Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng khối đa diện lồi và khối đa diện đều rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về khối hộp là khối đa diện lồi bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến khối đa diện lồi và khối đa diện đều một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức trong dạng cũng như tính chất của khối đa diện lồi và khối đa diện đều này như sau:
1. khối đa diện lồi là gì?
Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm $A$ và $B$ nào của nó thì mọi điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ cũng thuộc khối đa diện đó.
Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. (Hình 2.2)
Công thức Ơ-le : Trong một đa diện lồi nếu gọi D là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt $\text{D}-C+M=2$.
2. Khối đa diện đều
Định nghĩa
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
+ Các mặt là những đa giác đều $n$ cạnh.
+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $p$ mặt.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại $\left\{ n,p \right\}$
Định lý
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại $\left\{ 3;3 \right\}$, loại $\left\{ 4;3 \right\}$, loại $\left\{ 3;4 \right\}$, loại $\left\{ 5;3 \right\}$,loại $\left\{ 3;5 \right\}$.Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
3. Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều
Có bao nhiêu khối đa diện đều? là một trong những câu hỏi chúng tôi thường xuyên bắt gặp và câu trả lời là:
|
Khối đa diện đều |
Số đỉnh | Số cạnh | Số mặt | Loại | |
|
Tứ diện đều |
 |
4 |
6 |
4 |
$\left\{ 3;3 \right\}$ |
|
Khối lập phương |
 |
8 |
12 | 6 |
$\left\{ 4;3 \right\}$ |
|
Bát diện đều |
 |
6 | 12 | 8 | $\left\{ 3;4 \right\}$ |
|
Mười hai mặt đều |
 |
20 | 30 | 12 |
$\left\{ 5;3 \right\}$ |
| Hai mươi mặt đều |  |
12 | 30 | 20 |
$\left\{ 3;5 \right\}$ |
Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại $\left\{ n,p \right\}$ có $D$ đỉnh, $C$ cạnh và $M$ mặt:
| $p\text{D}=2C=nM$ . |
4. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG
Kết quả 1: Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
+ Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một tứ diện đều;
+ Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát điện đều (khối tám mặt đều).
Kết quả 2: Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một bát diện đều.
Kết quả 3: Tâm của các mặt của một bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.
Kết quả 4: Hai đỉnh của một bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:
+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
+ Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
+ Ba đường chéo bằng nhau.
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập mẫu để có thể hiểu rõ hơn chương hình học không gian này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$ . Hình chóp này có mặt đối xứng nào?
A. Không có. B. $\left( SAB \right)$. C. $\left( SAC \right)$ . D. $\left( SAD \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $BD\bot \left( SAC \right)$ và $O$ là trung điểm của $BD$. Suy ra $\left( SAC \right)$ là mặt phẳng trung trực của $BD$. Suy ra $\left( SAC \right)$ là mặt đối xứng của hình chóp, và đây là mặt phẳng duy nhất.
Bài tập 2:
Gọi ${{n}_{1}},\text{ }{{n}_{2}},\text{ }{{n}_{3}}$ lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. ${{n}_{1}}=0,\text{ }{{n}_{2}}=0,\text{ }{{n}_{3}}=6.$ B. ${{n}_{1}}=0,\text{ }{{n}_{2}}=1,\text{ }{{n}_{3}}=9.$
C. ${{n}_{1}}=3,\text{ }{{n}_{2}}=1,\text{ }{{n}_{3}}=9.$ D. ${{n}_{1}}=0,\text{ }{{n}_{2}}=1,\text{ }{{n}_{3}}=3.$
Lời giải
Chọn C.
Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện). Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác). Khối lập phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ; Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).
Bài tập 3:
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là
A. Các đỉnh của một hình tứ diện đều. B. Các đỉnh của một hình bát diện đều.
C. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều. D. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.
Lời giải
Chọn B.
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M,N,P,I,J,K$lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,AC,AD,DB$.
Ta có: $IM=IN=NM=\frac{1}{2}a$ (tính chất đường trung bình của tam giác). Suy ra $IMN$ đều.
Chứng minh tương tự, ta có các tam giác: $IPN$, $IPJ$, $KPJ$, $KPN$, $IMJ$, $KMJ$, $KMN$ là các tam giác đều.
Tám tam giác trên tạo thành một đa diện có các đỉnh là $M,N,P,I,J,K$mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $4$tam giác đều. Do đó đa diện đó là đa diện đều loại $\left\{ 3;4 \right\}$ tức là bát diện đều.
Bài tập 4:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Tâm tất cả các mặt của 1 hình lập phương thì tạo thành một hình lập phương.
B. Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình tứ diện đều.
C. Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình lập phương.
D. Tâm tất cả các mặt của 1 hình lập phương thì tạo thành một hình tứ diện đều.
Lời giải
Chọn B.
Gọi$P,I,J,K$ là tâm của các mặt $ABD$, $ACD$, $ABC$, $BCD$ của tứ diện đều $ABCD$.
Ta có: $\frac{IN}{AN}=\frac{KN}{BN}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{KI}{BA}=\frac{1}{3}\Rightarrow KI=\frac{1}{3}a$.
Chứng mình tương tự ta có: $IK=JP=IJ=PI=PK=KI=\frac{1}{3}a$.
Vậy $PIJK$ là tứ diện đều.
Bài tập 5:
Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ tâm $O$ (tâm đối xứng). Ảnh của đoạn thẳng ${A}’B$ qua phép đối xứng tâm ${{D}_{O}}$ là đoạn thẳng
A. $D{C}’$. B. $C{D}’$. C. $D{B}’$. D. $A{C}’$ .
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
${{D}_{O}}\left( A’ \right)=C;{{D}_{O}}\left( B \right)=D’$
Do đó:
${{D}_{O}}\left( A’B \right)=CD’$
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về khối đa diện lồi và khối đa diện đều mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm: