Khái niệm và bài tập về khối đa diện, khối đa diện là gì, định nghĩa khối đa diện đều là một trong những kiến thức cơ bản của toán lớp 12. Vậy với dạng bài tập này phải làm như thế nào? Cùng Khoa Cử đi tìm hiểu về lý thuyết cũng như các bài tập mẫu dưới đây nhé!
I. LÝ THUYẾT KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm về hình đa diện
- Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất
i, Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
ii, Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
- Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.
- Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.
2. Khái niệm về khối đa diện
- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
- Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.
-> Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
- Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.
-> Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện.
- Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài…của hình đa diện tương ứng.
- Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ.
- Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp.
- Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt.
- Tương tự ta có định nghĩa về khối $n-$giác; khối chóp cụt $n-$giác, khối chóp đều, khối hộp,…
- Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.
Ví dụ:
- Các hình dưới đây là những khối đa diện:
- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:
Một số kết quả quan trọng
- Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.
- Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh
- Kết quả 3: Cho (H) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của (H) là lẻ thì p phải là số chẵn.
Chứng minh: Gọi $m$ là số mặt của khối đa diện $(H)$. Vì mỗi mặt của $(H)$ có $p$ cạnh nên mặt sẽ có $pm$ cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của $(H)$ bằng $c$ = $pm/2$ . Vì $m$ lẻ nên $p$ phải là số chẵn.
- Kết quả 4: (suy ra từ chứng minh kết quả 3): Cho $(H)$ là đa diện có $m$ mặt, mà các mặt của nó là những đa giác $p$ cạnh. Khi đó số cạnh của $(H)$ là $c$ = $pm/2$.
- Kết quả 5: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số mặt của nó phải là một số chẵn.
Chứng minh:Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là $c$ và $m$.
Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là $c$ = $3m/2$ (có thể áp dụng luôn kết quả 4 để suy ra $c$ = $3m/2$).
Suy ra $3m = 2c$ => $3m$ là số chẵn => $m$ là số chẵn.
Ví dụ
+ Khối tứ diện $ABCD$ có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác.
+ Xét tam giác $BCD$ và hai điểm $A,\text{ }E$ ở về hai phía của mặt phẳng $\left( BCD \right)$. Khi đó ta có lục diện $ABCDE$ có 6 mặt là những tam giác.
+ Khối bát diện $ABCDEF$ có 8 mặt là các tam giác.
+ Xét ngũ giác $ABCDE$ và hai điểm $M,\text{ }N$ ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác. Khi đó khối thập diện $MABCDEN$ có 10 mặt là các tam giác.
- Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia thành những khối tứ diện.
- Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
- Kết quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.
Tổng quát : Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn.
- Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
- Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
- Kết quả 11: Với mỗi số nguyên $k>=3$ luôn tồn tại một hình đa diện có $2k$ cạnh.
- Kết quả 12: Với mỗi số nguyên $k>=4$ luôn tồn tại một hình đa diện có $2k + 1$ cạnh.
- Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có
+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
- Kết quả 14: Tồn tại khối đa diện có $2n$ mặt là những tam giác đều.
Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều. Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một mặt của tứ diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện $H6$ có 6 mặt là các tam giác đều. Ghép thêm vào $H6$ một khối tứ diện đều nữa ta được khối đa diện $H8$ có 8 mặt là các tam giác đều. Bằng cách như vậy ta được khối đa diện $2n$ mặt là những tam giác đều.
Xem thêm: Lý thuyết và bài tập của khối đa diện lồi và khối đa diện đều
II. BÀI TẬP MẪU KHỐI ĐA DIỆN
Câu 1: Tìm số hình đa diện dưới đây
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải
Chọn C
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
- Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
- Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Ta thấy có ba hình thỏa mãn hai tính chất trên.
Câu 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh.
B. Mỗi hình đa diện có ít nhất ba đỉnh.
C. Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.
D. Số mặt của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.
Lời giải
Chọn A
C và D sai (Ví dụ hình tứ diện); B sai vì không có hình đa diện nào ba đỉnh.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.
B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau.
C. Số đỉnh và số mặt của hình đa diện luôn bằng nhau.
D. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.
Lời giải
Chọn D
Hình tứ diện có $4$đỉnh và $4$mặt.
Câu 4: Tìm số hình đa diện dưới đây
Gọi $n$ là số hình đa diện trong bốn hình trên. Tìm $n$.
A. $n=4$. B. $n=2$. C. $n=1$. D. $n=3$.
Lời giải
Chọn D
Số hình đa diện là 3 vì hình đầu tiên không phải hình đa diện.
Câu 5: Khẳng định nào sau đây sai
Cho một hình đa diện. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
Lời giải
Chọn A
Hình tứ diện có $4$đỉnh và $4$mặt.
Câu 6: Hình lăng trụ có $45$ cạnh có bao nhiêu mặt?
A. $15$. B. $20$. C. $18$. D. $17$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $x$ là số cạnh của một mặt đáy hình lăng trụ ta có $3x=45$$\Leftrightarrow x=15$.
Vậy hình lăng trụ có $15$ mặt bên và $2$ mặt đáy.
Số mặt của hình lăng trụ là $17$.
Câu 7: Một hình chóp có tất cả $2018$ mặt. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu đỉnh?
A. $1009$. B. $2018$. C. $2017$. D. $1008$.
Lời giải
Chọn B
Giả sử số đỉnh của đa giác đáy của hình chóp là $n\,\,\left( n\ge 3 \right)$thì đa giác đáy sẽ có $n$ cạnh.
Do đó, số mặt bên của hình chóp là $n$.
Theo bài ra ta có phương trình
$n+1=2018$$\Leftrightarrow n=2017$.
Do đó, số đỉnh của hình chóp là $2018$.
Câu 8: Một hình đa diện có các mặt là các tam giác có số mặt $M$ và số cạnh $C$ của đa diện đó thỏa mãn hệ thức nào dưới đây
A. $3C=2M$ B. $C=2M$ C. $3M=2C$ D. $2C=M$
Lời giải
Chọn C
Mỗi mặt của đa diện trên là một tam giác ($3$ cạnh)
Số mặt của đa diện là $M$ $\to $ tổng tất cả số cạnh tạo nên tất cả tam giác thuộc đa diện đó là $3M$.
Nếu cắt nhỏ các đa giác ra khỏi khối đa diện, ta thấy mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng hai tam giác $\to $ Tổng số cạnh tạo nên tất cả các tam giác là $2C$
Vậy ta có $3M=2C$.
Xem thêm:
Chuyên đề thể tích khối đa diện đầy đủ chi tiết
Lý thuyết và bài tập của khối đa diện lồi và khối đa diện đều
