Dưới đây là những thông tin lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số thuộc chương trình Toán Lớp 12. Các em học sinh có thể tham khảo để từ đó học tốt môn học này nhé!
I. Lý thuyết về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1. SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;
Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)$;
Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ${f}'(x)=0$;
Bước 4. Tính giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);
Bước 5. Lập bảng biến thiên;
Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục $Ox$, $Oy$, các điểm đối xứng, …);
Bước 8. Vẽ đồ thị.
2. NHỮNG DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
HÀM SỐ BẬC BA $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right)$
Bài tập mẫu: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$
Lời giải:
Tập xác định:$D=\mathbb{R}$
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
+ Các giới hạn tại vô cực
$\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( 1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)=+\infty ;$ $\underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y\,=\underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( 1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)=-\infty .$
+ Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;\,0 \right)$ và $\left( 2\,;\,+\infty \right)\,$;
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0\,;\,2 \right)\,$
+ Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại $x=0\,;$ ${{y}_{cd}}=y\left( 0 \right)=2$ .Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2\,;$ ${{y}_{ct}}=y\left( 2 \right)=-2$
+ Đồ thị
Cho $x=0\Rightarrow y=2$ :Đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại $B\left( 0;\,2 \right).$
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm $I\left( 1\,;\,0 \right)$ làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm$I$ là nghiệm của phương trình ${y}”=0$ (Điểm uốn)
HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\text{ }\left( a\ne 0 \right)$
Bài tập mẫu: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3$
Lời giải:
Tập xác định:$D=\mathbb{R}$
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
+ Các giới hạn tại vô cực
$\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( 1-\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{{{x}^{4}}} \right)=+\infty .$
+ Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -1\,\,;\,\,0 \right)$ và $\left( 1\,;\,\,+\infty \right)$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty \,\,;\,\,-1 \right)$ và $\left( 0\,;\,\,1 \right)$
+ Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại $x=0\,;$ ${{y}_{cd}}=y\left( 0 \right)=-3$ .
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 1\,;$ ${{y}_{ct}}=y\left( \pm 1 \right)=-4$
Đồ thị
Ta có ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow x=\pm 1$ .Vậy đồ thị hàm số qua $A\left( 1\,;\,0 \right),$ $B\left( -1\,;\,\,0 \right).$
Cho $x=0\Rightarrow y=-3$ :Đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại $C\left( 0\,;\,-3 \right)$ .Cho $x=\pm 2\Rightarrow y=5$ : Đồ thị hàm số qua $D\left( -2\,\,;\,\,5 \right),$ $E\left( 2\,\,;\,\,5 \right).$Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận $Oy$ làm trục đối xứng.
Xem thêm: Khảo sát hàm số bậc 3 và các bài tập mẫu
HÀM SỐ NHẤT BIẾN $y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( c\ne 0,\text{ }ad-bc\ne 0 \right)$
Bài tập mẫu: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $\frac{x+1}{x-1}$
Lời giải:
Tập xác định:$D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
${y}’=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ .Ta thấy ${y}’$ không xác định khi $x=1;$ ${y}’$ luôn âm với mọi $x\ne 1$
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( 1\,;\,+\infty \right)$ và $\left( -\infty \,;\,\,1 \right).$
+ Cực trị :
Hàm số không có cực trị
+ Tiệm cận
$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\lim \frac{x+1}{x-1}=1.$ Vậy đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang
$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim y}}\,=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x-1}=+\infty ;$ $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim y}}\,=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x-1}=-\infty .$Vậy đường thẳng $x=1$ là tiệm cận ngang
+ Bảng biến thiên:
Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $A\left( 0\,\,;\,-1 \right)$ và cắt trục hoành tại điểm $B\left( -1\,;\,0 \right)$ (Hình vẽ)
Lưu ý : Giao điểm $I\left( 1\,\,;\,1 \right)$ của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
3. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
| Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ với số $a>0$ ta có: |
| Hàm số $y=f\left( x \right)+a$ có đồ thị $\left( {{C}’} \right)$ là tịnh tiến $\left( C \right)$ theo phương của $Oy$ lên trên $a$ đơn vị. |
| Hàm số $y=f\left( x \right)-a$ có đồ thị $\left( {{C}’} \right)$ là tịnh tiến $\left( C \right)$ theo phương của $Oy$ xuống dưới $a$ đơn vị. |
| Hàm số $y=f\left( x+a \right)$ có đồ thị $\left( {{C}’} \right)$ là tịnh tiến $\left( C \right)$ theo phương của $Ox$ qua trái $a$ đơn vị. |
| Hàm số $y=f\left( x-a \right)$ có đồ thị $\left( {{C}’} \right)$ là tịnh tiến $\left( C \right)$ theo phương của $Ox$ qua phải $a$ đơn vị. |
| Hàm số $y=-f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( {{C}’} \right)$ là đối xứng của $\left( C \right)$ qua trục $Ox$. |
| Hàm số $y=f\left( -x \right)$ có đồ thị $\left( {{C}’} \right)$ là đối xứng của $\left( C \right)$ qua trục $Oy$.. |
| Từ đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ suy ra đồ thị $\left( {{C}’} \right):y=f\left( \left| x \right| \right)$.
và $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là hàm chẵn nên đồ thị $\left( {{C}’} \right)$ nhận Oy làm trục đối xứng. * Cách vẽ $\left( {{C}’} \right)$ từ $\left( C \right)$: + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$. + Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của $\left( C \right)$, lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy. |
Ví dụ: Từ đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ suy ra đồ thị $\left( {{C}’} \right):y={{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|$.
Cách vẽ đồ thị $\left( {{C}’} \right)$:
+ Bỏ phần đồ thị của $\left( C \right)$ bên trái $Oy,$ giữ nguyên $\left( C \right)$ bên phải $Oy.$
+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua $Oy$.
| Từ đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$suy ra đồ thị$\left( {{C}’} \right):y=\left| f\left( x \right) \right|$
* Cách vẽ $\left( {{C}’} \right)$ từ $\left( C \right)$: + Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):$y=f\left( x \right)$. + Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. |
Ví dụ: Từ đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ suy ra đồ thị $\left( {{C}’} \right):\text{ }y=\left| {{x}^{3}}-3x \right|$.
Cách vẽ đồ thị $\left( {{C}’} \right)$:
+ Bỏ phần đồ thị của $\left( C \right)$ dưới $Ox,$ giữ nguyên $\left( C \right)$ phía trên $Ox.$
+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua $Ox$.
Chú ý: Với dạng: $y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|$ ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị $y=f\left( \left| x \right| \right)$ và $y=\left| f\left( x \right) \right|$
Ví dụ: Từ đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ suy ra đồ thị $y=\left| {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right| \right|$
Biến đổi $\left( C \right)$ để được đồ thị $\left( {{C}’} \right):y={{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|$.
Biến đổi $\left( {{C}’} \right):y={{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|$ ta được đồ thị $\left( {{{C}’}’} \right):y=\left| {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right| \right|$.
Từ đồ thị $\left( C \right):y=u\left( x \right).v\left( x \right)$ suy ra đồ thị $\left( {{C}’} \right):y=\left| u\left( x \right) \right|.v\left( x \right)$.
* Cách vẽ $\left( {{C}’} \right)$ từ $\left( C \right)$:
+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền $u\left( x \right)\ge 0$ của đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$.
+ Bỏ phần đồ thị trên miền $u\left( x \right)<0$của $\left( C \right)$, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Ví dụ:
| a) Từ đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ suy ra đồ thị $\left( {{C}’} \right):y=\left| x-1 \right|\left( 2{{x}^{2}}-x-1 \right)$
Ta có:
Đồ thị (C’): + Giữ nguyên (C) với $x\ge 1$. + Bỏ (C) với $x<1$. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… |
b) Từ đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)=\frac{x}{x-1}$ suy ra đồ thị $\left( {{C}’} \right):y=\frac{x}{\left| x-1 \right|}$
Ta có:
Đồ thị (C’): + Bỏ phần đồ thị của $\left( C \right)$ với $x<1$, giữ nguyên $\left( C \right)$ với $x>1.$ + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua $Ox.$
Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác. |
Xem thêm:
