Lý thuyết bài tập dãy số lớp 11 đầy đủ và chi tiết

Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập dãy số lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các dạng toán về dãy số viết theo quy luật cũng như các bài tập về dãy số học có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!

I. LÝ THUYẾT

Để có thể làm được lý thuyết bài tập dãy số lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:

DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

a. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{\left( -3 \right)}^{n}}$ tức là dãy $-3,9,-27,81,…$ không tăng cũng không giảm.

b. Dãy số bị chặn

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $m,\text{ }M$ sao cho

Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi ${{u}_{1}}$

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi ${{u}_{1}}$

DẠNG 1: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

Phương pháp giải.

Cách 1: Xét hiệu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$

 Nếu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$thì $({{u}_{n}})$ là dãy số tăng.
 Nếu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}<0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì $({{u}_{n}})$ là dãy số giảm.

Cách 2: Khi ${{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ta xét tỉ số $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}$

 Nếu $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}>1$ thì $({{u}_{n}})$ là dãy số tăng.
 Nếu $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}<1$ thì $({{u}_{n}})$ là dãy số giảm.

Cách 3: Nếu dãy số $({{u}_{n}})$được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh ${{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ (hoặc ${{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$)

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=an+b$tăng khi $a>0$và giảm khi $a<0$

Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}$

 Không tăng, không giảm khi $q<0$
 Giảm khi $0<q<1$
 Tăng khi $q>1$

Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\frac{an+b}{cn+d}$ với điều kiện $\text{cn}+\text{d}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

 Tăng khi $ad-bc>0$
 Giảm khi $ad-bc<0$

Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

Nếu dãy số $({{u}_{n}})$tăng hoặc giảm thì dãy số $\left( {{q}^{n}}.{{u}_{n}} \right)$ (với $q<0$) không tăng, không giảm

Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n+1}}=a{{u}_{n}}+b$ tăng nếu $\left\{ \begin{align} & a>0 \\ & {{u}_{2}}-{{u}_{1}}>0 \\\end{align} \right.$ ; giảm nếu $\left\{ \begin{align} & a>0 \\ & {{u}_{2}}-{{u}_{1}}<0 \\\end{align} \right.$và không tăng không giảm nếu $a<0$

Dãy số $({{u}_{n}})$có $\left\{ \begin{align} & {{u}_{n+1}}=\frac{a{{u}_{n}}+b}{c{{u}_{n}}+d} \\ & c,d>0,{{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\\end{align} \right.$tăng nếu $\left\{ \begin{align} & ad-bc>0 \\ & {{u}_{2}}-{{u}_{1}}>0 \\\end{align} \right.$và giảm nếu $\left\{ \begin{align} & ad-bc>0 \\ & {{u}_{2}}-{{u}_{1}}<0 \\\end{align} \right.$

Nếu $\left\{ \begin{align} & ({{u}_{n}})\uparrow \\ & ({{v}_{n}})\uparrow \\\end{align} \right.$thì dãy số $\left( {{u}_{n}}+{{v}_{n}} \right)\uparrow $	Nếu $\left\{ \begin{align} & ({{u}_{n}})\downarrow \\ & ({{v}_{n}})\downarrow \\\end{align} \right.$thì dãy số $\left( {{u}_{n}}+{{v}_{n}} \right)\downarrow $
Nếu $\left\{ \begin{align} & ({{u}_{n}})\uparrow ;{{u}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{}} \\ & ({{v}_{n}})\uparrow ;{{v}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{}} \\\end{align} \right.$thì dãy số $\left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)\uparrow $	Nếu $\left\{ \begin{align} & ({{u}_{n}})\downarrow ;{{u}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{}} \\ & ({{v}_{n}})\downarrow ;{{v}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{}} \\\end{align} \right.$thì dãy số $\left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)\downarrow $
Nếu $({{u}_{n}})\uparrow $ và ${{u}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{}}$ thì dãy số $\left( \sqrt{{{u}_{n}}} \right)\uparrow $ và dãy số $\left( {{({{u}_{n}})}^{m}} \right)\uparrow \forall m\in {{\mathbb{N}}^{}}$	Nếu $({{u}_{n}})\downarrow $ và ${{u}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{}}$ thì dãy số $\left( \sqrt{{{u}_{n}}} \right)\downarrow $ và dãy số $\left( {{({{u}_{n}})}^{m}} \right)\downarrow \forall m\in {{\mathbb{N}}^{}}$
Nếu $({{u}_{n}})\uparrow $ và ${{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì dãy số$\left( \frac{1}{{{u}_{n}}} \right)\downarrow $	Nếu $({{u}_{n}})\downarrow $ và ${{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì dãy số$\left( \frac{1}{{{u}_{n}}} \right)\uparrow $.

DẠNG 2: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

Phương pháp giải

Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cách 1: Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=f(n)$ là hàm số đơn giản.

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức ${{u}_{n}}=f(n)\le M,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ hoặc ${{u}_{n}}=f(n)\ge m,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

Cách 2: Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{v}_{1}}+{{v}_{2}}+…+{{v}_{k}}+…+{{v}_{n}}$(tổng hữu hạn)

Ta làm trội ${{v}_{k}}\le {{a}_{k}}-{{a}_{k+1}}$

Lúc đó ${{u}_{n}}\le \left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)+\left( {{a}_{2}}-{{a}_{3}} \right)+…\left( {{a}_{n}}-{{a}_{n+1}} \right)$

Suy ra ${{u}_{n}}\le {{a}_{1}}-{{a}_{n+1}}\le M,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

Cách 3: Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{v}_{1}}.{{v}_{2}}{{v}_{3}}…{{v}_{n}}$ với ${{v}_{n}}>0,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ (tích hữu hạn)

Ta làm trội ${{v}_{k}}\le \frac{{{a}_{k+1}}}{{{a}_{k}}}$

Lúc đó ${{u}_{n}}\le \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}.\frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{2}}}…\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}$

Suy ra ${{u}_{n}}\le \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{1}}}\le M,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Nếu dãy số $({{u}_{n}})$được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số $({{u}_{n}})$giảm thì bị chặn trên, dãy số $({{u}_{n}})$tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}\quad \left( \left| q \right|\le 1 \right)$ bị chặn
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}\quad \left( q<-1 \right)$ không bị chặn
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}$ với $q>1$ bị chặn dưới
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=an+b$ bị chặn dưới nếu $a>0$và bị chặn trên nếu $a<0$
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=a{{n}^{2}}+bn+c$ bị chặn dưới nếu $a>0$và bị chặn trên nếu $a<0$
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{a}_{m}}{{n}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{n}^{m-1}}+…+{{a}_{1}}n+{{a}_{0}}$ bị chặn dưới nếu ${{a}_{m}}>0$ và bị chặn trên nếu ${{a}_{m}}<0$
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}\left( {{a}_{m}}{{n}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{n}^{m-1}}+…+{{a}_{1}}n+{{a}_{0}} \right)$với ${{a}_{m}}\ne 0$ và $q<-1$ không bị chặn
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\sqrt{{{a}_{m}}{{n}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{n}^{m-1}}+…+{{a}_{1}}n+{{a}_{0}}}$ bị chặn dưới với ${{a}_{m}}>0$
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\sqrt[3]{{{a}_{m}}{{n}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{n}^{m-1}}+…+{{a}_{1}}n+{{a}_{0}}}$ bị chặn dưới nếu ${{a}_{m}}>0$ và bị chặn trên nếu ${{a}_{m}}<0$
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\frac{P\left( n \right)}{Q\left( n \right)}$ trong đó $P\left( n \right)$và $Q\left( n \right)$là các đa thức, bị chặn nếu bậc của $P\left( n \right)$nhỏ hơn hoặc bằng bậc của $Q\left( n \right)$
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\frac{P\left( n \right)}{Q\left( n \right)}$ trong đó $P\left( n \right)$và $Q\left( n \right)$là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của $P\left( n \right)$ lớn hơn bậc của $Q\left( n \right)$

II. BÀI TẬP MẪU

Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của bài các dạng toán về dãy số viết theo quy luật thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập dãy số lớp 11 có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:

DẠNG 1: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

1) Dãy số${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=2{{n}^{3}}-5n+1}$

2) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}={{3}^{n}}-n.}$

3) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=\frac{n}{{{n}^{2}}+1}}$.

4) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=\frac{\sqrt{n}}{{{2}^{n}}}}$

5) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$với ${{{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n}}}{{{n}^{2}}}}$

6) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$: Với ${{{u}_{n}}=\frac{3{{n}^{2}}-2n+1}{n+1}}$

7) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+n+1}{2{{n}^{2}}+1}}$

8) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với${{{u}_{n}}=n-\sqrt{{{n}^{2}}-1}}$

9) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với${{{u}_{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-1}{n}}$

Lời giải

1) Dãy số${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=2{{n}^{3}}-5n+1}$

Với mỗi ${n\in {{N}^{*}}}$, ta có: ${{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left[ 2{{\left( n+1 \right)}^{3}}-5\left( n+1 \right)+1 \right]-\left( 2{{n}^{3}}-5n+1 \right)}$

${=2{{n}^{3}}+6{{n}^{2}}+6n+2-5n-5-1-2{{n}^{3}}+5n-1}$

${=6{{n}^{2}}+6n-3=6{{n}^{2}}+3n+\left( 3n-3 \right)>0}$ ( đúng ) do ${n\ge 1.}$

Vì thế dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$là một dãy số tăng.

2) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}={{3}^{n}}-n.}$

Với mỗi ${n\in {{N}^{*}}}$, ta có: ${{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left[ {{3}^{n+1}}-\left( n+1 \right) \right]-\left( {{3}^{n}}-n \right).}$

${={{3.3}^{n}}-n-1-{{3}^{n}}+n}$

${={{2.3}^{n}}+{{3}^{n}}-{{3}^{n}}-1={{2.3}^{n}}-1>0}$ (đúng) (vì ${n\ge 1.}$)

Kết luận dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một dãy số tăng.

3) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=\frac{n}{{{n}^{2}}+1}}$.

Với mỗi ${n\in {{N}^{*}}}$, ta có:

${{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n+1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}+1}-\frac{n}{{{n}^{2}}+1}=\frac{\left( n+1 \right)\left( {{n}^{2}}+1 \right)-n\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}+1 \right]}{\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}+1 \right]\left( {{n}^{2}}+1 \right)}}$

${=\frac{{{n}^{3}}+n+{{n}^{2}}+1-\left( {{n}^{3}}+2{{n}^{2}}+2n \right)}{\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}+1 \right]\left( {{n}^{2}}+1 \right)}}$${=\frac{-{{n}^{2}}-n+1}{\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}+1 \right]\left( {{n}^{2}}+1 \right)}<0.}$

Vì ${-{{n}^{2}}-n+1<0\text{ }\forall n\ge 1}$, và${\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}+1 \right]\left( {{n}^{2}}+1 \right)>0\text{ }\forall n\ge 1.}$

Kết luận: dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một dãy số giảm.

4) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=\frac{\sqrt{n}}{{{2}^{n}}}}$

Dễ thấy ${{{u}_{n}}>0\text{ }\forall n\in {{N}^{*}}}$. Xét tỉ số:${\frac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}}}$

Ta có:${\frac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}}=\frac{\sqrt{n}}{{{2}^{n}}}.\frac{{{2}^{n+1}}}{\sqrt{n+1}}=\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1\text{ }\left( \forall n\ge 1 \right)}$

Thật vậy:${\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1\Leftrightarrow \frac{4n}{n+1}>1\Leftrightarrow 4n>n+1\Leftrightarrow 3n>1}$ ( đúng${\forall n\ge 1}$ )

Kết luận: ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một dãy số giảm.

5) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$với ${{{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n}}}{{{n}^{2}}}}$

Dễ thấy ${{{u}_{n}}>0\text{ }\forall n\in {{N}^{*}}}$. Xét tỉ số: ${\frac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}}}$

${\frac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}}=\frac{{{3}^{n}}}{{{n}^{2}}}.\frac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{{{3}^{n+1}}}=\frac{1}{3}.{{\left( \frac{n+1}{n} \right)}^{2}}}$

Nếu ${\frac{1}{3}{{\left( \frac{n+1}{n} \right)}^{2}}>1\Leftrightarrow {{\left( \frac{n+1}{n} \right)}^{2}}>3}$

${\Leftrightarrow \frac{n+1}{n}>\sqrt{3}\Leftrightarrow n+1>\sqrt{3}.n\Leftrightarrow \sqrt{3}.n-n<1}$

${\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}-1 \right)n<1\Leftrightarrow n<\frac{1}{\sqrt{3}-1}\Rightarrow n=1}$

Nếu ${\frac{1}{3}{{\left( \frac{n+1}{n} \right)}^{2}}<1\Leftrightarrow {{\left( \frac{n+1}{n} \right)}^{2}}<3\Leftrightarrow \frac{n+1}{n}<\sqrt{3}\Leftrightarrow n+1<\sqrt{3}.n\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}-1 \right)n>1}$

${\Leftrightarrow n>\frac{1}{\sqrt{3}-1}\Leftrightarrow n>2.}$

6) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$: Với ${{{u}_{n}}=\frac{3{{n}^{2}}-2n+1}{n+1}}$

Ta có: ${{{u}_{n}}=3n-5+\frac{6}{n+1}}$

Với mọi ${n\in {{N}^{*}}}$ ta có:

${{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left[ 3\left( n+1 \right)-5+\frac{6}{n+2} \right]-\left( 3n-5+\frac{6}{n+1} \right)}$ ${=3+\frac{6}{n+2}-\frac{6}{n+1}}$

${=3\left[ \frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)+2\left( n+1 \right)-2\left( n+2 \right)}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)} \right]}$ ${=\frac{3\left( {{n}^{2}}+3n \right)}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}>0.\text{ }\forall n\ge 1.}$

Kết luận ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là dãy số tăng.

7) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với ${{{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+n+1}{2{{n}^{2}}+1}=\frac{1}{2}+\frac{n+\frac{3}{2}}{2{{n}^{2}}+1}}$

Với mọi ${n\in {{N}^{*}}}$, xét hiệu số:

${{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{n+1+\frac{3}{2}}{2{{\left( n+1 \right)}^{2}}+1}-\left( \frac{1}{2}+\frac{n+\frac{3}{2}}{2{{n}^{2}}+1} \right)}$ ${=\frac{n+\frac{5}{2}}{2{{n}^{2}}+2n+3}-\frac{n+\frac{3}{2}}{2{{n}^{2}}+1}}$

${=\frac{\left( n+\frac{5}{2} \right)\left( 2{{n}^{2}}+1 \right)-\left( n+\frac{3}{2} \right)\left( 2{{n}^{2}}+2n+3 \right)}{\left( 2{{n}^{2}}+2n+3 \right)\left( 2{{n}^{2}}+1 \right)}}$ ${=\frac{-5n-2}{\left( 2{{n}^{2}}+2n+3 \right)\left( 2{{n}^{2}}+1 \right)}<0\text{ }\forall n\ge 1.}$

Vậy dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$là dãy số giảm.

8) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với${{{u}_{n}}=n-\sqrt{{{n}^{2}}-1}}$

Ta có: ${{{u}_{n}}=n-\sqrt{{{n}^{2}}-1}=\frac{{{n}^{2}}-\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}=\frac{1}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}}$

Dễ dàng ta có: ${\left( n+1 \right)+\sqrt{{{\left( n+1 \right)}^{2}}-1}>n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}$

${\Rightarrow \frac{1}{\left( n+1 \right)+\sqrt{{{\left( n+1 \right)}^{2}}-1}}<\frac{1}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}}$

Từ đó suy ra dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là dãy số giảm.

9) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ với${{{u}_{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-1}{n}}$

Ta có: ${{{u}_{n}}=\frac{\left( n+1 \right)-1}{n\left( \sqrt{n+1}+1 \right)}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}}$

Dễ dàng ta có: ${\sqrt{\left( n+1 \right)+1}+1>\sqrt{n+1}+1}$ ${\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\left( n+1 \right)+1}+1}<\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}}$ ${\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}.}$ Vậy dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là dãy số giảm.

DẠNG 2: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

Bài tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) ${{{u}_{n}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}}$

b) ${{{u}_{n}}=\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}}}$

c) ${{{u}_{n}}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.5}+…+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}}$

d) ${{{u}_{n}}=\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+…+\frac{1}{n\left( n+3 \right)}}$

Lời giải

a) Rõ ràng ${{{u}_{n}}>0,\forall n\in \mathbb{N}*}$ nên ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn dưới.

Lại có: ${\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}$. Suy ra ${{{u}_{n}}=\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+…+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=1-\frac{1}{n+1}<1,\forall n\in \mathbb{N}*}$nên ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn trên.

Kết luận ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn.

b) Rõ ràng ${{{u}_{n}}>0,\forall n\in \mathbb{N}*}$ nên ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn dưới.

Có ${\frac{1}{{{k}^{2}}}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\forall k\ge 2,k\in \mathbb{N}}$. Do đó:

${{{u}_{n}}<1+\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+…+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)=2-\frac{1}{n}<2}$ với mọi số nguyên dương n, nên ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn trên.

Kết luận ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn.

c) Rõ ràng ${{{u}_{n}}>0,\forall n\in \mathbb{N}*}$ nên ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn dưới.

Lại có: ${\frac{1}{\left( 2k-1 \right)\left( 2k+1 \right)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)}$. Suy ra ${{{u}_{n}}=\frac{1}{2}\left[ \left( 1-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{5} \right)+…+\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right) \right]=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right)<\frac{1}{2}}$ với mọi số nguyên dương n, nên ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn trên.

Kết luận ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn.

d) Rõ ràng ${{{u}_{n}}>0,\forall n\in \mathbb{N}*}$ nên ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn dưới.

Lại có: ${\frac{1}{k\left( k+3 \right)}=\frac{1}{3}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)}$. Suy ra ${{{u}_{n}}=\frac{1}{3}[\left( 1-\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{5} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{6} \right)}$

${+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{7} \right)+…}$${+\left( \frac{1}{n-3}-\frac{1}{n} \right)+\left( \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1} \right)+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2} \right)+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+3} \right)}$]

${{{u}_{n}}=\frac{1}{3}\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3} \right)<\frac{11}{18}}$ với mọi số nguyên dương n, nên ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn trên.

Kết luận ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn.

Bài tập 2: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=2 \\& {{u}_{n+1}}=\frac{u_{n}^{2}}{2{{u}_{n}}-1},\text{ }n\ge 1,\text{ }n\in \mathbb{N} \\\end{align} \right.$

a) Chứng minh rằng dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ giảm và bị chặn.

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$.

Lời giải

a) Ta có ${{u}_{1}}=2;\text{ }{{u}_{2}}=\frac{4}{3}>1$.

Giả sử ${{u}_{k}}>1,\text{ }k\ge 2$ (giả thiết quy nạp)

Ta sẽ chứng minh ${{u}_{k+1}}>1\text{ }\left( * \right)$

Theo công thức truy hồi $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow \frac{u_{k}^{2}}{2{{u}_{k}}-1}>1\Leftrightarrow u_{k}^{2}>2{{u}_{k}}-1$ vì ($2{{u}_{k}}-1>0$)

$\Leftrightarrow u_{k}^{2}-2{{u}_{k}}+1>0\Leftrightarrow {{\left( {{u}_{k}}-1 \right)}^{2}}>0$ đúng (vì ${{u}_{k}}>1$)

Vậy ${{u}_{n}}>1,\text{ }\forall n\in \mathbb{N}*$, suy ra $\left( {{u}_{n}} \right)$ bị chặn dưới.

+) Xét hiệu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{u_{n}^{2}}{2{{u}_{n}}-1}-{{u}_{n}}=\frac{{{u}_{n}}\left( 1-{{u}_{n}} \right)}{2{{u}_{n}}-1}<0$ (vì ${{u}_{k}}>1$) $\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)$ giảm

$\Rightarrow 2={{u}_{1}}>{{u}_{2}}>{{u}_{3}}>…>…$$\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)$ bị chặn trên.

Vậy dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ giảm và bị chặn.

b) Từ ${{u}_{n+1}}=\frac{u_{n}^{2}}{2{{u}_{n}}-1}\Rightarrow \frac{1}{{{u}_{n+1}}}=\frac{2}{{{u}_{n}}}-\frac{1}{u_{n}^{2}}=-\left( \frac{1}{u_{n}^{2}}-\frac{2}{{{u}_{n}}}+1 \right)$$=-{{\left( \frac{1}{{{u}_{n}}}-1 \right)}^{2}}$.

Đặt ${{v}_{n}}=\frac{1}{{{u}_{n}}}-1$$\Rightarrow {{v}_{1}}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$ và ${{v}_{n+1}}=-v_{n}^{2}$.

Từ đó suy ra ${{v}_{1}}=-{{2}^{-1}};\text{ }{{v}_{2}}=-{{2}^{-2}};\text{ }{{v}_{3}}=-{{2}^{-4}};\text{ }{{v}_{4}}=-{{2}^{-8}}$.

Giả sử ${{v}_{n}}=-{{2}^{-{{2}^{n-1}}}}$, $n\ge 4$ (giả thiết quy nạp).

$\Rightarrow {{v}_{n+1}}=-{{\left( {{2}^{-{{2}^{n-1}}}} \right)}^{2}}=-{{2}^{-{{2}^{n}}}}$. Do đó ${{v}_{n}}=-{{2}^{-{{2}^{n}}}},\text{ }\forall n$

Mà ${{v}_{n}}=\frac{1}{{{u}_{n}}}-1\Rightarrow {{u}_{n}}=\frac{1}{1+{{v}_{n}}}=\frac{1}{1-{{2}^{-{{2}^{n-1}}}}}=\frac{{{2}^{{{2}^{n-1}}}}}{{{2}^{{{2}^{n-1}}}}-1}$.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là ${{u}_{n}}=\frac{{{2}^{{{2}^{n-1}}}}}{{{2}^{{{2}^{n-1}}}}-1}$.

Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các dạng toán về dãy số viết theo quy luật có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về lý thuyết bài tập dãy số lớp 11 thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!