Lý thuyết và bài tập của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các công thức cũng như các bài tập của dạng này bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!

I. LÝ THUYẾT MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến mặt cầu ngoại tiếp hình chóp một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức tính thể mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cũng như tính chất của dạng này như sau:

1. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.

Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng $\Delta $: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực $(\alpha )$ của một cạnh bên.

Lúc đó :  – Tâm O của mặt cầu: $\Delta \cap \text{mp(}\alpha )=\left\{ O \right\}$

– Bán kính: $R=SA\left( =SO \right)$. Tuỳ vào từng trường hợp.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lưu ý:  Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.

Tính chất: $\forall M\in \Delta :\text{ }MA=MB=MC\text{    }$

Suy ra: $MA=MB=MC\text{ }\Leftrightarrow \text{ }M\in \Delta \text{    }$

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

2. Các bước xác định trục:

Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2: Qua H dựng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng đáy.

VD: Ta sẽ có một số trường hợp đặc biệt như sau:

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng

$\Delta SMO$ đồng dạng với $\Delta SIA\Rightarrow \frac{SO}{SA}=\frac{SM}{SI}$.

Nhận xét quan trọng:

$\exists M,S:\,\,\left\{ \begin{align}& MA=MB=MC \\& SA=SB=SC \\\end{align} \right.\Rightarrow \text{SM}$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

2. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

MẶT CẦU

Một số công thức: Mặt cầu ngoại tiếp đa diện

Mặt cầu nội tiếp đa diện

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hình thành: Quay đường tròn tâm $I$, bán kính $R=\frac{AB}{2}$ quanh trục $AB$, ta có mặt cầu như hình vẽ.

  • Tâm $I,$ bán kính $R=IA=IB=IM$.
  • Đường kính $AB=2R$.
  • Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm $I$, bán kính $R$.
  • Diện tích mặt cầu: mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
  • Thể tích khối cầu: mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là mặt cầu đi qua tất cả đỉnh của đa diện đó.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt cầu nội tiếp đa diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của đa diện đó.

3. CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI

CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP

1. Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh dưới một góc vuông. 2. Hình chóp đều.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Xét hình chóp có $SA\bot (ABC)$ và $\widehat{ABC}={{90}^{0}}$.

Ta có $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}={{90}^{0}}$ nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm $I$ là trung điểm $SC$, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Xét hình chóp có $SA\bot (ABCD)$ và $ABCD$ là hình chữ nhật hoặc hình vuông.

Ta có: $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}$$=\widehat{SDC}={{90}^{0}}$

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm $I$ là trung điểm $SC$, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Xét hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $b$ và đường cao $SH=h$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Xét hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng b và chiều cao $SO=h$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Xét hình chóp có $SA\bot $ và $SA=h$; bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là ${{r}_{\tilde{n}}}$.

 

Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính $$.

Nếu đáy là tam giác đều cạnh $a$ thì ${{r}_{\tilde{n}}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Nếu đáy là hình vuông cạnh $a$ thì ${{r}_{\tilde{n}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Nếu đáy là hình chữ nhật cạnh $a,\,\,b$ thì ${{r}_{\tilde{n}}}=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{2}$.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Xét hình chóp có mặt bên $(SAB)\bot $, bán kính ngoại tiếp đáy là ${{r}_{\tilde{n}}}$, bán kính ngoại tiếp $\Delta SAB$ là ${{r}_{b}}$, $d=AB=(SAB)\cap $.

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $$.

Xem thêm: Cách giải và bài tập mẫu diện tích mặt cầu ngoại tiếp

II. BÀI TẬP MẪU MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập mẫu để có thể hiểu rõ hơn chương hình học không gian này ngay bên dưới đây:

Bài tập 1: Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SAED$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a,\ $ $AD=5a,\ AB=2a.$ Điểm $E$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $CE=a$. Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SAED$.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải

Ta có $A{{E}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{E}^{2}}=4{{a}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}=20{{a}^{2}},$$D{{E}^{2}}=D{{C}^{2}}+C{{E}^{2}}=4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}.$

Do đó $A{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}=A{{D}^{2}}=25{{a}^{2}}$, suy ra tam giác $AED$ suy ra tam giác $AED$ vuông ở

$E.$ Suy ra $ED\bot \left( SAE \right)\Rightarrow ED\bot SE$. Vậy $A$và $E$ đều nhìn $SD$ dưới một góc vuông. Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SAED$ có bán kính là $R=\frac{SD}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{26}}{2}.$

Bài tập 2: Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$, $B$. Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$, $AB=BC=a$, $AD=2a$, $SA=a\sqrt{2}$.  Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải

* Do $SA\bot \left( ABCD \right)$$\Rightarrow SA\bot AC$$\Rightarrow \widehat{SAC}=90{}^\circ $.

* Do $BC\bot \left( SAB \right)$$\Rightarrow BC\bot SC$$\Rightarrow \widehat{SBC}=90{}^\circ $.

* Do $CE\text{//}AB\Rightarrow CE\bot \left( SAD \right)$$\Rightarrow CE\bot SE$$\Rightarrow \widehat{SEC}=90{}^\circ $.

Suy ra các điểm $A$, $B$, $E$ cùng nhìn đoạn $SC$ dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$ là mặt cầu đường kính $SC$.

Bán kính mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$ là: $R=\frac{SC}{2}$.

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ ta có: $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow SC=AC\sqrt{2}=2a$

$\Rightarrow R=\frac{SC}{2}=a$.

Bài tập 3: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh $3\ \text{cm}$ là

A. $\frac{27\pi \sqrt{3}}{2}$ cm3.                 B. $\frac{9\pi \sqrt{3}}{2}$ cm3.                C. $9\pi \sqrt{3}$ cm3.                D. $\frac{27\pi \sqrt{3}}{8}$ cm3.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải

Gọi $R$ là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.EFGH$.

Ta có $CE=AB.\sqrt{3}=3\sqrt{3}$cm. Suy ra $R=\frac{1}{2}CE=\frac{3\sqrt{3}}{2}$cm.

Thể tích khối cầu là: $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}}=\frac{27\sqrt{3}}{2}\pi $ cm3.

Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn A.

Bài tập 4: Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng đáy bằng ${{30}^{0}}$. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng

A. $\frac{43\pi {{a}^{2}}}{3}$.                        B.$\frac{19\pi {{a}^{2}}}{3}$.                        C. $\frac{19\pi {{a}^{2}}}{9}$.                        D. $13\pi {{a}^{2}}$.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải

Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$.

$N$ là trung điểm của đoạn $SA$.

$G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

Gọi ${d}’$ là đường thẳng đi qua trọng tâm G của $\Delta ABC$ và vuông góc với mặt phẳng đáy.

$d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $SA$.

Từ đó suy ra tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là giao điểm của hai đường thẳng $d$ và ${d}’$.

Suy ra: bán kính mặt cầu $R=AI$.

Ta có: $\Delta ABC$ đều cạnh $2a$ $\Rightarrow AM=2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ và $AG=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SMA}={{30}^{0}}$

$\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}\Rightarrow SA=AM.\tan {{30}^{0}}=a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=a$.

Suy ra: $AN=\frac{a}{2}$.

Do đó: $R=AI=\sqrt{A{{N}^{2}}+N{{I}^{2}}}=\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{G}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{57}}{6}$

Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $S=4\pi .{{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{\sqrt{57}}{6} \right)}^{2}}=\frac{19\pi {{a}^{2}}}{3}$.

Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn B.

Bài tập 5: Tính diện tích $S$của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a\sqrt{3}$, $BC=2a$, đường thẳng $A{C}’$ tạo với mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}’ \right)$ một góc $30{}^\circ $. Tính diện tích $S$của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho?

A. $S=24\pi {{a}^{2}}$.                        B. $S=6\pi {{a}^{2}}$.                        C. $S=4\pi {{a}^{2}}$.                        D. $S=3\pi {{a}^{2}}$.

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải

Kẻ $AH\bot BC$$\left( H\in BC \right)$ thì $AH\bot (BC{C}'{B}’)$. Suy ra: $\widehat{A{C}’H}=30{}^\circ $.

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$ và$AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\Delta AH{C}’$ vuông tại $H$$\Rightarrow A{C}’=\frac{AH}{\sin 30{}^\circ }=a\sqrt{3}$. Suy ra $A{A}’=\sqrt{A{{{{C}’}}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$.

Ta có thể xem hình lăng trụ đã cho là một phần của hình hộp chữ nhật có các kích thước lần lượt là $AB=a\sqrt{3}$, $AC=a$ và ${A}’A=a\sqrt{2}$.

Do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là $R=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Diện tích mặt cầu cần tìm: $S=4\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}$.

Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn B.

Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết và công thức của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!

Xem thêm:

Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp