Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn khái niệm lũy thừa, các tính chất quan trọng của lũy thừa, so sánh hai lũy thừa cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. Lý thuyết về lũy thừa
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
- Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho $a\in \mathbb{R},\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Khi đó
${{a}^{n}}=a.a…a$($n$ thừa số $a$).
- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0: Cho $a\ne 0$. Khi đó
${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}};\,\,{{a}^{0}}=1$.
- Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
- ${{0}^{0}}$ và ${{0}^{-n}}$ không có nghĩa.
2. Căn bậc n
– Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\ge 2$.
– Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu ${{a}^{n}}=b$.
– Khi $n$ lẻ, $b\in \mathbb{R}$: Có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$, ký hiệu là $\sqrt[n]{b}$.
– Khi $n$ chẵn và:
+ $b<0$: Không tồn tại căn bậc $n$ của $b$.
+ $b=0$: Có một căn bậc $n$ của $b$ là $\sqrt[n]{0}=0$.
+ $b>0$: Có hai căn bậc $n$ của $b$ kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$ và $-\sqrt[n]{b}$.
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực $a>0$ và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in \mathbb{Z},\,\,n\in \mathbb{N},\,\,n\ge 2$. Khi đó
${{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$.
4. Một số tính chất của căn bậc n
Với $a,b\in \mathbb{R};n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, ta có:
- $\sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\,a,\forall a$
- $\sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,\forall a$
- $\sqrt[2n]{ab}=\sqrt[2n]{a}\cdot \sqrt[2n]{b},\forall ab\ge 0$
- $\sqrt[2n+1]{ab}=\sqrt[2n+1]{a}\cdot \sqrt[2n+1]{b},\forall a,b$
- $\sqrt[2n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[2n]{a}}{\sqrt[2n]{b}},\forall ab\ge 0,b\ne 0$
- $\sqrt[2n+1]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[2n+1]{a}}{\sqrt[2n+1]{b}},\forall a,\forall b\ne 0$
- $\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}},\forall a>0$, $n$ nguyên dương, $m$ nguyên
- $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a},\forall a\ge 0$, $n$,$m$nguyên dương
- Nếu $\frac{p}{n}=\frac{q}{m}$ thì $\sqrt[n]{{{a}^{p}}}=\sqrt[m]{{{a}^{q}}}\,,\forall a>0,m,n$nguyên dương $p,q$ nguyên
Đặc biệt: $\sqrt[n]{a}=\sqrt[m\cdot n]{{{a}^{m}}}$
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Cho số thực $a>0$, $\alpha $ là một số vô tỉ và $\left( {{r}_{n}} \right)$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{r}_{n}}=\alpha $. Khi đó ${{a}^{\alpha }}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{{{r}_{n}}}}$.
6. Các tính chất của lũy thừa
- Cho hai số dương $a,\,\,b$ và các số $\alpha ,\,\,\beta \in \mathbb{R}$. Khi đó:
- Nếu $a>1$ thì ${{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}$ khi và chỉ khi $\alpha >\beta $.
Nếu $0<a<1$ thì ${{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}$ khi và chỉ khi $\alpha <\beta $.
II. Bài tập mẫu lũy thừa
Câu 1: Tính giá trị biểu thức lũy thừa
Tính giá trị biểu thức ${{\left( {{5}^{-\frac{2}{3}}} \right)}^{-3}}+{{\left( {{\left( 0,2 \right)}^{\frac{3}{5}}} \right)}^{-5}}$ .
Lời giải
Ta có: ${{\left( {{5}^{-\frac{2}{3}}} \right)}^{-3}}+{{\left( {{\left( 0,2 \right)}^{\frac{3}{5}}} \right)}^{-5}}={{5}^{2}}+{{\left( 0,2 \right)}^{-3}}={{5}^{2}}+{{5}^{3}}=150$.
Câu 2:
Tính giá trị biểu thức $\sqrt[3]{\frac{2}{5}.\sqrt[7]{\frac{2}{5}.\sqrt[3]{\frac{2}{5}}}}.\left( \frac{2}{5} \right)$.
Lời giải
Ta có: $\sqrt[3]{\frac{2}{5}.\sqrt[7]{\frac{2}{5}.\sqrt[3]{\frac{2}{5}}}}.\left( \frac{2}{5} \right)=\sqrt[3]{\frac{2}{5}.\sqrt[7]{\frac{2}{5}.{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}.\left( \frac{2}{5} \right)$$=\sqrt[3]{\frac{2}{5}.\sqrt[7]{{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{4}{3}}}}}.\left( \frac{2}{5} \right)$$=\sqrt[3]{\frac{2}{5}.{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{4}{21}}}}.\left( \frac{2}{5} \right)$
$={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{25}{63}}}.\left( \frac{2}{5} \right)={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\frac{88}{63}}}$.
Xem thêm: Cách giải và bài tập mẫu tập xác định của hàm số mũ
Câu 3: Tính tổng lũy thừa sau
Cho biểu thức $f\left( x \right)=\frac{1}{{{2018}^{x}}+\sqrt{2018}}$. Tính tổng sau
$S=\sqrt{2018}\left[ f\left( -2017 \right)+f\left( -2016 \right)+…+f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)+…+f\left( 2018 \right) \right]$.
Lời giải
Ta có $f\left( 1-x \right)=\frac{1}{{{2018}^{1-x}}+\sqrt{2018}}$$=\frac{{{2018}^{x}}}{2018+{{2018}^{x}}\sqrt{2018}}$$=\frac{{{2018}^{x}}}{\sqrt{2018}\left( {{2018}^{x}}+\sqrt{2018} \right)}$
$\Rightarrow $$f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=\frac{1}{{{2018}^{x}}+\sqrt{2018}}+\frac{{{2018}^{x}}}{\sqrt{2018}\left( {{2018}^{x}}+\sqrt{2018} \right)}$$=\frac{1}{\sqrt{2018}}$.
Do $1-2018=-2017$ nên $f\left( -2017 \right)+f\left( 2018 \right)=\frac{1}{\sqrt{2018}}$,
$f\left( -2016 \right)+f\left( 2017 \right)=\frac{1}{\sqrt{2018}}$,
………
$f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)=\frac{1}{\sqrt{2018}}$.
$\Rightarrow f\left( -2017 \right)+f\left( -2016 \right)+…+f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)+…+f\left( 2018 \right)$
$=\frac{1}{\sqrt{2018}}+\frac{1}{\sqrt{2018}}+…+\frac{1}{\sqrt{2018}}$, (2018 thừa số)
$=2018.\frac{1}{\sqrt{2018}}=\sqrt{2018}.$
Vậy $S=2018$.
Câu 4: Tìm bộ ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây
Có tất cả bao nhiêu bộ ba số thực $\left( x,y,z \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây ${{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}{{.4}^{\sqrt[3]{{{y}^{2}}}}}{{.16}^{\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}=128$ và ${{\left( x{{y}^{2}}+{{z}^{4}} \right)}^{2}}=4+{{\left( x{{y}^{2}}-{{z}^{4}} \right)}^{2}}$.
Lời giải
Ta có ${{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}{{.4}^{\sqrt[3]{{{y}^{2}}}}}{{.16}^{\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}=128$$\Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}={{2}^{7}}$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}=7$ (1).
${{\left( x{{y}^{2}}+{{z}^{4}} \right)}^{2}}=4+{{\left( x{{y}^{2}}-{{z}^{4}} \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow x{{y}^{2}}{{z}^{4}}=1$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{{{y}^{2}}}\sqrt[3]{{{z}^{4}}}=1$ và $x>0$(2).
Đặt $a=\sqrt[3]{x}>0$ (theo (2)), $b=\sqrt[3]{y}$, $c=\sqrt[3]{z}$$\Rightarrow a{{b}^{2}}{{c}^{4}}=1$.
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có
$7={{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}$$={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{c}^{2}}+{{c}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 7\sqrt[7]{{{a}^{2}}{{b}^{4}}{{c}^{8}}}=7$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${{a}^{2}}={{b}^{2}}={{c}^{2}}$ hay $\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{{{y}^{2}}}=\sqrt[3]{{{z}^{2}}}$.
Thay vào (1) ta được$\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{{{y}^{2}}}=\sqrt[3]{{{z}^{2}}}=1$. Vì $x>0$ nên có $4$ bộ số thỏa mãn là:
$\left( x,y,z \right)=\left( 1;1;1 \right)$; $\left( x,y,z \right)=\left( 1;-1;1 \right)$;$\left( x,y,z \right)=\left( 1;1;-1 \right)$;$\left( x,y,z \right)=\left( 1;-1;-1 \right)$.
Câu 5: Tìm bộ số được viết dưới dạng tích
Tích $\left( 2017 \right)!{{\left( 1+\frac{1}{1} \right)}^{1}}{{\left( 1+\frac{1}{2} \right)}^{2}}…{{\left( 1+\frac{1}{2017} \right)}^{2017}}$ được viết dưới dạng ${{a}^{b}}$, khi đó $\left( a,\text{ }b \right)$ là bộ số nào ?
Lời giải
Ta có:
$\left( 2017 \right)!{{\left( 1+\frac{1}{1} \right)}^{1}}{{\left( 1+\frac{1}{2} \right)}^{2}}…{{\left( 1+\frac{1}{2017} \right)}^{2017}}=\left( 2017 \right)!{{\left( \frac{2}{1} \right)}^{1}}{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}…{{\left( \frac{2017}{2016} \right)}^{2016}}{{\left( \frac{2018}{2017} \right)}^{2017}}$
$=\left( 2017 \right)!\frac{1}{1}.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}…\frac{1}{2016}.\frac{{{2018}^{2017}}}{2017}$$={{2018}^{2017}}$$\Rightarrow a=2018;\text{ }b=2017$.
Vậy $\left( a;\,b \right)=\left( 2018;\,2017 \right)$.
Câu 6: So sánh các số lũy thừa
So sánh các số:
a. ${{2}^{1200}}$ và ${{3}^{900}}$
b. ${{\left( \sqrt{7} \right)}^{85}}$ và ${{3}^{-150}}$.
Lời giải
a, Ta có ${{2}^{1200}}={{2}^{4.300}}={{16}^{300}}$ và ${{3}^{900}}={{3}^{3.300}}={{27}^{300}}$.
Vì $300>0$ và $16<27$ nên ${{2}^{1200}}<{{3}^{900}}$.
b, Vì $85>0$ và $\sqrt{7}>1$ nên ${{\left( \sqrt{7} \right)}^{85}}>{{\left( \sqrt{7} \right)}^{0}}=1\Rightarrow {{\left( \sqrt{7} \right)}^{85}}>1$$\left( 1 \right)$.
Vì $3>1$ và $-150<0$ nên ${{3}^{-150}}<{{3}^{0}}\Rightarrow {{3}^{-150}}<1$$\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ${{\left( \sqrt{7} \right)}^{85}}>{{3}^{-150}}$.
Câu 7:
So sánh các số :
a. $\sqrt[3]{15}$ và$\sqrt[4]{20}$
b. $\sqrt[3]{7}+\sqrt{15}$ và$\sqrt{10}+\sqrt[3]{28}$.
Lời giải
a, Vì $\sqrt[3]{15}=\sqrt[12]{{{15}^{4}}}=\sqrt[12]{50625}$ và $\sqrt[4]{20}=\sqrt[12]{{{20}^{3}}}=\sqrt[12]{8000}$.
Mà $50625>8000$ nên $\sqrt[3]{15}>\sqrt[4]{20}$.
b, Ta có $\sqrt[3]{7}+\sqrt{15}<\sqrt[3]{8}+\sqrt{16}=2+4=6$, $\sqrt{10}+\sqrt[3]{28}>\sqrt{9}+\sqrt[3]{27}=3+3=6$.
Vậy $\sqrt[3]{7}+\sqrt{15}<\sqrt{10}+\sqrt[3]{28}$.
Câu 8: So sánh giá trị của 2 số lũy thừa dưới đây
Có thể kết luận gì về số $a$ nếu:
a. ${{\left( 2-a \right)}^{\frac{3}{4}}}>{{\left( 2-a \right)}^{2}}$
b. ${{\left( 1-a \right)}^{-\frac{1}{3}}}>{{\left( 1-a \right)}^{-\frac{1}{2}}}$.
Lời giải
a, Ta có $\frac{3}{4}<2$ mà ${{\left( 2-a \right)}^{\frac{3}{4}}}>{{\left( 2-a \right)}^{2}}$nên $0<2-a<1$$\Leftrightarrow 1<a<2$.
b, Ta có $-\frac{1}{3}>-\frac{1}{2}$ mà ${{\left( 1-a \right)}^{-\frac{1}{3}}}>{{\left( 1-a \right)}^{-\frac{1}{2}}}$ nên $1-a>1\Leftrightarrow a<0$.
Câu 9:
So sánh hai số ${{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+…+{{1000}^{1000}}$ và ${{2}^{{{2}^{{{2}^{{{2}^{2}}}}}}}}$.
Lời giải
Ta thấy rằng ${{2}^{{{2}^{{{2}^{{{2}^{2}}}}}}}}={{2}^{{{2}^{{{2}^{4}}}}}}={{2}^{{{2}^{16}}}}$mà ${{2}^{10}}=1024>1000,$ và ${{2}^{6}}=64$.
Suy ra ${{2}^{16}}={{2}^{10}}{{.2}^{6}}>64000$ nên ${{2}^{{{2}^{{{2}^{{{2}^{2}}}}}}}}>{{2}^{64000}}$.
Mặt khác ${{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+…+{{1000}^{1000}}<{{1000.1000}^{1000}}={{1000}^{1001}}<{{({{2}^{10}})}^{1001}}={{2}^{10010}}<{{2}^{64000}}$.
Từ đó suy ra ${{1}^{1}}+{{2}^{2}}+{{3}^{3}}+…+{{1000}^{1000}}<{{2}^{{{2}^{{{2}^{{{2}^{2}}}}}}}}$.
Câu 10: Trong các số lũy thừa sau đây, số nào bé nhất
Cho $U={{2.2019}^{2020}}$, $V={{2019}^{2020}}$, $\text{W}={{2018.2019}^{2019}}$, $X={{5.2019}^{2019}}$
và $Y={{2019}^{2019}}$. Trong các số sau đây, số nào bé nhất $X-Y$; $U-V$ ; $V-\text{W}$ ; $\text{W}-X$?
Lời giải
Ta có $X-Y={{5.2019}^{2019}}-{{2019}^{2019}}={{4.2019}^{2019}}$.
$U-V={{2.2019}^{2020}}-{{2019}^{2020}}={{2019}^{2020}}={{2019.2019}^{2019}}$.
$V-\text{W}={{2019.2019}^{2019}}-{{2018.2019}^{2019}}={{2019}^{2019}}$.
$\text{W}-X={{2018.2019}^{2019}}-{{5.2019}^{2019}}={{2013.2019}^{2019}}$.
Vậy trong các số trên số nhỏ nhất là : $V-\text{W}$.
Câu 11: Tính tỉ số lũy thừa
Cho $a$, $b$ là $2$ số thực khác $0$. Biết ${{\left( \frac{1}{125} \right)}^{{{a}^{2}}+4ab}}={{\left( \sqrt[3]{625} \right)}^{3{{a}^{2}}-10ab}}$. Tính tỉ số $\frac{a}{b}$.
Lời giải
Ta có${{\left( \frac{1}{125} \right)}^{{{a}^{2}}+4ab}}={{\left( \sqrt[3]{625} \right)}^{3{{a}^{2}}-10ab}}$$\Leftrightarrow {{5}^{-3\left( {{a}^{2}}+4ab \right)}}={{5}^{^{\frac{4}{3}\left( 3{{a}^{2}}-10ab \right)}}}$$\Leftrightarrow 7{{a}^{2}}-\frac{4}{3}ab=0$
$\Leftrightarrow 7a-\frac{4}{3}b=0$ (do $a\ne 0$)
$\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{4}{21}$. Vậy $\frac{a}{b}=\frac{4}{21}$.
Câu 12:
Tính giá trị biểu thức $\sqrt{\sqrt{5}.{{\left( \sqrt[4]{\sqrt{5}}:\sqrt{\sqrt[5]{5}} \right)}^{10}}}$.
Lời giải
Ta có: $\sqrt{\sqrt{5}.{{\left( \sqrt[4]{\sqrt{5}}:\sqrt{\sqrt[5]{5}} \right)}^{10}}}=\sqrt{{{5}^{\frac{1}{2}}}{{\left( {{5}^{\frac{1}{8}}}:{{5}^{\frac{1}{10}}} \right)}^{10}}}$$=\sqrt{{{5}^{\frac{1}{2}}}{{\left( {{5}^{\frac{1}{40}}} \right)}^{10}}}=\sqrt{{{5}^{\frac{1}{2}}}{{.5}^{\frac{1}{4}}}}=\sqrt{{{5}^{\frac{3}{4}}}}={{5}^{\frac{3}{8}}}$.
Câu 13:
Tính giá trị biểu thức ${{81}^{-0.75}}+{{\left( \frac{1}{625} \right)}^{-\frac{1}{4}}}-{{\left( \frac{1}{32} \right)}^{-\frac{3}{5}}}$.
Lời giải
Ta có: ${{81}^{-0.75}}+{{\left( \frac{1}{625} \right)}^{-\frac{1}{4}}}-{{\left( \frac{1}{32} \right)}^{-\frac{3}{5}}}={{\left( {{3}^{4}} \right)}^{-\frac{3}{4}}}+{{\left( {{5}^{-4}} \right)}^{-\frac{1}{4}}}-{{\left( {{2}^{-5}} \right)}^{-\frac{3}{5}}}={{3}^{-3}}+5-{{2}^{3}}=-\frac{80}{27}$.
Câu 14:
So sánh các số:
a, ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2019}}$ và ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2020}}$
b. ${{\pi }^{1015}}$ và ${{3,14}^{1015}}$.
Lời giải
a, Vì $0<\sqrt{2}-1<1$ và $2019<2020$ nên ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2019}}>{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2020}}$ .
b, Vì $1015>0$ và $\pi >3,14$ nên ${{\pi }^{1015}}>{{3,14}^{1015}}$ .
Xem thêm:
Bài tập phương trình logarit có lời giải
