Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn logarit là gì, tính chất logarit, lý thuyết logarit cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA
| Cho hai số dương $a,\,\,b$ với $a\ne 1$. Số $\alpha $ thỏa mãn đẳng thức ${{a}^{\alpha }}=b$ được gọi là logarit cơ số $a$ của $b$ và kí hiệu là ${{\log }_{a}}b$ .
Như vậy $\alpha ={{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{a}^{\alpha }}=b.$ |
- Chú ý:
$\circ $ Không có logarit của số $0$ và số âm vì ${{a}^{\alpha }}>0,\text{ }\forall \alpha $.
$\circ $ Cơ số của logarit phải dương và khác 1 $\left( a\ne 1 \right)$
$\circ $ Theo định nghĩa của logarit, ta có: ${{\log }_{a}}1=0;\text{ }{{\log }_{a}}a=1$; ${{\log }_{a}}{{a}^{b}}=b,\text{ }\forall b\in \mathbb{R}$ ;$\text{ }{{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b,\text{ }\forall b\in \mathbb{R},b>0$.
2. CÁC TÍNH CHẤT
| 1.1 So sánh hai logarit cũng cơ số
Cho số dương $a\ne 1$ và các số dương $b,c$ $\circ $ Khi $a>1$ thì ${{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b>c$. $\circ $ Khi $0<a<1$ thì ${{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b<c$.
|
1.2 Hệ quả:
Cho số dương $a\ne 1$ và các số dương $b,c$ $\circ $ Khi $a>1$ thì ${{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow b>1$. $\circ $ Khi $0<a<1$ thì ${{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow b<1$. $\circ $ ${{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b=c$. |
| 2. Logarit của một tích:
Cho 3 số dương $a,\,\,{{b}_{1}},\,\,{{b}_{2}}$ với $a\ne 1$, ta có$\circ \text{ }{{\log }_{a}}({{b}_{1}}.{{b}_{2}})={{\log }_{a}}{{b}_{1}}+{{\log }_{a}}{{b}_{2}}$
|
3. Logarit của một thương:
Cho 3 số dương $a,\,\,{{b}_{1}},\,\,{{b}_{2}}$ với $a\ne 1$, ta có$\circ \text{ }{{\log }_{a}}\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}={{\log }_{a}}{{b}_{1}}-{{\log }_{a}}{{b}_{2}}$ $\circ $ Đặc biệt: với $a,\,\,b>0,\,\,a\ne 1$ ${{\log }_{a}}\frac{1}{b}=-{{\log }_{a}}b$ |
| 4. Logarit của lũy thừa:
Cho $a,\,\,b>0,\,\,a\ne 1$, với mọi $\alpha $, ta có$\circ \text{ }{{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha {{\log }_{a}}b$ $\circ $ Đặc biệt: ${{\log }_{a}}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b$
|
5. Công thức đổi cơ số:
Cho 3 số dương $a,\,\,b,\,\,c$ với $a\ne 1,c\ne 1$, ta có$\circ \text{ }{{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}$ $\circ $ Đặc biệt: ${{\log }_{a}}c=\frac{1}{{{\log }_{c}}a}$ và ${{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b$ với $\alpha \ne 0$. |
- Chú ý:
Logarit thập phân và logarit tự nhiên
- Logarit thập phân là logarit cơ số 10. Viết : ${{\log }_{10}}b=\log b=\lg b$
- Logarit tự nhiên là logarit cơ số $e$ . Viết : ${{\log }_{e}}b=\ln b$
BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC MŨ – LOARRIT THƯỜNG GẶP
| · \[{{a}^{0}}=1,\left( a\ne 0 \right).\]
· \[{{\left( a \right)}^{1}}=a\] · \[{{\left( a \right)}^{-\alpha }}=\frac{1}{{{a}^{\alpha }}}\] · \[\frac{{{\left( a \right)}^{\alpha }}}{{{\left( a \right)}^{\beta }}}={{\left( a \right)}^{\alpha -\beta }}\] · \[{{\left( a \right)}^{\alpha }}.{{\left( b \right)}^{\beta }}={{\left( a \right)}^{\alpha +\beta }}\] · \[{{\left( a \right)}^{\alpha }}.{{\left( b \right)}^{\alpha }}={{\left( a.b \right)}^{\alpha }}\] · \[\frac{{{\left( a \right)}^{\alpha }}}{{{\left( b \right)}^{\alpha }}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }},\left( b\ne 0 \right)\] · \[{{\left( a \right)}^{\frac{\alpha }{\beta }}}=\sqrt[\beta ]{{{\left( a \right)}^{\alpha }}},\left( \beta \in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)\] · \[{{\left( {{a}^{\alpha }} \right)}^{\beta }}={{\left( a \right)}^{\alpha \beta }}\] · \[{{\left( a \right)}^{\alpha }}=b\Rightarrow \alpha ={{\log }_{a}}b\] |
· \[{{\log }_{a}}1=0,\left( 0<a\ne 1 \right)\]
· \[{{\log }_{a}}a=1,\left( 0<a\ne 1 \right)\] · \[{{\log }_{a}}{{a}^{\alpha }}=\alpha ,\left( 0<a\ne 1 \right)\] · \[{{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}a=\frac{1}{\alpha },\left( 0<a\ne 1 \right)\] · \[{{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha .{{\log }_{a}}b,\left( a,b>0,a\ne 1 \right)\] · \[{{\log }_{{{a}^{\beta }}}}b=\frac{1}{\beta }.{{\log }_{a}}b\] · \[{{\log }_{{{a}^{\beta }}}}{{b}^{\alpha }}=\frac{\alpha }{\beta }.{{\log }_{a}}b\] · \[{{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( bc \right)\] · \[{{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)\] · \[{{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\].. |
II. BÀI TẬP MẪU LOGARIT
Câu 1:
Tính giá trị biểu thức $P={{\log }_{5}}3.{{\log }_{2}}5-\frac{\ln 9}{\ln 4}$.
Lời giải
Ta có: $P={{\log }_{5}}3.{{\log }_{2}}5-\frac{\ln 9}{\ln 4}$$={{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}3-{{\log }_{4}}9$$={{\log }_{2}}3-{{\log }_{{{2}^{2}}}}{{3}^{2}}={{\log }_{2}}3-{{\log }_{2}}3=0$.
Câu 2:
Cho $a,b$ là các số thực dương khác $1$ và thỏa mãn: $\ln a+\ln \left( 8b \right)=2\ln \left( a+2b \right)$.
Rút gọn biểu thức:$P={{\log }_{b}}2a+{{\log }_{\frac{a}{2}}}2b-\frac{1}{{{\log }_{8}}b}$ .
Lời giải
Với $a,b$ là các số thực dương khác $1$, ta có: $\ln a+\ln \left( 8b \right)=2\ln \left( a+2b \right)$$\Leftrightarrow \ln \left( 8ab \right)=\ln {{\left( a+2b \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 8ab={{\left( a+2b \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow {{\left( a-2b \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow a=2b$.
Suy ra: $P={{\log }_{b}}4b+{{\log }_{b}}2b-{{\log }_{b}}8$$={{\log }_{b}}\frac{8{{b}^{2}}}{8}={{\log }_{b}}{{b}^{2}}=2$.
Câu 3:
Với $n$ là số nguyên lớn hơn $1$. Hãy so sánh các số $A={{\log }_{n}}\left( n+1 \right)$và $B={{\log }_{n+1}}\left( n+2 \right)$.
Lời giải
Cách 1.
$A={{\log }_{n}}\left( n+1 \right)$=$\frac{ln\left( n+1 \right)}{\ln n}=\frac{\ln n+\ln \frac{n+1}{n}}{\ln n}=1+\frac{\ln \frac{n+1}{n}}{\ln n}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
$B={{\log }_{n+1}}\left( n+2 \right)$$=\frac{\ln \left( n+2 \right)}{\ln \left( n+1 \right)}=\frac{\ln \left( n+1 \right)+\ln \frac{\left( n+2 \right)}{\left( n+1 \right)}}{\ln \left( n+1 \right)}=1+\frac{\ln \frac{\left( n+2 \right)}{\left( n+1 \right)}}{ln\left( n+1 \right)}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$.
Ta có: $\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}>1+\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}\Rightarrow \ln \left( \frac{n+1}{n} \right)>\ln \left( \frac{n+2}{n+1} \right)\,\,$và $n+1>n\Rightarrow \ln \left( n+1 \right)>\ln \left( n \right)$.
Do đó $\frac{\ln \frac{n+1}{n}}{\ln n}>\frac{\ln \frac{\left( n+2 \right)}{\left( n+1 \right)}}{ln\left( n+1 \right)}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow A>B$.
Cách 2.
$A={{\log }_{n}}\left( n+1 \right)={{\log }_{n}}n\left( 1+\frac{1}{n} \right)=1+{{\log }_{n}}\left( 1+\frac{1}{n} \right)$
$B={{\log }_{n+1}}\left( n+2 \right)={{\log }_{n+1}}\left( n+1 \right)\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)=1+{{\log }_{n+1}}\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)$
Ta có $1+\frac{1}{n}>1+\frac{1}{n+1}\Rightarrow {{\log }_{n}}\left( 1+\frac{1}{n} \right)>{{\log }_{n}}\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)$ ( vì$n>1$)
và ${{\log }_{n}}\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)>{{\log }_{n+1}}\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)$ $\Rightarrow {{\log }_{n}}\left( 1+\frac{1}{n} \right)>{{\log }_{n+1}}\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)$ .
Do đó $A>B$.
Câu 4:
Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $0\le x,y\le 1$ và ${{\log }_{3}}\left( \frac{x+y}{1-xy} \right)+\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)-2=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ với $P=2x+y$.
Lời giải
Khi đó ${{\log }_{3}}\left( \frac{x+y}{1-xy} \right)+\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)-2=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+y \right)-{{\log }_{3}}\left( 1-xy \right)+x+y+xy-1=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+y \right)+\left( x+y \right)={{\log }_{3}}\left( 1-xy \right)+\left( 1-xy \right)\text{ (*)}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ với $t>0$, ta thấy ${f}’\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$. Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow x+y=1-xy$ $\Leftrightarrow y\left( x+1 \right)=1-x\Leftrightarrow y=\frac{1-x}{x+1}$. Thay vào $P=2x+y$ ta được $P=2x+\frac{1-x}{x+1}$.
Vậy $\min P=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=1$ khi $x=0,\,y=1$.
Nhận xét: Với bài này sau khi tìm được mối liên hệ giữa $x,\,y$: $x+y=1-xy$ ta có thể làm tiếp như sau: $P=2x+y$$=x+x+y$$=x+1-xy$$=1+x(1-y)\ge 1$.
Đẳng thức xảy ra khi $x=0$, $y=1$ (thỏa các điều kiện của đề bài).
Vậy ${{P}_{\text{min}}}=1$ khi $x=0,\,y=1$.
Câu 5:
Cho ${{\log }_{3}}15=a$. Tính $A={{\log }_{25}}15$ theo a .
Lời giải
Ta có: ${{\log }_{3}}15=a\Leftrightarrow {{\log }_{3}}3+{{\log }_{3}}5=a\Leftrightarrow {{\log }_{3}}5=a-1$.
Khi đó: $A={{\log }_{25}}15=\frac{{{\log }_{3}}15}{{{\log }_{3}}25}=\frac{1+{{\log }_{3}}5}{2{{\log }_{3}}5}=\frac{a}{2\left( a-1 \right)}$.
Câu 6:
Cho ${{\log }_{12}}3=a$. Tính ${{\log }_{24}}18$ theo $a$.
Lời giải
Ta có $a={{\log }_{12}}3=\frac{1}{\text{lo}{{\text{g}}_{3}}12}=\frac{1}{1+2{{\log }_{3}}2}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}3=\frac{2a}{1-a}$.
Khi đó:${{\log }_{24}}18=\frac{{{\log }_{2}}\left( {{3}^{2}}.2 \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{3}}.3 \right)}=\frac{1+2{{\log }_{2}}3}{3+{{\log }_{2}}3}=\frac{1+2.\frac{2a}{1-a}}{3+\frac{2a}{1-\text{ }a}}=\frac{1+3a}{3-a}$.
Câu 7:
Cho các số dương $a$, $b$, $c$ khác $1$ thỏa mãn ${{\log }_{a}}\left( bc \right)=2$; ${{\log }_{b}}\left( ca \right)=4$. Tính giá trị của ${{\log }_{c}}\left( ab \right)$.
Lời giải
Và ${{\log }_{a}}\left( bc \right)=2\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c=2\Leftrightarrow {{\log }_{{{b}^{\frac{5}{3}}}}}b+{{\log }_{a}}c=2\Leftrightarrow {{\log }_{a}}c=\frac{7}{5}$.
${{\log }_{b}}\left( ca \right)=4\Leftrightarrow {{\log }_{b}}c+{{\log }_{b}}a=4\Leftrightarrow {{\log }_{b}}c+{{\log }_{b}}{{b}^{\frac{5}{3}}}=4\Leftrightarrow {{\log }_{b}}c=\frac{7}{3}$.
$\Rightarrow {{\log }_{c}}\left( ab \right)={{\log }_{c}}a+{{\log }_{c}}b=\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}$.
Câu 8:
Cho $a={{\log }_{3}}4,\text{ }b={{\log }_{5}}4.$ Hãy biểu diễn ${{\log }_{12}}80$ theo $a$ và $b.$
Lời giải
Ta có ${{\log }_{12}}80={{\log }_{12}}\left( {{4}^{2}}.5 \right)={{\log }_{12}}{{4}^{2}}+{{\log }_{12}}5=2{{\log }_{12}}4+\frac{1}{{{\log }_{5}}12}$
$=\frac{2}{{{\log }_{4}}12}+\frac{1}{{{\log }_{5}}4+{{\log }_{5}}3}=\frac{2}{{{\log }_{4}}4+{{\log }_{4}}3}+\frac{1}{b+{{\log }_{5}}3}.$
Từ $a={{\log }_{3}}4\Rightarrow {{\log }_{4}}3=\frac{1}{a}\Rightarrow {{\log }_{5}}3={{\log }_{5}}4.{{\log }_{4}}3=b.\frac{1}{a}=\frac{b}{a}$
$\Rightarrow {{\log }_{12}}80=\frac{2}{1+\frac{1}{a}}+\frac{1}{b+\frac{b}{a}}=\frac{2a}{a+1}+\frac{a}{b\left( a+1 \right)}=\frac{a+2ab}{ab+b}.$
Câu 9:
Cho $a={{\log }_{3}}5$, $b={{\log }_{2}}7$, $c={{\log }_{2}}3$ và $I=\frac{-1}{\log 126}\left( \log \frac{1}{2}+\log \frac{2}{3}+\log \frac{3}{4}+…+log\frac{149}{150} \right)$. Tính $I$theo $a$, $b$, $c$.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra ${{\log }_{2}}5={{\log }_{2}}3{{\log }_{3}}5=ac$.
Ta có: $I=\frac{-1}{\log 126}.\log \left( \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}…..\frac{149}{150} \right)$$=\frac{\log 150}{\log 126}$
$={{\log }_{126}}150$$=\frac{{{\log }_{2}}150}{{{\log }_{2}}126}$
$=\frac{1+{{\log }_{2}}3+2{{\log }_{2}}5}{1+2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}7}$$=\frac{1+c+2ac}{1+2c+b}.$
Câu 10:
Cho ${{\log }_{9}}5=a;\,\,{{\log }_{2}}7=b;\,\,{{\log }_{4}}12=c$. Tính ${{\log }_{18}}4200$.
Lời giải
Ta có: $c={{\log }_{4}}12=\frac{{{\log }_{2}}12}{{{\log }_{2}}4}=\frac{2+{{\log }_{2}}3}{2}$$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}3=2c-2$.
$a={{\log }_{9}}5=\frac{{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}9}=\frac{{{\log }_{2}}5}{2{{\log }_{2}}3}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}5=2a{{\log }_{2}}3$$=2a\left( 2c-2 \right)=4ac-4a$.
Khi đó: ${{\log }_{18}}4200=\frac{{{\log }_{2}}4200}{{{\log }_{2}}18}=\frac{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{3}}{{.3.5}^{2}}.7 \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2.3}^{2}} \right)}$$=\frac{3+{{\log }_{2}}3+2{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}7}{1+2{{\log }_{2}}3}$ $=\frac{3+2c-2+2\left( 4ac-4a \right)+b}{1+2\left( 2c-2 \right)}$$=\frac{8ac-8a+b+2c+1}{4c-3}$.
Xem thêm:
Lý thuyết và bài tập mẫu bất phương trình mũ và logarit