Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cũng như các dạng bài tập khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Để có thể làm được các dạng bài tập tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của này như sau:
1. Định nghĩa:
Cho điểm $O$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm $O$ và $H$ được gọi là khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Kí hiệu: $d\left( O,\left( \alpha \right) \right)$.
2. Các phương pháp giải các bài tập:
Phương pháp 1: Tính trực tiếp
« Phương pháp: Dựng $MH\bot \left( \alpha \right)$ với $H\in \left( \alpha \right)$. Ta có $d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=MH$. Tính độ dài đoạn $MH$.
« Để dựng $MH\bot \left( \alpha \right)$ ta thường dùng 2 cách sau:
Cách 1:
+ Qua $M$ dựng mặt phẳng $\left( \beta \right)\bot \left( \alpha \right)$.
+ Tìm giao tuyến $a$ của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và mặt phẳng $\left( \beta \right)$.
+ Trong mặt phẳng $\left( \beta \right)$ kẻ $MH\bot a$. Suy ra $MH\bot \left( \alpha \right)$.
Cách 2:
+ Kẻ $MH\bot \left( \alpha \right)$ tại $H$.
+ Chứng minh $H$ là điểm thỏa mãn tính chất nào đó trong mặt phẳng. Ví dụ như tâm đường tròn ngoại tiếp; tâm đường tròn nội tiếp; tâm đường tròn bàng tiếp…
Phương pháp 2: Tính gián tiếp
« Phương pháp: Khi việc dựng $MH\bot \left( \alpha \right)$ gặp khó khăn hoặc đã biết trước hay tính được khoảng cách từ điểm $N$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Ta dịch chuyến việc tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ về tính khoảng cách từ điểm $N$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Tức ta tìm số thực $k$ sao cho $d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=k.d\left( N,\left( \alpha \right) \right)$.
« Để tìm được số thực $k$ ta thường sử dụng các kết quả sau:
+ Nếu $MN\parallel \left( \alpha \right)$ thì $d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=d\left( N,\left( \alpha \right) \right)$.
+ Nếu $M,N\in \left( \beta \right)$ và $\left( \beta \right)\parallel \left( \alpha \right)$ thì $d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=d\left( N,\left( \alpha \right) \right)$.
+ Nếu $MN\cap \left( \alpha \right)=I$ thì $\frac{d\left( M,\left( \alpha \right) \right)}{d\left( N,\left( \alpha \right) \right)}=\frac{IM}{IN}$.
Dạng 1. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao:
Dạng 2. Khoảng cách từ $H$ tới mặt phẳng $\left( P \right)$, với $H$ là chân đường cao:
Dạng 3. Khoảng cách từ điểm bất kỳ đến mặt phẳng:
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng của một hình không gian lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số giải bài tập tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng rất dễ hiểu để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
Dạng 1. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao:
Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với $AC=2a$; $BD=2a\sqrt{2}$. Gọi $H$ là trọng tâm tam giác$ABD$, biết rằng các mặt phẳng $\left( SHC \right)$ và $\left( SHD \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và góc giữa mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Tính khoảng cách
a) từ $C$ đến mặt phẳng $\left( SHD \right)$
b) từ $G$ đến mặt phẳng$\left( SHC \right)$, với $G$ là trọng tâm tam giác$SCD$.
Lời giải
a) Do các mặt phẳng $\left( SHC \right)$ và $\left( SHD \right)$cùng vuông góc với mặt phẳng$\left( ABCD \right)$
Nên $SH\bot (ABCD)$
Dựng $HI\bot CD\Rightarrow CD\bot (SIH)$
Do $\widehat{SIH}={{60}^{0}};\sin \widehat{ACD}=\frac{OD}{CD}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
$$$\Rightarrow HI=HC\sin \widehat{ACD}=\frac{2}{3}AC\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{4a\sqrt{6}}{9}$
$\Rightarrow SH=HI\tan {{60}^{0}}==\frac{4a\sqrt{2}}{3}$
Dựng $CE\bot HD\Rightarrow d(C;(SHD))=CE$
Lại có: $CE.HD=HI.CD=2{{S}_{HCD}}$,
Trong đó $HI=\frac{4a\sqrt{6}}{9}$; $CD=a\sqrt{3};DH=\sqrt{O{{D}^{2}}+{{(\frac{1}{3}OA)}^{2}}}=a\frac{\sqrt{19}}{3}$ $\Rightarrow d=CE=\frac{4a\sqrt{38}}{19}$
b) Gọi $K$ là trung điểm $CD,$ do $GS=\frac{2}{3}GK\Rightarrow {{d}_{G}}=\frac{2}{3}{{d}_{k}}=\frac{2}{3}KM$ ( Với $M$là hình chiếu vuông góc của $K$lên $AC$). Khi đó$KM=\frac{OD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {{d}_{G}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$. $M$là trung điểm của cạnh $CD,$hình chiếu vuông góc của $S$lên $(ABCD)$là trung điểm $H$của $AM.$Biết góc giữa $SD$và $(ABCD)$bằng ${{60}^{0}}$. Tính khoảng cách
a) Từ $B$đến $(SAM)$.
b) Từ $C$đến $(SAH)$
Lời giải
a) Kẻ $BN\bot AM$ lại có: $BN\bot SH\Rightarrow BN\bot (SAM)\Rightarrow d(B;(SAM))=BN$
Ta có: $\widehat{ABN}=\widehat{DAM};\cos \widehat{DAM}=\frac{AD}{AM}=\frac{2a}{\sqrt{{{(2a)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
Vậy: $BN=AB.\cos \widehat{ABN}=2a.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4a}{\sqrt{5}}$
b) Kẻ: $CO\bot AM$
Ta có: $\begin{align}& CO\bot AH\Rightarrow CO\bot (SAH) \\& \Rightarrow d(C;(SAH))=CO=CM.\cos \widehat{MCO}=CM.\cos \widehat{ABN}=\frac{2a}{\sqrt{5}} \\\end{align}$
Dạng 2. Khoảng cách từ $H$ tới mặt phẳng $\left( P \right)$, với $H$ là chân đường cao:
Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $AB=2a$, $AD=a\sqrt{3}$. Tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
c) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$.
d) Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCM \right)$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SDM \right)$.
Lời giải
a) Gọi $O$là trung điểm cạnh $AB$; $M$là trung điểm $SB$, ta có $AM\bot SB$(1)
Ta lại có $\left\{ \begin{align}& \left( ABCD \right)\bot \left( SAB \right) \\& \left( ABCD \right)\cap \left( SAB \right)=AB \\& SO\bot AB \\\end{align} \right.$$\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Mặt khác, ta có $\left\{ \begin{align}& BC\bot AB \\& BC\bot SO \\\end{align} \right.$$\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AM$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AM=a\sqrt{3}$.
b) Gọi $N$ là trung điểm $CD$, kẻ $OH\bot SN$(3)
Ta có $\left\{ \begin{align}& CD\bot ON \\& CD\bot SO \\\end{align} \right.$$\Rightarrow CD\bot \left( SON \right)\Rightarrow CD\bot OH$(4)
Từ (3) và (4) suy ra $OH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OH$
mà $d\left( A,\left( SCD \right) \right)=d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OH$
Ta có $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{N}^{2}}}=\frac{2}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy $d\left( A,\left( SCD \right) \right)=OH=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
c) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$.
Kẻ $ME\bot BD$;$MH\bot SE$(1)
Ta có $\left\{ \begin{align}& BD\bot ME \\& BD\bot SM \\\end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SME \right)\Rightarrow BD\bot MH$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $MH\bot \left( SBD \right)$$\Rightarrow d\left( M,\left( SBD \right) \right)=MH$
Mặt khác $\frac{d\left( A,\left( SBD \right) \right)}{d\left( M,\left( SBD \right) \right)}=\frac{AB}{MB}=2\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( M,\left( SBD \right) \right)=2MH$
Ta tính được $ME=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có $\frac{1}{M{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{M}^{2}}}+\frac{1}{M{{E}^{2}}}=\frac{5}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow MH=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
Vậy $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2MH=\frac{2a\sqrt{15}}{5}$.
d) Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCM \right)$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SDM \right)$.
+ Tính $d\left( A,\left( SMD \right) \right)$.Kẻ $AI\bot MD$
Ta có $\left\{ \begin{align}& AI\bot MG \\& AI\bot SM \\\end{align} \right.$$\Rightarrow AI\bot \left( SMD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SMD \right) \right)=AI$
Mặt khác $\frac{1}{A{{I}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $d\left( A,\left( SMD \right) \right)=AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
+ Tính $d\left( A,\left( SMC \right) \right).$
Ta có $d\left( A,\left( SMC \right) \right)=d\left( B,\left( SMC \right) \right)=d\left( A,\left( SDM \right) \right)=AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $\left( SAB \right)$ vuông góc với đáy và $SA=SB=b$.
a) Tính khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
b) Gọi $I$, $H$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB$. Tính khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( SHC \right)$.
c) Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( SHC \right)$.
d) Tính khoảng cách từ $AD$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
Lời giải
a) Tính khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
Gọi $H$là trung điểm của $AB$. Vì $SA=SB$ nên $SH\bot AB$
Ta có $\left\{ \begin{align}& \left( ABCD \right)\cap \left( SAB \right)=AB \\& \left( ABCD \right)\bot \left( SAB \right) \\& SH\bot AB \\\end{align} \right.$$\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$$\Rightarrow d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{\sqrt{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}$
b) Gọi $I$, $H$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB$. Tính khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( SHC \right)$.
Kẻ $IK\bot HC$, ta có $\left\{ \begin{align}& IK\bot HC \\ & IK\bot SH \\\end{align} \right.\Rightarrow IK\bot \left( SHC \right)\Rightarrow d\left( I,\left( SHC \right) \right)=IK$
Ta có $\frac{1}{I{{K}^{2}}}=\frac{1}{I{{C}^{2}}}+\frac{1}{I{{H}^{2}}}=\frac{5}{{{a}^{2}}}\Rightarrow IK=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
Vậy $d\left( I,\left( SHC \right) \right)=IK=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.
c) Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( SHC \right)$.
Ta có $\frac{d\left( D,\left( SHC \right) \right)}{d\left( I,\left( SHC \right) \right)}=\frac{DC}{IC}=2\Rightarrow d\left( D,\left( SHC \right) \right)=2d\left( I,\left( SHC \right) \right)=2IK=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
d) Tính khoảng cách từ $AD$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
Kẻ $HE\bot SB$, ta có $\left\{ \begin{align}& BC\bot AB \\& BC\bot SH \\\end{align} \right.$$\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot HE$, mà $HE\bot SB$.
Do đó $HE\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SBC \right) \right)=HE$.
Mà $d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=d\left( A,\left( SBC \right) \right)=2d\left( H,\left( SBC \right) \right)=2HE$.
Ta có $\frac{1}{H{{E}^{2}}}=\frac{1}{H{{B}^{2}}}+\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{4}{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\Rightarrow HE=\frac{a\sqrt{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{4b}$
Vậy $d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=2HE=\frac{a\sqrt{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2b}$
Bài tập 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ với $AB=BC=2a$; $AD=3a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trung điểm $H$ của $AC$. Biết góc giữa $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính khoảng cách:
a) Từ $H$ đến $\left( SAB \right)$.
b) Từ $H$ đến $\left( SCD \right)$.
c) Từ $H$ đến $\left( SBD \right)$.
Lời giải
a) Từ $H$ đến $\left( SAB \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, suy ra góc giữa $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là góc $\widehat{SMH}=60{}^\circ $ và $SH=HM.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, $I$ là hình chiếu của $H$ lên $SN$, suy ra $d\left( H,\left( SAB \right) \right)=HI$.
Xét $\Delta SHN$ vuông tại $H$, có $\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{H{{N}^{2}}}+\frac{1}{H{{S}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{4}{3{{a}^{2}}}$$\Rightarrow HN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
b) Từ $H$ đến $\left( SCD \right)$.
Kẻ $HJ\bot CD,\left( J\in CD \right)$, lấy $E\in AD$ sao cho $ED=a$, gọi $F=BE\cap CD$.
Xét $\Delta CHF$ vuông tại $H$, có $\frac{1}{H{{J}^{2}}}=\frac{1}{H{{C}^{2}}}+\frac{1}{H{{F}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{1}{18{{a}^{2}}}=\frac{5}{9{{a}^{2}}}$.
Gọi $P$ là hình chiếu của $H$ lên $SJ$, suy ra $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HP$.
Xét $\Delta SHJ$ vuông tại $H$, có $\frac{1}{H{{P}^{2}}}=\frac{1}{H{{J}^{2}}}+\frac{1}{H{{S}^{2}}}=\frac{5}{9{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{8}{9{{a}^{2}}}$$\Rightarrow HP=\frac{3a\sqrt{2}}{4}$.
c) Từ $H$ đến $\left( SBD \right)$.
Gọi $G=EC\cap BD$$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta BCF$$\Rightarrow GE=\frac{1}{3}CE=\frac{2a}{3}$.
Gọi ${{E}_{1}}$ là hình chiếu của $E$ lên $BD$, ta có $\frac{1}{E{{E}_{1}}^{2}}=\frac{1}{E{{G}^{2}}}+\frac{1}{E{{D}^{2}}}=\frac{9}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{13}{4{{a}^{2}}}$$\Rightarrow E{{E}_{1}}=\frac{2a\sqrt{13}}{13}$.
Gọi ${{H}_{1}}$ là hình chiếu của $H$ lên $BD$$\Rightarrow H{{H}_{1}}=\frac{1}{2}E{{E}_{1}}=\frac{a\sqrt{13}}{13}$.
Gọi ${{H}_{2}}$ là hình chiếu của $H$ lên $S{{H}_{1}}$, suy ra $d\left( H,\left( SBD \right) \right)=H{{H}_{2}}$.
Xét $\Delta SH{{H}_{1}}$ vuông tại $H$, có $\frac{1}{H{{H}_{2}}^{2}}=\frac{1}{H{{H}_{1}}^{2}}+\frac{1}{H{{S}^{2}}}=\frac{13}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{40}{3{{a}^{2}}}$$\Rightarrow H{{H}_{2}}=\frac{a\sqrt{30}}{20}$.
Dạng 3. Khoảng cách từ điểm bất kỳ đến mặt phẳng:
Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $\left( SAB \right)$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AB,\,\,E$ là trung điểm của cạnh $BC$.
a) Chứng minh $\left( SIC \right)\bot \left( SED \right)$.
b) Tính khoảng cách từ điểm $I$ đến $\left( SED \right)$.
c) Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến $\left( SED \right)$.
d) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến $\left( SED \right)$.
Lời giải
a) Học sinh tự làm.
b) Ta dễ chứng minh được: $IC\bot ED$ $\Rightarrow DE\bot \left( SIC \right)\Rightarrow DE\bot SF\,\left( F=IC\cap DE \right)$.
$\frac{IF}{FC}=\frac{3}{2}\Rightarrow FI=\frac{3a\sqrt{5}}{10}$.
Kẻ $IG\bot SF\Rightarrow IG\bot \left( SDE \right)\Rightarrow d\left( I,\left( SDE \right) \right)=IG$.
$\frac{1}{I{{G}^{2}}}=\frac{1}{I{{S}^{2}}}+\frac{1}{I{{F}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{3a\sqrt{5}}{10} \right)}^{2}}}\Rightarrow IG=\frac{3a\sqrt{2}}{8}$.
c) $\frac{IF}{FC}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{d\left( I;\left( SDE \right) \right)}{d\left( C;\left( SDE \right) \right)}=\frac{3}{2}$ $\Rightarrow d\left( C;\left( SDE \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( I;\left( SDE \right) \right)=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.
d) Gọi $J=IC\cap \Delta \left( \left\{ \begin{align}& A\in \Delta \\ & \Delta //DE \\\end{align} \right. \right)\Rightarrow \frac{JF}{FC}=2\Rightarrow \frac{d\left( J;\left( SDE \right) \right)}{d\left( C;\left( SDE \right)\right)}=2\Rightarrow d\left( J;\left( SDE \right) \right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Do $\Delta //DE\Rightarrow \Delta //\left( SDE \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SDE \right) \right)=d\left( J;\left( SDE \right) \right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABCD$, CÓ $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a\sqrt{6}$, đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính $AD=2a$.
a) Tính các khoảng cách từ $A$ và $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng $AD$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp $S.ABCD$với mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $\left( SAD \right)$ và cách $\left( SAD \right)$ một khoảng bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Lời giải
a) Kẻ $AI\bot SC\Rightarrow AI\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SCD \right) \right)=AI$
Ta có $\frac{1}{A{{I}^{2}}}=\frac{1}{A{{C}^{2}}}+\frac{1}{S{{A}^{2}}}\Rightarrow AI=a\sqrt{2}\Rightarrow d\left( A;\left( SCD \right) \right)=a\sqrt{2}$. Ta dễ dàng chứng minh được
$d\left( B;\left( SCD \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( A;\left( SCD \right) \right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
b) Kẻ $AM\bot BC\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Ta có $d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBN \right) \right)=AN$. Do đó
$\frac{1}{A{{N}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{S{{A}^{2}}}\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow d\left( A\left( SCD \right) \right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
c) Gọi $E,\,F,\,G,\,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,CD,\,SC,\,SB$. Khi đó dễ thấy hình thang $EFGH$ là thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ với mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $\left( SAD \right)$ và cách $\left( SAD \right)$ một khoảng bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Ta suy ra ${{S}_{EFGH}}=\frac{1}{2}\left( EF+GH \right)HE=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{2}$.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài tập về chuyên đề khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về giải bài tập tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất có thể nhé!