Lý thuyết và bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các công thức tổ hợp chỉnh hợp cũng như các bài tập nhằm công thức tổ hợp chỉnh hợp hoán vị lớp 11 bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Để có thể làm được bài tập xác suất tổ hợp chỉnh hợp hay tổ hợp chỉnh hợp hoán vị lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:

1. HOÁN VỊ:

Giai thừa: $n!=n.(n-1)(n-2)……1$

Quy ước: $0!=1$, $1!=1$

Ví dụ:

– 3 chữ số lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.

– 3 bạn A, B, C xếp thành một hàng, hỏi có bao nhiêu cách.

Khái niệm và công thức:

Cho tập hợp A gồm n (n ≥ 1) phần tử $(n\ge 1)$. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo 1 thứ tự (quy luật) nào đó ta được 1 hoán vị của n phần tử. Số hoán vị của n phần tử là:

${{P}_{n}}=n!(n-1)(n-2)……1$

Đặc điểm: có thứ tự, số phân tử trong nhóm bằng n.

2. CHỈNH HỢP:

Cho tập hợp A gồm $n$ phần tử ($n\ge 1$). Mỗi cách sắp xếp $k(1\le k\le n)$ phần tử nào đó của A theo một thứ tự nhất định (quy luật) cho ta được một chỉnh hợp chập $k$của $n$ phần tử (gọi tắt là chỉnh hợp chập $k$của A).

Số chỉnh hợp chập $k$của A: $A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}$

Đặc điểm: có thứ tự, sô phân tử trong nhóm bằng $k:1\le k\le n$

3. TỔ HỢP

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử ($n\ge 1$). Mỗi tập hợp con của $A$ gồm $k$ phần tử$\left( 1\le k\le n \right)$ gọi là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử trong $A$.

Số tổ hợp chập $k$ của $n$: $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$

Dấu hiệu: Số phần tử trong nhóm: $k\,\,\,\,\left( 1\le k\le n \right)$.

Không có thứ tự.

Các tính chất của tổ hợp:

            $C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1;\,\,C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k};\,\,C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$

II. BÀI TẬP MẪU

Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của hoán vị chỉnh hợp tổ hợp lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập tổ hợp chỉnh hợp hoán vị lớp 11 để có thể hiểu rõ hơn chương hàm số lượng giác này ngay bên dưới đây:

DẠNG 1. HOÁN VỊ

Bài tập 1: Có 3 cuốn sách lý, 4 cuốn sách sinh, 5 cuốn sách địa lý. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách nếu:

1. Sắp xếp tùy ý?
2. Các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau?

Lời giải

1. Có tất cả 12 cuốn sách nên có 12! cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách.
2. Ta phân giá sách làm 3 khu để 3 loại sách toán; lý; hóa có tất cả 3! cách phân như vậy.

Có 3! cách sắp xếp 3 cuốn sách lý vào khu đã được phân.

Có 4! cách sắp xếp 4 cuốn sách sinh vào khu đã được phân.

Có 5! cách sắp xếp 5 cuốn sách địa vào khu đã được phân.

Vậy có tất cả 3!3!4!5! = 103680 cách sắp xếp các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau trên giá.

Bài tập 2: (học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đếm và hoán vị) Cho các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4.

1. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
2. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chữ số 3 đứng ở chính giữa?

Lời giải

Cách 1:

1. Số tự nhiên cần lập có dạng abcde (a ¹0)

Trong đó chữ sổ a có 4 cách chọn.

Chữ số b có 4 cách chọn.

Chữ số c có 3 cách chọn.

Chữ số d có 2 cách chọn.

Chữ số e có 1 cách chọn.

Nên có tất cả 4.4.3.2.1 = 96 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2. Số tự nhiên cần lập có dạng ab3de (a ¹0).

Chữ số a có 3 cách chọn.

Chữ số b có 3 cách chọn.

Chữ số d có 2 cách chọn.

Chừ sô e có 1 cách chọn.

Vậy thành lập được tất cả 3.3.2 = 18 số có 5 chữ số khác nhau mà số 3 đứng chính giữa từ các số trên.

Cách 2:

1. Mồi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là một hoán vị của {0; 1; 2; 3; 4}.

Các số có dạng 0abcd mà a;b;c;d khác nhau là một hoán vị của các số {1; 2; 3; 4}.

Nên 5 có tất cả 5! – 4! = 96 số có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên.

2. Tương tự phần a; các số có dạng ab3de bằng với số hoán vị của 4 số {0; 1; 2; 4}.

Các số có dạng 0a3cd bằng số hoán vị của 3 số {l;2;4}.

Nên có tất cả 4!—3! = 18 số có 5 chữ số khác nhau có số 3 đứng giữa được thành lập từ các số trên.

DẠNG 2. CHỈNH HỢP

Bài tập 1: Rút gọn

$M=\frac{A_{n}^{6}+A_{n}^{5}}{A_{n}^{4}}$ $N=\frac{A_{5}^{2}.A_{6}^{3}}{{{P}_{6}}}-\frac{A_{5}^{3}}{{{P}_{6}}}$ $E=\frac{{{P}_{n}}}{(n-3)!A_{n}^{2}}-\frac{{{P}_{n+1}}}{(n+2)!}$

Lời giải

$\begin{align}& M=\frac{A_{n}^{6}+A_{n}^{5}}{A_{n}^{4}}=\frac{\frac{n!}{(n-6)!}+\frac{n!}{(n-5)!}}{\frac{n!}{(n-4)!}}=\frac{\frac{n!}{(n-5)!}.(n-5+1)}{\frac{n!}{(n-4)!}}=\frac{(n-4)}{\frac{1}{(n-4)}}={{(n-4)}^{2}} \\& N=\frac{A_{5}^{2}.A_{6}^{3}}{{{P}_{6}}}-\frac{A_{5}^{3}}{{{P}_{6}}}=\frac{\frac{5!}{3!}.\frac{6!}{3!}}{6!}\frac{\frac{5!}{2!}}{6!}=\frac{\frac{5!}{2!}\left( \frac{1}{3}.\frac{6!}{3!}-1 \right)}{6!}=\frac{5!}{2!6!}\left( \frac{6!}{3.3!}-1 \right)=\frac{13}{4} \\& E=\frac{{{P}_{n}}}{(n-3)!A_{n}^{2}}-\frac{{{P}_{n+1}}}{(n+2)!}=\frac{n!}{(n-3)!\frac{n!}{(n-2)!}}-\frac{(n+1)!}{(n+2)!}=n-2-\frac{1}{n+2} \\\end{align}$

Bài tập 2: (Học sinh giải theo 2 cách: quy tắc đém và chỉnh hợp) Cho các số tự nhiên 0,1,2,3,4,5,6,7.

a. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

b. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau?

Lời giải

Cách 1:

a. Gọi số cần lập là $\overline{abcd}$.

Vì $a\ne 0$ nên có 7 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 6 cách chọn, d có 5 cách chọn.

Vậy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là 7.7.6.5=1470 số.

b. Gọi số cần lập là $\overline{abc}$

Vì số cần lập là số chẵn nên c=0;2;4;6.

 Nếu c=0 thì a có 7 cách chọn, b có 6 cách chọn.

Vậy có tất cả 7.6=42 số có dạng $\overline{ab0}$ được thành lập từ các số trên.

 Nếu c=2;4;6 thì a có 6 cách chọn; b có 6 cách chọn.

Vậy có tất cả 3.6.6=108 số.

Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 108+42=150 số.

Cách 2:

a. Số có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là: $A_{8}^{4}=1680$ số.

Số có dạng $\overline{0abc}(a,b,c)$khác nhau được thành lập từ các chữ số trên là: $A_{7}^{3}=210$số.

Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là: $A_{8}^{4}-A_{7}^{3}=1470$ số.

b. Số số có 3 chữ số được thành lập từ các chữ số trên là: $A_{8}^{3}-A_{7}^{2}=294$số.

Gọi số cần lập $\overline{abc}$là số lẻ. Khi đó c có cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 6 cách chọn. Vậy số lẻ được thành lập từ các chữ số trên là: 4.6.6=144 số.

Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là: 294-144=150 số.

DẠNG 3. TỔ HỢP

Bài tập 1: Có $10$ quyển sách toán giống nhau, $11$ quyển sách lý giống nhau và $9$ quyển sách hóa giống nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho $15$ học sinh có kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại?

A. $C_{15}^{7}C_{9}^{3}$.                       B. $C_{15}^{6}C_{9}^{4}$.                       C. $C_{15}^{3}C_{9}^{4}$.                       D. $C_{30}^{2}$.

Lời giải

Có duy nhất một cách chia $30$ quyển sách thành $15$ bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại, trong đó có:

+ $4$ bộ giống nhau gồm $1$ toán và $1$ hóa.

+ $5$ bộ giống nhau gồm $1$ hóa và $1$ lí.

+ $6$ bộ giống nhau gồm $1$ lí và toán.

Số cách trao phần thưởng cho $15$ học sinh được tính như sau:

+ Chọn ra $4$ người (trong $15$người) để trao bộ sách toán và hóa $\Rightarrow $ có $C_{15}^{4}$ cách.

+ Chọn ra $5$ người (trong $11$ người còn lại) để trao bộ sách hóa và lí $\Rightarrow $ có $C_{11}^{5}$ cách.

+ Còn lại $6$ người trao bộ sách toán và lí $\Rightarrow $ có $1$ cách.

Vậy số cách trao phần thưởng là $C_{15}^{4}.C_{11}^{5}=C_{15}^{6}.C_{9}^{4}=630630$ (cách).

Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là B.

Bài tập 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các số $0,1,2,3,4,5,6,7,8$. Trong đó chữ số 3 có mặt đúng 2 lần. Các chữ số khác có mặt 1 lần?

Lời giải

– Xét TH 1 số $3$ đứng đầu, khi đó số $3$ thứ $2$ có $4$ cách chọn và ba vị trí còn lại có $A_{8}^{3}$ cách chọn

Nếu 1 số 3 đứng đầu thì có: $4A_{8}^{3}$ cách

– Xét TH 2 không có số $3$ đứng đầu tiên, khi đó

+ Có $C_{4}^{2}$ cách chọn $2$ số $3$ vào hai vị trí trong$4$ vị trí còn lại.

+ Có $7$ cách chọn vào vị trí đầu tiên

+ Có $A_{7}^{2}$ (Chọn $2$ số khác vị trí đầu và số $3$) cách chọn vào $2$ vị trí còn lại

Nếu không có số $3$ đứng đầu thì có $7.A_{4}^{2}.A_{7}^{2}$.

Vì thế nên ta sẽ có $4A_{8}^{3}+7C_{4}^{2}.A_{7}^{2}$ cách chọn.