Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn cách giải và bài tập mẫu khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt phần khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng oxyz môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI
$\centerdot $ Khoảng cách từ điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})$ đến mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ được xác định bởi công thức: $\cdot $
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng
$\centerdot $ Cho hai mặt phẳng song song $(P):ax+by+cz+d=0$ và $(Q):ax+by+cz+{d}’=0$ có cùng véctơ pháp tuyến, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là $\cdot $
Viết phương trình $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0$ và cách $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ khoảng $k.$
Phương pháp:
$\centerdot $ Vì $(P)\text{//}(Q):ax+by+cz+d=0\Rightarrow (P):ax+by+cz+{d}’=0.$
$\centerdot $ Sử dụng công thức khoảng cách ${{d}_{\left[ M,(P) \right]}}=\frac{\left| a{{x}_{\circ }}+b{{y}_{\circ }}+c{{z}_{\circ }}+{d}’ \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=k\Rightarrow {d}’.$
viết phương trình mặt phẳng $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0$ và $(P)$ cách mặt phẳng $(Q)$ một khoảng $k$cho trước.
Phương pháp:
$\centerdot $ Vì $(P)\text{//}(Q):ax+by+cz+d=0\Rightarrow (P):ax+by+cz+{d}’=0.$
$\centerdot $ Chọn một điểm $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})\in (Q)$ và sử dụng công thức:
${{d}_{\left[ (Q);(P) \right]}}={{d}_{\left[ M,(P) \right]}}=\frac{\left| a{{x}_{\circ }}+b{{y}_{\circ }}+c{{z}_{\circ }}+{d}’ \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=k\Rightarrow {d}’.$
viết phương trình mặt phẳng $(P)$ vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha ),\text{ }(\beta ),$ đồng thời $(P)$ cách điểm $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ một khoảng bằng $k$ cho trước.
Phương pháp:
$\centerdot $ Tìm ${{\vec{n}}_{(\alpha )}},\text{ }{{\vec{n}}_{(\beta )}}.$ Từ đó suy ra ${{\vec{n}}_{(P)}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{(\alpha )}},{{{\vec{n}}}_{(\beta )}} \right]=(a;b;c).$
$\centerdot $ Khi đó phương trình $(P)$ có dạng $(P):ax+by+cz+d=0,$ (cần tìm $d).$
$\centerdot $ Ta có: ${{d}_{\left[ M;(P) \right]}}=k\Leftrightarrow \frac{\left| a{{x}_{\circ }}+b{{y}_{\circ }}+c{{z}_{\circ }}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=k\Rightarrow d.$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(1\ ;\ 2\,;\,3)$, $B\left( 3\,;\,4\,;\,4 \right)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $2x+y+mz-1=0$ bằng độ dài đoạn thẳng $AB$.
A. $m=2$. B. $m=-2$. C. $m=-3$. D. $m=\pm 2$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 2\,;\,2\,;\,1 \right)$$\Rightarrow $$AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=3\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$: $d\left( A\,,\,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1+2+m.3-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{m}^{2}}}}$$=\frac{\left| 3m+3 \right|}{\sqrt{5+{{m}^{2}}}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$.
Để $AB=d\left( A\,,\,\left( P \right) \right)\Rightarrow 3=\frac{\left| 3m+3 \right|}{\sqrt{5+{{m}^{2}}}}$$\Leftrightarrow 9\left( 5+{{m}^{2}} \right)=9{{\left( m+1 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow m=2$.
Bài tập 2:
Trong không gian $Oxyz,$ cho 3 điểm $A\left( 1;0;0 \right),\text{ }B\left( 0;-2;3 \right),C\left( 1;1;1 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $A,\text{ }B$ sao cho khoảng cách từ $C$ tới mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là
A. $\left[ \begin{matrix} 2x+3y+z-1=0 \\ 3x+y+7z+6=0 \\\end{matrix} \right.$ B. $\left[ \begin{matrix} x+2y+z-1=0 \\ -2x+3y+6z+13=0 \\\end{matrix} \right.$
C. $\left[ \begin{matrix} x+y+2z-1=0 \\ -2x+3y+7z+23=0 \\\end{matrix} \right.$ D. $\left[ \begin{matrix} x+y+z-1=0 \\ -23x+37y+17z+23=0 \\\end{matrix} \right.$
Lời giải
Gọi $(P):\left\{ \begin{align} & qua\text{ }A(1;0;0) \\ & VTPT\text{ }\overrightarrow{n}=(A;B;C)\ne \overrightarrow{0} \\\end{align} \right.$
$\begin{align} & (P):A.(x-1)+By+Cz=0 \\ & B\in (P):-A-2B+3C=0\Leftrightarrow A=-2B+3C\text{ (1)} \\ \end{align}$
$\begin{align} & d(C;(P))=\frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{\left| B+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow 3({{B}^{2}}+{{C}^{2}}+2BC)=4({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}) \\ & \Leftrightarrow {{B}^{2}}+{{C}^{2}}-6BC+4{{A}^{2}}=0\text{ (2)} \\ \end{align}$
Thay $\text{(1)}$ vào $\text{(2)}$ ta có: ${{B}^{2}}+{{C}^{2}}-6BC+4{{(-2B+3C)}^{2}}=0\Leftrightarrow 17{{B}^{2}}-54BC+37{{C}^{2}}=0$
Cho $C=1:\text{ }17{{B}^{2}}-54B+37=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& B=1\Rightarrow A=1 \\& B=\frac{37}{17}\Rightarrow A=\frac{-23}{17} \\\end{align} \right.$
$\begin{align}& (P):x+y+x-1=0 \\ & (P):-23x+37y+17z+23=0 \\ \end{align}$
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z-1=0$. Mặt phẳng nào sau đây song song với $\left( P \right)$ và cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 3?
A. $\left( Q \right):2x+2y-z+10=0$. B. $\left( Q \right):2x+2y-z+4=0$.
C. $\left( Q \right):2x+2y-z+8=0$. D. $\left( Q \right):2x+2y-z-8=0$.
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 0;0;-1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;2;-1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với $\left( P \right)$ và cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 3 nên có dạng $\left( Q \right):2x+2y-z+d=0,\,\,\left( d\ne -1 \right)$.
Mặt khác ta có $d\left( M,\left( Q \right) \right)=3\Leftrightarrow \frac{\left| 1+d \right|}{\sqrt{4+4+1}}=3\Leftrightarrow \left| d+1 \right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& d=8 \\& d=-10 \\\end{align} \right.$ (thỏa mãn).
Do đó $\left( Q \right):2x+2y-z+8=0$ hoặc $\left( Q \right):2x+2y-z-10=0$.
Bài tập 4:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, cho hai điểm $A\left( 1;\,2;\,1 \right),B\left( 3;\,4;\,0 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+46=0$. Biết rằng khoảng cách từ $A,\,B$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lần lượt bằng $6$ và $3$. giá trị của biểu thức $T=a+b+c$ bằng
A. $-3$. B. $-6$. C. $3$. D. $6$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $AB=3<d(B,(P))$ suy ra $A,\,B$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Gọi $H,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,\,B$ xuống mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có $6=AH+BK\ge AK\ge AH=6$. Do đó $A,\,B,\,H,\,K$ thẳng hàng.
Từ đó suy ra $AB\bot (P)$ và B là trung điểm của AH nên $H(5;\,6;\,-1)$, $\overrightarrow{AB}(2;2;-1)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2(x-5)+2(y-6)-1(z+1)=0\Leftrightarrow 2x+2y-z-23=0\Leftrightarrow -4x-4y+2z+46=0$.
Vậy $a+b+c=-6$.
Bài tập 5:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;0;0),B(0;-2;3),C(1;1;1).$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $A,\ B$ sao cho khoảng cách từ $C$ tới $\left( P \right)$ bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}$ là
A. $x+y+z-1=0$ hoặc $-23x+37y+17\text{z}+23=0$.
B. $x+y+2z-1=0$ hoặc $-23x+3y+7z+23=0.$
C. $x+2y+z-1=0$ hoặc $-13x+3y+6z+13=0.$
D. $2x+3y+z-1=0$ hoặc $3x+y+7z-3=0.$
Lời giải
Giả sử $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{AB}=\left( -1;-2;3 \right)\Rightarrow -a-2b+3c=0\Rightarrow a=-2b+3c.$
$\left( P \right):\ ax+by+cz-a=0\Rightarrow d(C;(P))=\frac{\left| b+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$.
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\left| b+c \right|=2\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{\left( -2b+3c \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 17{{b}^{2}}-54bc+37{{c}^{2}}=0$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& b=c \\& b=\frac{37}{17}c \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& b=c=1 \\& c=17,b=37 \\\end{align} \right.$
TH1: $b=c=1\Rightarrow a=1\Rightarrow (P):x+y+z-1=0$.
TH2: $b=37,c=17\Rightarrow a=-23\Rightarrow (P):-23x+37y+17z+23=0$.
Bài tập 6:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-2y+z-5=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$, cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 3 và cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ dương.
A. $\left( Q \right):2x-2y+z+4=0$. B. $\left( Q \right):2x-2y+z-14=0$.
C. $\left( Q \right):2x-2y+z-19=0$. D. $\left( Q \right):2x-2y+z-8=0$.
Lời giải
Ta có, $\left( Q \right)$song song $\left( P \right)$nên phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x-2y+z+C=0$; $C\ne -5$
Chọn $M\left( 0\,;\,0\,;\,5 \right)\in \left( P \right)$
Ta có $d\left( \left( P \right)\,;\,\left( Q \right) \right)=d\left( M\,;\,\left( Q \right) \right)=\frac{\left| 5+C \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& C=4 \\& C=-14 \\\end{align} \right.$
$C=4\Rightarrow \left( Q \right):2x-2y+z+4=0$ khi đó $\left( Q \right)$ cắt $Ox$ tại điểm ${{M}_{1}}\left( -2\,;\,0\,;\,0 \right)$có hoành độ âm nên trường hợp này $\left( Q \right)$ không thỏa đề bài.
$C=-14\Rightarrow \left( Q \right):2x-2y+z-14=0$ khi đó $\left( Q \right)$cắt $Ox$ tại điểm ${{M}_{2}}\left( 7\,;\,0\,;\,0 \right)$có hoành độ dương do đó $\left( Q \right):2x-2y+z-14=0$ thỏa đề bài.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x-2y+z-14=0$.
Bài tập 7:
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( 2;\,0;\,0 \right)$, $B\left( 0;\,4;\,0 \right)$, $C\left( 0;\,0;\,6 \right)$, $D\left( 2;\,4;\,6 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng song song với $mp\left( ABC \right)$, $\left( P \right)$ cách đều $D$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Phương trình của $\left( P \right)$ là
A. $6x+3y+2z-24=0$. B. $6x+3y+2z-12=0$. C. $6x+3y+2z=0$. D. $6x+3y+2z-36=0$.
Lời giải
Phương trình $mp\left( ABC \right)$: $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1$$\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ nên phương trình có dạng:
$6x+3y+2z+d=0$, $d\ne -12$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ cách đều $D$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$
$\Leftrightarrow d\left( \left( ABC \right),\,\left( P \right) \right)=d\left( D,\,\left( P \right) \right)$$\Leftrightarrow d\left( A,\,\,\left( P \right) \right)=d\left( D,\,\left( P \right) \right)$
$\Leftrightarrow \frac{\left| 6.2+d \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| 6.2+3.4+2.6+d \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}$$\Leftrightarrow \left| d+12 \right|=\left| d+36 \right|$$\Leftrightarrow d=-24$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$: $6x+3y+2z-24=0$.
Bài tập 8:
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;0;0 \right)$, $B\left( 0;3;0 \right)$, $C\left( 0;0;-1 \right)$. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $D\left( 1;1;1 \right)$và song song với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là
A. $2x+3y-6z+1=0$. B. $3x+2y-6z+1=0$. C. $3x+2y-5z=0$. D. $6x+2y-3z-5=0$.
Lời giải
Chọn B
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{-1}=1$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ nên
$\left( P \right)\,:$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-z+m=0\,\,\,\left( m\ne -1 \right)$.
Do $D\left( 1;1;1 \right)\in \left( P \right)$có: $\frac{1}{2}.1+\frac{1}{3}.1-1+m=0\,\,\,\Leftrightarrow m-\frac{1}{6}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{6}$.
Vậy $\left( P \right):\,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-z+\frac{1}{6}=0\,\,\,\Leftrightarrow 3x+2y-6z+1=0$.