( * \right)$ có dạng $M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2.5$. Vậy tợp hợp điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là một Elip có độ dài trục lớn $a=5$, tiêu cự ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=8\Rightarrow c=4$. Suy ra độ dài trục bé $b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=3$.
Khi đó ta luôn có $b\le OM\le a$ hay $3\le \left| z \right|\le 5$.
Bài tập 3:
Cho hai số phức ${{z}_{1}},\text{ }\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-2i \right|=3$ và $\left| {{z}_{2}}+2+2i \right|=\left| {{z}_{2}}+2+4i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng?
Giải:
Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i$ và ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$ với ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},\text{ }{{y}_{1}},\text{ }{{y}_{2}}\in \mathbb{R}.$
- $\left| {{z}_{1}}-2i \right|=3\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{\left( {{y}_{1}}-2 \right)}^{2}}=9\Rightarrow $ tập hợp các số phức ${{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=9$.
- $\left| {{z}_{2}}+2+2i \right|=\left| {{z}_{2}}+2+4i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+2 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}_{2}}+3=0$
$\Rightarrow $tập hợp các số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $d:y=-3$.
Ta có $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$ đây chính là khoảng cách từ điểm $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\in d$ đến điểm $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\in \left( C \right)$. Do đó ${{\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow A{{B}_{\min }}.$ Dựa vào hình vẽ ta tìm được $A{{B}_{\min }}=2$ khi $A\left( 0;-1 \right),\text{ }B\left( 0;-3 \right)$. Vậy $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ khi ${{z}_{1}}=-i;\text{ }{{z}_{2}}=-3i$.
Nhận xét: Ở bài này đường thẳng và đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình sẽ nhận ra ngay được hai điểm $A$ & $B$, nếu không thì viết phương trình đường thẳng qua tâm $C$ và vuông góc với $d$, sau đó tìm giao điểm với $C$ và $d$ rồi loại điểm.
Như vậy, bên trên là tất tần tật về công thức max min số phức toán 12 rất quan trọng mà bạn nên ghi nhớ và hiểu thật rõ các dạng bài tập mẫu để có thể vượt qua được kỳ thi sắp tới. Mong rằng qua bài viết trên đã có thể giúp bạn dễ dàng hơn trong việc hiểu rõ hơn dạng max min của số phức và đạt được điểm cao trong học tập nhé!
Xem thêm:
Tổng hợp các công thức số phức chi tiết và đầy đủ
Cách giải phương trình số phức và bài tập mẫu chi tiết