Khảo sát hàm số bậc 3, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3, cách vẽ đồ thị hàm số bậc 3 là một trong những kiến thức cơ bản của toán lớp 12. Vậy phải với dạng bài tập này phải làm như thế nào? Cùng Khoa Cử đi tìm hiểu về cách giải cũng như các bài tập mẫu dưới đây nhé!
SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;
Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)$;
Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ${f}'(x)=0$;
Bước 4. Tính giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);
Bước 5. Lập bảng biến thiên;
Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục $Ox$, $Oy$, các điểm đối xứng, …);
Bước 8. Vẽ đồ thị.
Hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right)$
| TRƯỜNG HỢP | a>0 | a<0 |
| Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
|
 |
 |
| Phương trình y’ = 0 có nghiệm kép
|
 |
 |
| Phương trình y’ = 0 vô nghiệm |  |
. |
BÀI TẬP MẪU KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$
Lời giải:
Tập xác định:$D=\mathbb{R}$
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
+ Các giới hạn tại vô cực
$\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( 1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)=+\infty ;$
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;\,0 \right)$ và $\left( 2\,;\,+\infty \right)\,$;
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0\,;\,2 \right)\,$
+ Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại $x=0\,;$ ${{y}_{cd}}=y\left( 0 \right)=2$ .Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2\,;$ ${{y}_{ct}}=y\left( 2 \right)=-2$
+ Đồ thị
Cho $x=0\Rightarrow y=2$ :Đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại $B\left( 0;\,2 \right).$
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm $I\left( 1\,;\,0 \right)$ làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm$I$ là nghiệm của phương trình ${y}”=0$ (Điểm uốn)
Xem thêm: Nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4 và các bài tập mẫu
Câu 2:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+1$
Lời giải:
Tập xác định:$D=\mathbb{R}$
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
${y}’=-3{{x}^{2}}+6x-3=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0\,\forall x\in \mathbb{R}$ .Xét ${y}’=0\Leftrightarrow x=1.$
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty \,;\,+\infty \right).$
+ Cực trị :
Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực
$\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( -1+\frac{3}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)=-\infty ;$ $\underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( -1+\frac{3}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)=+\infty .$
+ Bảng biến thiên:
Đồ thị
Ta có $-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+1=0\Leftrightarrow x=1$$\Rightarrow $đồ thị hàm số qua $A\left( 1;\,0 \right).$
Cho $x=0\Rightarrow y=1$ $\Rightarrow $Đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại $B\left( 0;\,1 \right)$ .
Cho $x=2\Rightarrow y=-1$ Đồ thị hàm số qua $C\left( 2\,;\,-1 \right).$
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm $I\left( 1\,;\,0 \right)$ làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm$I$ là nghiệm của phương trình ${y}”=0$ (Điểm uốn).
Câu 3:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+1$
Lời giải:
Tập xác định:$D=\mathbb{R}$
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
${y}’=3{{x}^{2}}\ge 0\,\forall x\in \mathbb{R}$ .Xét ${y}’=0\Leftrightarrow x=0.$
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng $\left( -\infty \,;\,+\infty \right).$
+ Cực trị : Hàm số không có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực
$\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}=+\infty ;$ $\underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}=-\infty .$
+ Bảng biến thiên:
Đồ thị
Ta có ${{x}^{3}}=0\Leftrightarrow x=0$ .Vậy đồ thị hàm số qua $O\left( 0;\,0 \right)$
Cho $x=1\Rightarrow y=1$ :Đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại $B\left( 1;\,1 \right)$ .Cho $x=-1\Rightarrow y=-1\,$ :Đồ thị hàm số cắt qua $C\left( -1\,;\,-1 \right)\,.$
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm $O\left( 0;\,0 \right)$ làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm$O$ là nghiệm của phương trình ${y}”=0$ (Điểm uốn)
Câu 4: Tìm hàm số bậc 3 đúng dưới hình vẽ sau đây
Hình vẽ sau đây là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các đáp án $A,\,B,\,C,\,D$. Hỏi đó là hàm số nào?
A. $y={{x}^{3}}+2x+1$. B. $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1$.
C. $y={{x}^{3}}-2x+1$. D. $y=-{{x}^{3}}+2x+1$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $, loại phương án $D$.
Xét phương án $A$ có ${y}’=3{{x}^{2}}+2>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$, hàm số không có cực tri, loại phương án $A$.
Xét phương án $B$ có ${y}’=3{{x}^{2}}-6x$ và ${y}’$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=0,\,\,x=2$ nên hàm số đạt cực tri tại $x=0$ và $x=2$, loại phương án $B$.
Vậy phương án đúng là $C$.
Câu 5: Hàm số bậc 3 có đồ thị bên dưới, tìm khẳng đúng
Hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Khẳng định nào là đúng?
A. $a<0$, $b<0$, $c<0$, $d<0$. B. $a>0$, $b>0$, $c>0$, $d<0$.
C. $a>0$, $b>0$, $c<0$, $d>0$. D. $a>0$, $b<0$, $c<0$, $d>0$.
Lời giải
+ Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được $a>0$.
+ Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tọa độ $\left( 0;d \right)$. Dựa vào đồ thị suy ra $d>0$.
+ Ta có: ${y}’=3a{{x}^{2}}+2bx+c$. Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ $\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)$ trái dấu nên phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ trái dấu. Vì thế $3a.c<0$, nên suy ra $c<0$.
Mà ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a}$ nên suy ra $\frac{-2b}{3a}>0$$\Rightarrow b<0$.
Vậy $a>0$, $b<0$, $c<0$, $d>0$.
Câu 6:
Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. $a<0,b<0,c<0,d<0$ B. $a<0,b>0,c>0,d>0$
C. $a<0,b>0,c<0,d>0$ D. $a<0,b>0,c>0,d<0$
Lời giải
Chọn D
– Dựa vào hình dáng của đồ thị suy ra hệ số $a<0$.
– Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ âm nên $d<0$.
– Ta thấy đồ thị như hình vẽ có hai điểm cực trị, hoành độ các điểm cực trị trái dấu suy ra phương trình ${y}’=3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$ có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ trái dấu kéo theo $3a.c<0\Rightarrow c>0$.
– Mặt khác $\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=-\frac{b}{3a}>0\Rightarrow b>0$.
Câu 7: Cho hàm số bậc 3, dưới tìm số dương
Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ. Trong các số $a,b,c$ và $d$có bao nhiêu số dương?
A. $1$. B. $4$. C. $3$. D. $2$.
Lời giải
Chọn D
Từ hình dạng đồ thị hàm số ta có $a>0$
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm$\Rightarrow d<0$
Ta có: $y’=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu$\Rightarrow y’=0$ có hai nghiệm trái dấu$\Leftrightarrow ca<0$
Mà $a>0$nên $c<0$
Ta lại có: $y”=6ax+2b$
$y”=0\Leftrightarrow 6ax+2b=0\Leftrightarrow x=-\frac{b}{3a}$
Từ đồ thị hàm số ta thấy tâm đối xứng có hoành độ âm. Do đó $-\frac{b}{3a}<0$
Mà $a>0$ nên $b>0$
Vậy trong các số $a,b,c$ và $d$có 2 số dương là $a$ và $b$
Câu 8: Hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên dưới, tìm mệnh đề đúng
Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a<0,b<0,c>0,d<0$. B. $a<0,b>0,c<0,d<0$.
C. $a>0,b<0,c<0,d>0$. D. $a<0,b>0,c>0,d<0$.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
${y}’=3a{{x}^{2}}+2bx+c$, ${{y}’}’=6ax+2b$
Từ đồ thị ta thấy:
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $. Ta suy ra $a<0$.
$y\left( 0 \right)<0\Rightarrow d<0$ loại C.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ trái dấu và ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0$. Ta suy ra phương trình $y’=0$ có hai nghiệm trái dấu và ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0$.
Ta suy ra ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{3a}<0$, $\Rightarrow c>0$ loại B.
Xem thêm:
