Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng về khoảng cách giữa hai đường thẳng chương trình toán lớp 12 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian lớp 12 cũng như khoảng cách giữa hai đường thẳng trong oxyz bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được bài tập về dạng khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng – Khoảng cách giữa hai đường thẳng
$\centerdot $ Khoảng cách từ điểm $M$ đến một đường thẳng $d$ qua điểm ${{M}_{\circ }}$ có véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{d}}$ được xác định bởi công thức như sau:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
$\centerdot $ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: $d$ đi qua điểm $M$ và có véctơ chỉ phương $\vec{u}$ và ${d}’$ đi qua điểm ${M}’$ và có véctơ chỉ phương ${\vec{u}}’$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian bằng công thức:
2. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{1}}=({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}})$ và ${{\vec{u}}_{2}}=({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}}).$
với $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ .$
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{d}}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có véctơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{(P)}}=(A;B;C)$ được xác định bởi công thức như sau:
với $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ .$
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập mẫu của khoảng cách giữa hai đường thẳng để có thể hiểu rõ hơn chương hình học không gian này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix}x=1-t \\y=2+2t \\z=3+t \\\end{matrix} \right.$ và mặt phẳng :$x-y+3=0$. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng .
A. ${{60}^{0}}$ B. ${{30}^{0}}$ C. ${{120}^{o}}$ D. ${{45}^{0}}$
Lời giải
Đường thẳng $d$có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( -1;2;1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;-1;0 \right)$
Gọi $\alpha $là góc giữa Đường thẳng $d$và Mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó ta có
$\sin \alpha =\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{\left| -1.1+2.\left( -1 \right)+1.0 \right|}{\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Do đó $\alpha ={{60}^{0}}$
Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.
Bài tập 2:
Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):\,\,4x+3y-z+1=0$ và đường thẳng $\,d:\,\,\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{3}=\frac{z+4}{1}$, sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$bằng
A. $\frac{5}{13}$. B. $\frac{8}{13}$. C. $\frac{1}{13}$. D. $\frac{12}{13}$.
Lời giải
Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,4x+3y-z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 4\,;3\,;\,-1 \right)$.
Đường thẳng $\,d:\,\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{3}=\frac{z+1}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 4\,;3\,;\,1 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
Khi đó $\sin \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{n}\,;\,\overrightarrow{u}\, \right) \right|$$=\frac{\left| \overrightarrow{n}\,.\,\,\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n}\, \right|\left| \overrightarrow{u}\, \right|}$ $=\frac{\left| 4.4+3.3+1\left( -1 \right) \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}$ $=\frac{12}{13}$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là D.
Bài tập 3:
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+2}{1}$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $d$.
A. $\left( T \right):x+y+2z+1=0$. B. $\left( P \right):x-2y+z+1=0$.
C. $\left( Q \right):x-2y-z+1=0$. D. $\left( R \right):x+y+z+1=0$.
Lời giải
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 1\text{ };\text{ }-2\text{ };\text{ }1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( T \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{T}}}=\left( 1\text{ };\text{ }1\text{ };\text{ }2 \right)$. Do $\frac{1}{1}\ne \frac{-2}{1}\ne \frac{1}{2}$ nên $\overrightarrow{u}$ không cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{T}}}$. Do đó $d$ không vuông góc với $\left( T \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1\text{ };\text{ -2 };\text{ 1} \right)$. Do $\frac{1}{1}=\frac{-2}{-2}=\frac{1}{1}$ nên $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$. Do đó $d$ vuông góc với $\left( P \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1\text{ };\text{ -2 };\text{ -1} \right)$. Do $\frac{1}{1}=\frac{-2}{-2}\ne \frac{1}{-1}$ nên $\overrightarrow{u}$ không cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$. Do đó $\left( d \right)$ không vuông góc với $\left( Q \right)$.
Mặt phẳng $\left( R \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{R}}}=\left( 1\text{ };\text{ }1\text{ };\text{ 1} \right)$. Do $\frac{1}{1}\ne \frac{-2}{1}\ne \frac{1}{1}$ nên $\overrightarrow{u}$ không cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{R}}}$. Do đó $\left( d \right)$không vuông góc với $\left( R \right)$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là B.
Bài tập 4:
Cho $d:\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=-3-t \\& z=2+2t \\\end{align} \right.,\,\,d’:\frac{x}{3}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Khi đó khoảng cách giữa $d$ và $d’$ là
A. $\frac{13\sqrt{30}}{30}$. B. $\frac{\sqrt{30}}{3}$. C. $\frac{9\sqrt{30}}{10}$. D. $0$.
Lời giải
Ta có $A\left( 1;-3;2 \right)\in d,\,\,B\left( 0;3;1 \right)\in d’$ và $\overrightarrow{u}\left( 1;-1;2 \right),\,\overrightarrow{u’}\left( 3;-1;1 \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $\text{d}\text{,d }\!\!’\!\!\text{ }$
Ta có $d\left( d,d’ \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{u’} \right].\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{u’} \right] \right|}=\frac{27}{\sqrt{30}}=\frac{9\sqrt{30}}{10}$
Do đó, đáp án chính xác ở đây là C.
Bài tập 5:
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng : $-\sqrt{3}x+y+1=0$. Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$?
A. ${{60}^{0}}$. B. ${{30}^{0}}$. C. ${{120}^{0}}$. D. ${{150}^{0}}$.
Lời giải
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}=(-\sqrt{3};1;0)$
Trục $Ox$có VTCP $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$
Góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$
$\text{sin((P);}Ox\text{)}=\left| \text{cos((P);}Ox\text{)} \right|\text{=}\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\frac{\left| -\sqrt{3}.1+1.0+0.0 \right|}{\sqrt{3+1}.\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$bằng ${{60}^{0}}$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.
Bài tập 6:
Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-y+2z=0$. Góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng
A. $30{}^\circ $. B. $60{}^\circ $. C. $150{}^\circ $. D. $120{}^\circ $.
Lời giải
Đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;-1 \right)$, mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-1;2 \right)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, khi đó
$\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{\left| 1-2-2 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi =30{}^\circ $.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.
Bài tập 7:
Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, cho đường thẳng $\left( d \right):\frac{x-3}{-2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$ và điểm $A(2;-1;0)$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng
A. $\sqrt{7}$. B. $\frac{\sqrt{7}}{2}$. C. $\frac{\sqrt{21}}{3}$. D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$.
Lời giải
Gọi $M\left( 3;0;1 \right)\in d$.
$\overrightarrow{AM}(1;1;1);\overrightarrow{{{u}_{d}}}(-2;-1;1)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 2;-3;1 \right)\Rightarrow \left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|=\sqrt{14}$.
Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\left( d \right)$ bằng $d(A,d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$
Do đó, đáp án chính xác ở đây là C.
Bài tập 8:
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng : $-\sqrt{3}x+y+1=0$. Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$?
A. ${{60}^{0}}$. B. ${{30}^{0}}$. C. ${{120}^{0}}$. D. ${{150}^{0}}$.
Lời giải
Ta có phương trình mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}=(-\sqrt{3};1;0)$
Trục $Ox$có VTCP $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$
Góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$
$\text{sin((P);}Ox\text{)}=\left| \text{cos((P);}Ox\text{)} \right|\text{=}\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\frac{\left| -\sqrt{3}.1+1.0+0.0 \right|}{\sqrt{3+1}.\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$bằng ${{60}^{0}}$. Nên các đáp án như B, C, D không thỏa.
Do đó, đáp án chính xác ở đây là A.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết và bài tập của dạng khoảng cách giữa hai đường thẳng mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!