Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian oxyz rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ giải đáp cho các bạn về công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng, cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song như thế nào? Trong bài dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. CÁCH GIẢI
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
$\centerdot $ Khoảng cách từ điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})$ đến mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ được xác định bởi công thức:
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng song song $(P):ax+by+cz+d=0$ và $(Q):ax+by+cz+{d}’=0$ có cùng véctơ pháp tuyến, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là
Viết phương trình $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0$ và cách $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ khoảng $k.$
Phương pháp:
$\centerdot $ Vì $(P)\text{//}(Q):ax+by+cz+d=0\Rightarrow (P):ax+by+cz+{d}’=0.$
$\centerdot $ Sử dụng công thức khoảng cách ${{d}_{\left[ M,(P) \right]}}=\frac{\left| a{{x}_{\circ }}+b{{y}_{\circ }}+c{{z}_{\circ }}+{d}’ \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=k\Rightarrow {d}’.$
Viết phương trình mặt phẳng $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0$ và $(P)$ cách mặt phẳng $(Q)$ một khoảng $k$cho trước.
Phương pháp:
$\centerdot $ Vì $(P)\text{//}(Q):ax+by+cz+d=0\Rightarrow (P):ax+by+cz+{d}’=0.$
$\centerdot $ Chọn một điểm $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})\in (Q)$ và sử dụng công thức:
${{d}_{\left[ (Q);(P) \right]}}={{d}_{\left[ M,(P) \right]}}=\frac{\left| a{{x}_{\circ }}+b{{y}_{\circ }}+c{{z}_{\circ }}+{d}’ \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=k\Rightarrow {d}’.$
Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha ),\text{ }(\beta ),$ đồng thời $(P)$ cách điểm $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ một khoảng bằng $k$ cho trước.
Phương pháp:
$\centerdot $ Tìm ${{\vec{n}}_{(\alpha )}},\text{ }{{\vec{n}}_{(\beta )}}.$ Từ đó suy ra ${{\vec{n}}_{(P)}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{(\alpha )}},{{{\vec{n}}}_{(\beta )}} \right]=(a;b;c).$
$\centerdot $ Khi đó phương trình $(P)$ có dạng $(P):ax+by+cz+d=0,$ (cần tìm $d).$
$\centerdot $ Ta có: ${{d}_{\left[ M;(P) \right]}}=k\Leftrightarrow \frac{\left| a{{x}_{\circ }}+b{{y}_{\circ }}+c{{z}_{\circ }}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=k\Rightarrow d.$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong không gian $Oxyz$cho $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;4;0 \right),C\left( 0;0;6 \right),D\left( 2;4;6 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng song song với $mp\left( ABC \right)$, $\left( P \right)$ cách đều $D$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Phương trình của $\left( P \right)$ là
A. $6x+3y+2z-24=0$ B. $6x+3y+2z-12=0$
C. $6x+3y+2z=0$ D. $6x+3y+2z-36=0$
Lời giải
Chọn A
$\left( ABC \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0$.
$\left( P \right)\text{//}\left( ABC \right)\Rightarrow \left( P \right):6x+3y+2z+m=0\,\,\left( m\ne -12 \right)$.
$\left( P \right)$ cách đều $D$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)\Rightarrow d\left( D,\left( P \right) \right)=d\left( A,\left( P \right) \right)$
$\Leftrightarrow \frac{\left| 6.2+3.4+2.6+m \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| 6.2+3.0+2.0+m \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}\Leftrightarrow \left| 36+m \right|=\left| 12+m \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 36+m=12+m \\& 36+m=-12-m \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow m=-24$ (nhận).
Vậy phương trình của $\left( P \right)$ là $6x+3y+2z-24=0$.
Bài tập 2:
Trong không gian hệ toạ độ $Oxyz$, lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( \beta \right):x+y-z+3=0$ và cách $\left( \beta \right)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$.
A. $x+y-z+6=0$; $x+y-z=0$. B. $x+y-z+6=0$.
C. $x-y-z+6=0$; $x-y-z=0$. D. $x+y+z+6=0$; $x+y+z=0$.
Lời giải
Chọn A
Gọi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cần tìm.
Vì $\left( \alpha \right)\text{//}\left( \beta \right)$ nên phương trình $\left( \alpha \right)$ có dạng : $x+y-z+c=0$ với $c\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.
Lấy điểm $I\left( -1;-1;1 \right)\in \left( \beta \right)$.
Vì khoảng cách từ $\left( \alpha \right)$ đến $\left( \beta \right)$ bằng $\sqrt{3}$ nên ta có :
$d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{\left| -1-1-1+c \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$\Leftrightarrow \frac{\left| c-3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& c=0 \\& c=6 \\\end{align} \right.$. (thỏa điều kiện $c\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$).
Vậy phương trình $\left( \alpha \right)$ là: $x+y-z+6=0$; $x+y-z=0$.
Bài tập 3:
Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2z-8=0$
và $\left( Q \right):x+2y+2z-4=0$ bằng
A. 1. B. $\frac{4}{3}$. C. 2. D. $\frac{7}{3}$.
Lời giải
Ta có $\left\{ \begin{align}& \left( P \right)//\left( Q \right) \\& A\left( 8;0;0 \right)\in \left( P \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow d\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=d\left( A;\left( Q \right) \right)=\frac{\left| 8+2.0+2.0-4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{4}{3}.$
Nhận xét:
Nếu mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d$ và $\left( Q \right):ax+by+cz+d’$ $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$ song song với nhau $\left( d\ne d’ \right)$ thì $d\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=\frac{\left| d-d’ \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}.$.
Bài tập 4:
Trong không gian $\text{Ox}yz$khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z-1=0$ và $\left( Q \right):x+2y+3z+6=0$ là
A. $\frac{7}{\sqrt{14}}$ B. $\frac{8}{\sqrt{14}}$ C. $14$ D. $\frac{5}{\sqrt{14}}$
Lời giải
$\left( P \right):x+2y+3z-1=0$ $\left( Q \right):x+2y+3z+6=0$. Ta có: $\frac{1}{1}=\frac{2}{2}=\frac{3}{3}\ne \frac{-1}{6}$
Các giải trắc nghiệm:
Công thức tính nhanh: $$ $\left( P \right):Ax+By+Cz+{{D}_{1}}=0;\,\,\left( Q \right)Ax+By+Cz+{{D}_{2}}=0$
d$\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)$ =$\frac{\left| {{D}_{2}}-{{D}_{1}} \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$
$\left( P \right)$//$\left( Q \right)$ áp dụng công thức: d$\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)$ $=\frac{\left| -1-6 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.
Bài tập 5:
Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):6x+3y+2z-1=0$ và $\left( Q \right):x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{3}z+8=0$ bằng
A. $7$. B. $8$. C. $9$. D. $6$.
Lời giải
Vì $\frac{6}{1}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{3}}\ne \frac{-1}{8}\Rightarrow $$\left( P \right)\,\text{//}\,\left( Q \right)$ nên $d\left( \left( P \right)\,;\,\left( Q \right) \right)=d\left( M\,;\,\left( Q \right) \right)$ với $M\left( 0\,;\,1\,;-1 \right)\in \left( P \right)$
$d\left( \left( P \right)\,;\,\left( Q \right) \right)=d\left( M\,;\,\left( Q \right) \right)=\frac{\left| {{x}_{M}}+\frac{1}{2}{{y}_{M}}+\frac{1}{3}{{z}_{M}}+8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}}=\frac{\left| 0+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+8 \right|}{\sqrt{\frac{49}{36}}}=7$.
Bài tập 6:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-2y+z-5=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$, cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 3 và cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ dương.
A. $\left( Q \right):2x-2y+z+4=0$. B. $\left( Q \right):2x-2y+z-14=0$.
B. $\left( Q \right):2x-2y+z-19=0$. D. $\left( Q \right):2x-2y+z-8=0$.
Lời giải
Ta có, $\left( Q \right)$song song $\left( P \right)$nên phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x-2y+z+C=0$; $C\ne -5$
Chọn $M\left( 0\,;\,0\,;\,5 \right)\in \left( P \right)$
Ta có $d\left( \left( P \right)\,;\,\left( Q \right) \right)=d\left( M\,;\,\left( Q \right) \right)=\frac{\left| 5+C \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& C=4 \\& C=-14 \\\end{align} \right.$
$C=4\Rightarrow \left( Q \right):2x-2y+z+4=0$ khi đó $\left( Q \right)$ cắt $Ox$ tại điểm ${{M}_{1}}\left( -2\,;\,0\,;\,0 \right)$có hoành độ âm nên trường hợp này $\left( Q \right)$ không thỏa đề bài.
$C=-14\Rightarrow \left( Q \right):2x-2y+z-14=0$ khi đó $\left( Q \right)$cắt $Ox$ tại điểm ${{M}_{2}}\left( 7\,;\,0\,;\,0 \right)$có hoành độ dương do đó $\left( Q \right):2x-2y+z-14=0$ thỏa đề bài.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x-2y+z-14=0$.
Bài tập 7:
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2z-10=0$. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ với $\left( Q \right)$ song song với $\left( P \right)$ và khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng $\frac{7}{3}$ là.
A. $x+2y+2z+3=0;x+2y+2z-17=0$ B. $x+2y+2z-3=0;x+2y+2z+17=0$
C. $x+2y+2z+3=0;x+2y+2z+17=0$ D. $x+2y+2z-3=0;x+2y+2z-17=0$
Lời giải
Chọn D
Vì $\left( Q \right)$ song song với $\left( P \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ có dạng
$\left( Q \right):x+2y+2z+c=0$
Lấy $M\in \left( P \right)\Rightarrow M\left( 0;0;5 \right)\Rightarrow d\left( M,\left( Q \right) \right)=\frac{7}{3}$. Khi đó ta có
$d\left( M,\left( Q \right) \right)=\frac{\left| 2.5+c \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{7}{3}\Rightarrow \left[ \begin{align}& 10+c=7 \\& 10+c=-7 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{align}& c=-3 \\& c=-17 \\\end{align} \right.$
Vậy ta có các mặt phẳng $\left( Q \right)$ là
$\left( Q \right):x+2y+2z-3=0;\left( Q \right):x+2y+2z-17=0$
Bài tập 8:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z-1=0$. Mặt phẳng nào sau đây song song với $\left( P \right)$ và cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 3?
A. $\left( Q \right):2x+2y-z+10=0$. B. $\left( Q \right):2x+2y-z+4=0$.
C. $\left( Q \right):2x+2y-z+8=0$. D. $\left( Q \right):2x+2y-z-8=0$.
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 0;0;-1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;2;-1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với $\left( P \right)$ và cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 3 nên có dạng $\left( Q \right):2x+2y-z+d=0,\,\,\left( d\ne -1 \right)$.
Mặt khác ta có $d\left( M,\left( Q \right) \right)=3\Leftrightarrow \frac{\left| 1+d \right|}{\sqrt{4+4+1}}=3\Leftrightarrow \left| d+1 \right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& d=8 \\& d=-10 \\\end{align} \right.$ (thỏa mãn).
Do đó $\left( Q \right):2x+2y-z+8=0$ hoặc $\left( Q \right):2x+2y-z-10=0$.
Như vậy, bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về cách giải cũng như bài tập mẫu về khoảng cách giữa hai mặt phẳng mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!