Dưới đây là những thông tin khái niệm mặt tròn xoay và hướng dẫn giải các bài tập mẫu thuộc khái niệm về mặt tròn xoay thuộc chương trình Toán Lớp 12. Các em học sinh có thể tham khảo để từ đó học tốt môn học này nhé!
I. LÝ THUYẾT MẶT TRÒN XOAY
I. SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY
| – Trong không gian cho mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $\Delta $ và một đường C. Khi quay mặt phẳng $\left( P \right)$ quanh $\Delta $ một góc ${{360}^{\circ }}$ thì mỗi điểm $M$ trên C vạch ra một đường tròn có tâm $O$ thuộc $\Delta $ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với $\Delta $. Như vậy khi quay mặt phẳng $\left( P \right)$ quanh đường thẳng $\Delta $ thì C sẽ tạo nên được một hình gọi là mặt tròn xoay.
– Trong đó: đường C được gọi là đường sinh của mặt nón; đường thẳng $\Delta $ được gọi là trục của mặt tròn xoay. |
 |
II. MẶT NÓN TRÒN XOAY
-
Định nghĩa mặt nón tròn xoay
| – Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho hai đường thẳng $d$ và $\Delta $ cắt nhau tại điểm $O$ và tạo thành góc $\alpha $ (với ${{0}^{\circ }}<\alpha <{{90}^{\circ }}$). Khi quay mặt phẳng $\left( P \right)$ xung quanh $\Delta $ thì đường thẳng $d$ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh $O$.
– Gọi tắt là mặt nón tròn xoay. – Trong đó: Đường thẳng $\Delta $ được gọi là trục; đường thẳng $d$ được gọi là đường sinh; góc $2\alpha $ được gọi là góc ở đỉnh. |
 |
-
Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay
a) Hình nón tròn xoay
| – Cho $\Delta IOM$ vuông tại $I$. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh vuông góc $OI$ thì đường gấp khúc $IOM$ tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.
– Trong đó: + Hình tròn tâm $I$ sinh bởi các điểm thuộc cạnh $IM$ khi $IM$ quay quanh trục $OI$ được gọi là mặt đáy của mình nón. + Điểm $O$ được gọi là đỉnh của hình nón. + Độ dài đoạn $OI$ được gọi là chiều cao của hình nón. + Độ dài đoạn $OM$ được gọi là độ dài đường sinh của hình nón. + Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh $OM$ khi quay quanh $OI$ được gọi là mặt xung quanh của hình nón. |
 |
b) Khối nón tròn xoay
| – Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình đó được gọi là khối nón tròn xoay hay còn gọi tắt là khối nón.
– Trong đó: + Điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón gọi là điểm trong của khối nón. + Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. |
 |
-
Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón tròn xoay
a) Diện tích xung quanh của hình nón
| – Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh tăng lên vô hạn.
– Công thức: ${{S}_{xq}}=\pi rl$. Trong đó: $r$ là bán kính đáy; $l$ là độ dài đường sinh. |
 |
b) Diện tích toàn phần của hình nón
| – Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay là tổng diện tích mặt đáy với diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.
– Công thức: ${{S}_{tp}}={{S}_{\acute{a}y}}+{{S}_{xq}}=\pi {{r}^{2}}+\pi rl$. |
 |
c) Diện tích hình quạt
| – Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được:
+ Một hình quạt có bán hính bằng độ dài đường sinh của hình nón. + Một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáy của hình nón. – Công thức: ${{S}_{qu\text{\underset{\scriptscriptstyle\centerdot}{a}}t}}={{S}_{xq}}=\pi rl$. |
 |
-
Thể tích của khối nón tròn xoay
| – Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón khi đó số cạnh tăng lên vô hạn.
– Công thức: $V=\frac{1}{3}{{S}_{\acute{a}y}}.h$. Trong đó: $h$ là chiều cao của khối nón. – Nếu đáy là hình tròn có bán kính $r$ thì $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$. |
 |
-
Hình nón cụt
| – Hình nón cụt là phần nón giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song song với đáy.
– Công thức + Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=\pi \left( R+r \right)l$. + Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}={{S}_{2\,\acute{a}y}}+{{S}_{xq}}=\pi \left( {{r}^{2}}+{{R}^{2}} \right)+\pi \left( R+r \right)l$. + Thể tích khối nón cụt $V=\frac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)$. Trong đó: $R,\,r$ là bán kính hai đáy; $h=IJ$ là độ cao hình chóp cụt. |
 |
Xem thêm: Tổng hợp bài tập mặt nón mặt trụ mặt cầu có lời giải
III. MẶT TRỤ TRÒN XOAY:
- Định nghĩa mặt trụ tròn xoay: Trong mp (P) cho hai đường thẳng D và l song song nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay (P) xung quanh D thì l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. D gọi là trục, l gọi là đường sinh, r là bán kính của mặt trụ đó.
- Hình trụ tròn xoay: Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành 1 hình được gọi là hình trụ tròn xoay.
– Hai đáy: là hai hình tròn: tâm $A$ bán kính $r=AD$ và tâm $B$ bán kính $r=BC$.
– Đường sinh: là đoạn $CD$.
– Mặt xung quanh: là mặt do đoạn $CD$ tạo thành khi quay, nếu cắt theo một đường sinh và trãi ra ta được mặt xung quanh là một hình chữ nhật.
– Chiều cao: $h=AB=CD$.
* Khối trụ tròn xoay: Phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ kể cả hình trụ đó được gọi là khối trụ tròn xoay.
Công thức tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ:
* Diện tích xung quanh của hình trụ bằng tích độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh. ${{S}_{xq}}=2\pi rl$ mà $h=l$ nên $$
* Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai đáy. ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2.{{S}_{\acute{a}y}}$ do đó $$
* Thể tích khối trụ: $V=Bh$ Þ$$
Một số tính chất:
– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là $r$) bởi một $mp\left( \alpha \right)$vuông góc với trục $\Delta $ thì ta được đường tròn có tâm trên $\Delta $ và có bán kính bằng $r$ với $r$ cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là $r$) bởi một $mp\left( \alpha \right)$ không vuông góc với trục $\Delta $ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng $2r$ và trục lớn bằng $\frac{2r}{\sin \varphi }$, trong đó $\varphi $ là góc giữa trục $\Delta $ và $mp\left( \alpha \right)$ với ${{0}^{0}}<\varphi <{{90}^{0}}$.
– Cho $mp\left( \alpha \right)$ song song với trục $\Delta $ của mặt trụ tròn xoay và cách $\Delta $ một khoảng $k$:
+ Nếu $k<r$ thì $mp\left( \alpha \right)$ cắt mặt trụ theo hai đường sinh $\Rightarrow $ thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu $k=r$ thì $mp\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu $k>r$ thì $mp\left( \alpha \right)$ không cắt mặt trụ.
II. BÀI TẬP MẪU MẶT TRÒN XOAY
Câu 1: Tìm $\alpha $ sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $ACH$ quanh trục $AB$ đạt giá trị lớn nhất
Cho nửa đường tròn đường kính $AB=2R$ và điểm $C$ thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt $\alpha =\widehat{CAB}$ và gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$lên $AB$. Tìm $\alpha $ sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $ACH$ quanh trục $AB$ đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
Ta có $\left\{ \begin{align}& AC=AB.\text{ }\cos \alpha =2R.\cos \alpha \\& CH=AC.\sin \alpha =2R.\cos \alpha .\sin \alpha \\& AH=AC.\cos \alpha =2R.{{\cos }^{2}}\alpha \\\end{align} \right.$
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $ACH$
quanh trục $AB$là
$V=\frac{1}{3}AH.\pi C{{H}^{2}}=\frac{8}{3}{{R}^{3}}.{{\cos }^{4}}\alpha .{{\sin }^{2}}\alpha $.
Đặt $t={{\cos }^{2}}\alpha \,\,\left( 0<t<1 \right)$
$\Rightarrow V=\frac{8}{3}{{R}^{3}}{{t}^{2}}\left( 1-t \right)=\frac{8}{6}{{R}^{3}}.t.t\left( 2-2t \right)\le \frac{8}{6}{{R}^{3}}{{\left( \frac{t+t+2-2t}{3} \right)}^{3}}$
Vậy $V$ lớn nhất khi $t=\frac{2}{3}$ khi $\alpha =\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Câu 2: Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp $\left( \alpha \right)$
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao $h=20\,\text{cm}$, bán kính đáy $r=25\,\text{cm}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua đỉnh của hình nón cách tâm của đáy $12\,\text{cm}$. Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp $\left( \alpha \right)$.
Lời giải
Ta có: $d\left( O,\left( \alpha \right) \right)=OH=12$.
Diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp $\left( \alpha \right)$ là: ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}SM.AB=SM.MA$ .
Trong tam giác $SMO$ vuông tại $O$:$\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}$$\Leftrightarrow \frac{1}{{{12}^{2}}}=\frac{1}{{{20}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}$$\Leftrightarrow OM=15$.
Suy ra $SM=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}+{{15}^{2}}}=25$.
Mặt khác ta có: $M$ là trung điểm của $AB$ và $OM\bot AB$.
Xét tam giác $MOA$ vuông tại $M$: $MA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{{{25}^{2}}-{{15}^{2}}}=20$.
Vậy ${{S}_{\Delta SAB}}=SM.MA=25.20=500\,$$\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{2}}} \right)$.
Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R
Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính $R$ là
Lời giải:
Rõ ràng trong hai khối nón cùng bán kính đáy nội tiếp trong một khối cầu thì khối nón có chiều cao lớn hơn thì thể tích lớn hơn, nên ta chỉ xét khối nón có chiều cao lớn hơn trong hai khối nón đó.
Giả sử rằng khối nón có đáy là hình tròn $\left( C \right)$ bán kính $r$. Gọi $x$ với ${f}’\left( x \right)$ là khoảng cách giữa tâm khối cầu đến đáy khối nón. Khi đó chiều cao lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu với đáy là hình tròn $\left( C \right)$ sẽ là $h=R+x$. Khi đó bán kính đáy nón là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$. Vậy thể tích khối nón là
$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \left( R+x \right)\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$
$=\frac{1}{3}\pi \left( R+x \right)\left( R+x \right)\left( R-x \right)=\frac{1}{6}\pi \left( R+x \right)\left( R+x \right)\left( 2R-2x \right)$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có $V\le \frac{1}{6}\pi \frac{{{\left( R+x+R+x+2R-2x \right)}^{3}}}{27}=\frac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$
Câu 4: Giá trị bé nhất của tỉ số $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ là
Gọi $r$ và $h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu ${{V}_{1}}$, ${{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé nhất của tỉ số $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ là
Lời giải
Ta có: Thể tích khối nón là ${{V}_{1}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$.
Xét mặt cắt qua tâm $SAB,$ kẻ tia phân giác của góc $\widehat{SBO}$, cắt $SO$ tại $I.$
Ta có: $\frac{IO}{IS}=\frac{OB}{SB}=\frac{r}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}}\Rightarrow IS=IO\cdot \frac{\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}}{r}$
Mặt khác: $IO+IS=h$
Do đó ta có bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp là $R=IO=\frac{rh}{r+\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}}$
Thể tích khối cầu là ${{V}_{2}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \frac{{{r}^{3}}{{h}^{3}}}{{{\left( r+\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}} \right)}^{3}}}\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{\left( r+\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}} \right)}^{3}}}{4r{{h}^{2}}}=\frac{{{\left( 1+\sqrt{1+\frac{{{h}^{2}}}{{{r}^{2}}}} \right)}^{3}}}{4\frac{{{h}^{2}}}{{{r}^{2}}}}$
Đặt $t=\sqrt{1+\frac{{{h}^{2}}}{{{r}^{2}}}}$ ($t\ge 1$ ) $\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{\left( 1+t \right)}^{3}}}{4\left( {{t}^{2}}-1 \right)}=\frac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{4\left( t-1 \right)}$
Đặt $f\left( t \right)=\frac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{t-1}$, Điều kiện: $t\ge 1$, ${f}’\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-2t-3}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}\,\,\,\,\Rightarrow {f}’\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=3$
Từ BBT $\Rightarrow f\left( t \right)\ge f\left( 3 \right)=8,\,\,\forall t\ge 1$ $\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\ge 2$
Câu 5: Tìm bán kính $r$ của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất
Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng $36\pi $, tìm bán kính $r$ của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất.
Lời giải
Gọi bán kính và thể tích của hình cầu là $R$ và ${{V}_{C}}$
Theo giả thiết ${{V}_{C}}=36\pi $ $\Leftrightarrow $ $\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=36\pi $ $\Leftrightarrow $ $R=3$
Diện tích xung quanh của hình nón là
${{S}_{xq}}=\pi .r.SA=\pi .r.\sqrt{S{{H}^{2}}+{{r}^{2}}}$ (1)
$\Rightarrow $ $SH=3+\sqrt{9-{{r}^{2}}}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ ${{S}_{xq}}=\pi .r.\sqrt{{{\left( 3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}$
$\Leftrightarrow $${{S}_{xq}}=\pi .\sqrt{{{r}^{2}}{{\left( 3+\sqrt{9-{{r}^{2}}} \right)}^{2}}+{{r}^{4}}}$
Đặt $t=\sqrt{9-{{r}^{2}}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}=9-{{t}^{2}}$. Với $0<t\le 3$ (3)
$\Rightarrow $ ${{S}_{xq}}=\pi .\sqrt{{{\left( 9-t \right)}^{2}}{{\left( 3+\sqrt{9-{{\left( 9-t \right)}^{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( 9-t \right)}^{4}}}=\pi .\sqrt{-6{{t}^{3}}-18{{t}^{2}}+54t+162}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-6{{t}^{3}}-18{{t}^{2}}+54t+162$ $\Rightarrow $ ${f}’\left( t \right)=-18{{t}^{2}}-36t+54$
$\Rightarrow $ ${f}’\left( t \right)=0$ $\Leftrightarrow $ $t=-3\text{ }\vee \text{ }t=1$
Bảng biến thiên
Vậy $\text{Max }f\left( t \right)=8\sqrt{3}$ tại $t=1$ $\Leftrightarrow $ $\text{Max }{{S}_{xq}}=\pi 8\sqrt{3}$ tại $t=1$
Kết hợp (3) $\Rightarrow $ $r=2\sqrt{2}$.
Câu 6: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ
Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông $ABCD$ cạnh $a$có hai đỉnh liên tiếp $A,B$nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ tạo với đáy hình trụ góc$45{}^\circ $. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo $a$.
Lời giải
 |
Gọi $M$, $N$ trung điểm $AB$, $CD$ $\Rightarrow MN$ là trục hình vuông $ABCD$ và $MN$ qua tring điểm $I$ của $O{O}’$ $g\acute{o}c\left( \left( ABCD \right),mp\left( O \right) \right)=g\acute{o}c\left( MI,MO \right)=\widehat{IMO}=45{}^\circ $ góc
$\Delta IOM$ vuông cân tại $O$ $\Rightarrow OM=OI=\frac{MI}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2\sqrt{2}}$ $\Rightarrow h=O{O}’=2OI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ $\Delta MOA$ vuông tại $M$ $\Rightarrow r=OA=\sqrt{O{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$ + Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=2\pi rh=\frac{\pi \sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}$ + Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2.{{S}_{\acute{a}y}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=\frac{\pi \sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}+\frac{3\pi }{4}{{a}^{2}}=\frac{\left( 3+2\sqrt{3} \right)\pi }{4}{{a}^{2}}$. |
Câu 7: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ
Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn$\left( O,R \right)$ và $\left( O’,R \right)$. Biết rằng tồn tại dây cung $AB$ của đường tròn $\left( O \right)$ sao cho $\Delta {O}’AB$ đều và $mp\left( {O}’AB \right)$ hợp với mặt phẳng chứa đường tròn $\left( O \right)$ một góc ${{60}^{0}}$. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo $R$.
Lời giải
 |
Đặt số đo cạnh tam giác đều $ABC$ là $x$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow OI\bot AB,\,\,{O}’I\bot AB$ $g\acute{o}c\left( \left( {O}’AB \right),mp\left( O \right) \right)=g\acute{o}c\left( {O}’I,OI \right)=\widehat{{O}’IO}=60{}^\circ $$\Rightarrow OI=\frac{{O}’I}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{4}$ và $h=O{O}’={O}’I\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3x}{4}$ $\Delta AIO$ vuông tại $I$ $\Rightarrow O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}=O{{A}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{x\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ $\frac{7}{16}{{x}^{2}}={{R}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=\frac{4\sqrt{7}}{7}R$. Vậy $h=\frac{3x}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{7}R$ + Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=2\pi rh=\frac{6\sqrt{7}\pi {{R}^{2}}}{7}$ + Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2.{{S}_{\acute{a}y}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=\frac{6\sqrt{7}\pi {{R}^{2}}}{7}+2\pi {{R}^{2}}=\frac{\left( 14+6\sqrt{7} \right)\pi {{R}^{2}}}{7}$. |
Câu 8: Tính diện tích của thiết diện được tạo thành
Một hình trụ có bán kính đáy $r=5\,\text{cm}$ và khoảng cách giữa hai đáy $h=7\,\text{cm}$. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục $3\,\text{cm}$. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
Lời giải
Gọi $O,{O}’$ là tâm của hai đáy của hình trụ và $\left( P \right)$ là mặt phẳng song song với trục và cách trục $O{O}’$ một khoảng $3\text{cm}$.
Mp$\left( P \right)$ cắt hai hình tròn đáy $\left( O \right),\left( {{O}’} \right)$ theo hai dây cung lần lượt là $AB,\,CD$ và cắt mặt xung quanh theo hai đường sinh là $AD,BC$. Khi đó $ABCD$ là hình chữ nhật.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Ta có $OH\bot AB;OH\bot AD\Rightarrow OH\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow d\left( O\,{O}’,\left( P \right) \right)=d\left( O,\left( ABCD \right) \right)=OH=3\text{cm}$.
Khi đó: $AB=2AH=2\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8$; $AD=O\,O’=h=7\text{cm}$.
Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: ${{S}_{ABCD}}=AB.AD=56\left( c{{m}^{2}} \right)$.
Xem thêm:
