Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12. Đó chính là dạng khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ giải đáp cho các bạn về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong oxyz, khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong oxyz tính như thế nào?. Trong bài dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. CÁCH GIẢI
$\centerdot $ Khoảng cách từ điểm $M$ đến một đường thẳng $d$ qua điểm ${{M}_{\circ }}$ có véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{d}}$ được xác định bởi công thức
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
$\centerdot $ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: $d$ đi qua điểm $M$ và có véctơ chỉ phương $\vec{u}$ và ${d}’$ đi qua điểm ${M}’$ và có véctơ chỉ phương ${\vec{u}}’$ là
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 4 điểm $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 0;0;6 \right)$ và $D\left( 1;1;1 \right)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $D$ và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến $\Delta $ là lớn nhất. Khi đó $\Delta $ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $\left( 4;3;7 \right)$. B. $\left( -1;-2;1 \right)$. C. $\left( 7;5;3 \right)$. D. $\left( 3;4;3 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 3x+2y+z-6=0$, dễ thấy $D\in \left( ABC \right)$.
Ta thấy $P=d\left( A,\Delta \right)+d\left( B,\Delta \right)+d\left( C,\Delta \right)\le AD+BD+CD$.
Vậy $P$ lớn nhất khi và chỉ khi các hình chiếu vuông góc của các điểm $A,B,C$ trên $\Delta $ trùng $D$ hay $\Delta \bot \left( ABC \right)$ tại $D$.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=1+2t \\ & z=1+t \\\end{align} \right.$, ta thấy $\Delta $ đi qua điểm có tọa độ $\left( 7;5;3 \right)$.
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, cho đường thẳng $\left( d \right):\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2},$ mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+3=0$ và điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$. Cho đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua $A$, cắt $\left( d \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $\text{O}$ đến $\left( \Delta \right)$
A. $\sqrt{3}$. B. $\frac{16}{3}$. C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$. D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $M=\left( \Delta \right)\cap \left( d \right)\Rightarrow M\left( t+3;3t+3;2t \right)\left( t\in R \right)\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( t+2;3t+1;2t+1 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}\left( 1;1;-1 \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có $\left( \Delta \right)\,\,//\,\,\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{AM}\bot \overrightarrow{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow t+2+3t+1-2t-1=0\Leftrightarrow t=-1$
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}\left( 1;-2;-1 \right)\Rightarrow d\left( O;\Delta \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{OA} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Bài tập 3:
Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}& x=t \\& y=-1+2t \\& z=2-t \\\end{align} \right.,\ t\in \mathbb{R},$ cắt mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ tại điểm $I$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $\Delta \bot d$ và khoảng cách từ điểm $I$ đến đường thẳng $\Delta $ bằng $\sqrt{42}$. Tìm tọa độ hình chiếu $M\left( a;b;c \right)$ ( với $a+b>c$) của điểm $I$ trên đường thẳng $\Delta $.
A. $M\left( 2;5;-4 \right)$. B. $M\left( 6;-3;0 \right)$. C. $M\left( 5;2;-4 \right)$. D. $M\left( -3;6;0 \right)$.
Lời giải
Cách 1:
$\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$ và $d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;-1 \right)$. $I=d\cap \left( P \right)\ \Rightarrow I\left( 1;1;1 \right)$.
Vì $\Delta \subset \left( P \right);\ \Delta \bot d\ \Rightarrow \Delta $ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\vartriangle }}}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{u} \right]=\left( -3;2;1 \right)$.
$M$ là hình chiếu của $I$ trên $\Delta $ nên $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $I$ và vuông góc với $\Delta $.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ nhận $\overrightarrow{{{u}_{\vartriangle }}}=\left( -3;2;1 \right)$ làm véctơ pháp tuyến nên ta có phương trình của $\left( Q \right):-3\left( x-1 \right)+2\left( y-1 \right)+1\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z=0$.
Gọi ${{d}_{1}}=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\ \Rightarrow {{d}_{1}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\vartriangle }}},\overrightarrow{n} \right]=\left( 1;4;-5 \right)$ và ${{d}_{1}}$ đi qua $I$, phương trình của ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1+4t \\ & z=1-5t \\\end{align} \right.$.
Mặt khác $M\in \Delta \Rightarrow M\in \left( P \right)\Rightarrow M\in {{d}_{1}}$.
Giả sử $M\left( 1+t;1+4t;1-5t \right)\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left( t;4t;-5t \right)$.
Ta có: $IM=\sqrt{42}\Leftrightarrow \sqrt{{{t}^{2}}+16{{t}^{2}}+25{{t}^{2}}}=\sqrt{42}\Leftrightarrow t=\pm 1$.
+) Với $t=1\Rightarrow M\left( 2;5;-4 \right)$.
+) Với $t=-1\Rightarrow M\left( 0;-3;6 \right)$.
Vì $M\left( a;b;c \right)$ ( với $a+b>c$) nên $M\left( 2;5;-4 \right)$.
Cách 2:
Vì $M\left( a;\,b;\,c \right)$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\Delta $.
Khi đó ta có
$\left\{ \begin{align} & M\in \left( P \right) \\ & \overrightarrow{IM}\bot {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \\ & IM=\sqrt{42} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a+b+c-3=0 \\ & -3\left( a-1 \right)+2\left( b-1 \right)+\left( c-1 \right)=0 \\ & {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}=42 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a+b+c-3=0\,\,\,\,\,\,\, \\ & -3a+2b+c=0 \\ & {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}=42 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4a-b=3 \\ & a+b+c-3=0 \\ & {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}=42 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & b=4a-3 \\ & c=-5a+6 \\ & {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}=42 \\\end{align} \right.$
Bài tập 4:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 3;1;7 \right),\,B\left( 5;5;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,2x-y-z+4=0$. Điểm $M$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho $MA=MB=\sqrt{35}.$ Biết $M$ có hoành độ nguyên, ta có $OM$ bằng
A. $2\sqrt{2}$. B. $2\sqrt{3}$. C. $3\sqrt{2}$. D. $4$.
Lời giải
* Ta có : $\overrightarrow{AB}=\left( 2;4;-6 \right)=2\left( 1;2;-3 \right)$
Gọi $I\left( 4;3;4 \right)$ là trung điểm của $AB$
Phương trình mặt phẳng trung trực $\left( Q \right)$ của $AB$ là : $\left( x-4 \right)+2\left( y-3 \right)-3\left( z-4 \right)=0$ $\Leftrightarrow x+2y-3z+2=0$
Gọi $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$. Đường thẳng $d$ có $1$ vpcp là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 1;1;1 \right)$ và đi qua điểm $N\left( -2;0;0 \right)$, có phương trình là $d:\left\{ \begin{align} & x=-2+t \\ & y=t \\ & z=t \\\end{align} \right.$
* Gọi $M\in \left( P \right):MA=MB$. Khi đó $M\in \text{d}$và $M\left( -2+t;t;t \right)$
Theo giả thiết, ta có : $MA=\sqrt{35}$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( t-5 \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t-7 \right)}^{2}}}=\sqrt{35}$
$\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-26t+40=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{20}{3} \\ & t=2\Rightarrow M\left( 0;2;2 \right) \\\end{align} \right.$
Vậy $OM=2\sqrt{2}$
Bài tập 5:
Trong không gian tọa độ $\text{O}xyz$ cho đường thẳng ${d : \frac { x – 3 } { 2 } = \frac { y + 2 } { 1 } = \frac { z + 1 } { – 1 }}$, mặt phẳng ${( P ) : x + y + z + 2 = 0}$. Gọi ${M}$ là giao điểm của${d}$ và ${( P )}$. Gọi ${\Delta}$ là đường thẳng nằm trong${( P )}$ vuông góc với ${d}$. Và cách ${M}$một khoảng ${\sqrt { 42 }}$. Phương trình đường thẳng ${\Delta}$ là
A. ${\frac { x – 5 } { 2 } = \frac { y + 2 } { – 3 } = \frac { z + 4 } { 1 }}$. B. ${\frac { x – 1 } { – 2 } = \frac { y + 1 } { – 3 } = \frac { z + 1 } { 1 }}$.
C. ${\frac { x – 3 } { 2 } = \frac { y + 4 } { – 3 } = \frac { z + 5 } { 1 }}$. D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn D
Gọi ${M = d \cap ( P )}$. Suy ra ${M \in d \Rightarrow M ( 3 + 2 t ; – 2 + t ; – 1 – t ) ; M \in ( P ) \Rightarrow t = – 1 \Rightarrow M ( 1 ; – 3 ; 0 )}$
${( P )}$ có véc tơ pháp tuyến là ${{\vec{n}}_{P}}=(1;1;1)$. $d$có véc tơ chỉ phương ${{\vec{a}}_{d}}=(2;1;-1)$. ${\Delta}$có véc tơ chỉ phương \[{{\vec{a}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{a}}}_{d}},{{{\vec{n}}}_{P}} \right]=(2;-3;1)\]. Gọi ${N ( x ; y ; z )}$ là hình chiếu vuông góc của ${M}$ trên ${\Delta}$, khi đó ${M N = ( x – 1 ; y + 3 ; z )}$.
Ta có ${\left\{ \begin{array} { l } { \vec { M N } \perp \vec { a _ { \Delta } } } \\ { N \in ( P ) } \\ { M N = \sqrt { 42 } } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l } { 2 x – 3 y + z – 11 = 0 } \\ { x + y + z + 2 = 0 } \\ { ( x – 1 ) ^ { 2 } + ( y + 3 ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 42 } \end{array} \right.}$.
Giải hệ ta tìm được ${N ( 5 ; – 2 ; – 5 )}$và ${N ( – 3 ; – 4 ; 5 )}$.
Với ${N ( 5 ; – 2 ; – 5 )}$, ta có ${\Delta : \frac { x – 5 } { 2 } = \frac { y + 2 } { – 3 } = \frac { z + 5 } { 1 }}$.
Với ${N ( – 3 ; – 4 ; 5 )}$, ta có ${\Delta : \frac { x + 3 } { 2 } = \frac { y + 4 } { – 3 } = \frac { z – 5 } { 1 }}$.
Bài tập 6:
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$. Cho hai điểm $A\left( 3;3;1 \right),B\left( 0;2;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-7=0$. Đường thẳng $d$ nằm trong $\left( P \right)$ sao cho mọi điểm của $d$ cách đều hai điểm $A,B$ có phương trình là:
A. $\left\{ \begin{align} & x=2t \\ & y=7-3t \\ & z=t \\ \end{align} \right.$. B. $\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=7+3t \\ & z=2t \\ \end{align} \right.$.
C. $\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=7-3t \\ & z=2t \\ \end{align} \right.$. D. $\left\{ \begin{align} & x=-t \\ & y=7-3t \\ & z=4t \\ \end{align} \right.$.
Lời giải
Chọn C
+ Các điểm cách đều hai điểm $A,B$ thì nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Đây là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$.
+ Gọi $I$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow I\left( \frac{3}{2};\frac{5}{2};1 \right)$
+ Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $3x+y-7=0$.
Do đó đường thẳng $d$ là giao tuyến của $2$ mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( \alpha \right)$
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( 0;7;0 \right)\in \left( P \right)\cap \left( \alpha \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}},\overrightarrow{{{n}_{(P)}}} \right]=\left( 1;-3;2 \right)$ làm một vectơ chỉ phương là $\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=7-3t \\ & z=2t \\\end{align} \right.$.