Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn khái niệm hàm số lũy thừa, đạo hàm hàm số lũy thừa, khảo sát hàm số lũy thừa cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng $y={{x}^{\alpha }}$, trong đó $\alpha $ là một hằng số tùy ý.
Từ các định nghĩa về lũy thừa ta thấy:
+) Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$, với $\alpha $ nguyên dương, xác định $\forall x\in \mathbb{R}$.
+) Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$, với $\alpha $ nguyên âm hoặc $\alpha =0$, xác định $\forall x\ne 0$.
+) Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$, với $\alpha $ không nguyên, xác định $\forall x>0$.
Chú ý:
+) Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
+) Hàm số $y={{x}^{\frac{1}{n}}}$ không đồng nhất với hàm số $y=\sqrt[n]{x}$, $\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa:
+) Hàm số lũy thừa $y={{x}^{\alpha }}$ (với $\alpha \in \mathbb{R}$) có đạo hàm tại mọi điểm $x>0$ và ${{\left( {{x}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}$.
+) Nếu hàm số $u=u\left( x \right)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm trên $K$ thì hàm số $y={{u}^{\alpha }}\left( x \right)$ cũng có đạo hàm trên $K$ và ${{\left[ {{u}^{\alpha }}\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\alpha .{{u}^{\alpha -1}}\left( x \right).{u}’\left( x \right)$.
Chú ý:
+) Đạo hàm của hàm số căn bậc $n$: ${{\left( \sqrt[n]{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{n\sqrt[n]{{{x}^{n-1}}}}$ ($\forall x>0$ nếu $n$ chẵn và $\forall x\ne 0$ nếu $n$ lẻ).
+) Nếu hàm số $u=u\left( x \right)$ có đạo hàm trên $K$ và thỏa mãn điều kiện $u\left( x \right)>0,\forall x\in K$ khi $n$ chẵn, $u\left( x \right)\ne 0,\forall x\in K$ khi $n$ lẻ thì ${{\left( \sqrt[n]{u\left( x \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{{u}’\left( x \right)}{n\sqrt[n]{{{u}^{n-1}}\left( x \right)}}$, $\left( \forall x\in K \right)$.
3. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lũy thừa:
Tập xác định của hàm số lũy thừa $y={{x}^{\alpha }}$ luôn chứa khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R}.$ Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ trên khoảng này.
Đồ thị của hàm số lũy thừa $y={{x}^{\alpha }}$ luôn đi qua điểm $I\left( 1;1 \right).$
| $y={{x}^{\alpha }},\alpha >0.$ | $y={{x}^{\alpha }},\alpha <0.$ |
| 1. Tập xác định: $\left( 0;+\infty \right).$
2. Sự biến thiên
3. Bảng biến thiên.
|
1. Tập xác định: $\left( 0;+\infty \right).$
2. Sự biến thiên
Tiệm cận:
3. Bảng biến thiên.
|
Đồ thị của hàm số.
II. BÀI TẬP MẪU HÀM SỐ LŨY THỪA
Câu 1:
Tìm tập xác định của hàm số $y={{\left( 2x-1 \right)}^{\frac{2}{3}}}$.
Lời giải
+ Vì $\alpha =\frac{2}{3}\notin \mathbb{Z}$ nên hàm số xác định $\Leftrightarrow 2x-1>0$$\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$.
+ Vậy tập xác định của hàm số $D=\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$.
Câu 2:
Tìm tập xác định của hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{-3}}$..
Lời giải
+ Vậy tập xác định của hàm số $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;1 \right\}$.
Câu 3:
Tìm tập xác định của hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2019}}$.
Lời giải
+ Vì $\alpha =2019\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ nên hàm số xác định khi và chỉ khi ${{x}^{2}}+1$ xác định$\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$.
+ Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.
Câu 4:
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right)={{\left( 2{{x}^{2}}+mx+2 \right)}^{\frac{3}{2}}}$ xác
định với mọi $x\in \mathbb{R}$?
+ Hàm số $f\left( x \right)={{\left( 2{{x}^{2}}+mx+2 \right)}^{\frac{3}{2}}}$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+mx+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Câu 5:
Tìm đạo hàm của hàm số $y=\sqrt[3]{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{3}}}}$.
Lời giải
+ Với mọi $x>0$,$y={{\left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{7}{6}}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{6}{{x}^{\frac{1}{6}}}=\frac{7}{6}\sqrt[6]{x}$.
Câu 6:
Xét dấu ${y}’$ hàm số $y={{x}^{e+2}}$.
Lời giải
+ Tập xác định: $D=\left( 0;+\infty \right)$.
+ ${y}’=\left( e+2 \right).{{x}^{e+1}}>0\,\,,\forall x\in D$.
Câu 7:
Tìm $x$ để ${y}’>0$ biết $y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{e+2}}$.
Lời giải
+ Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
+ ${y}’=\left( e+2 \right){{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{e+1}}=2x\left( e+2 \right){{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{e+1}}$.
+ ${y}’>0\Leftrightarrow 2x\left( e+2 \right){{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{e+1}}>0\Leftrightarrow x>0$.
Vậy $x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Câu 8:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{-1}}$.
Lời giải
+ Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
+ Giới hạn:
$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=0$ và $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ;\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=0$ làm đường tiệm cận ngang, nhận đường thẳng $x=0$ làm đường tiệm cận đứng.
+ Bảng biến thiên:
$y’=-{{x}^{-2}}<0,\forall x\in D$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ và $\left( 0;+\infty \right)$. Hàm số không có cực trị.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm $A\left( -2;-\frac{1}{2} \right),B\left( -1;1 \right),C\left( 1;1 \right),D\left( 2;\frac{1}{2} \right)$ .
Hàm số $y={{x}^{-1}}$ là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị:
Câu 9:
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y={{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{3}}$tại điểm có tung độ bằng 27.
Lời giải
+ Tập xác định:$D=\left[ 0;+\infty \right)$ .
+ $y={{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{3}}=27\Leftrightarrow \sqrt{x}+1=3\Leftrightarrow x=4$
+ ${y}’=3{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{\prime }}{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}=\frac{3}{2\sqrt{x}}.{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}$.
+ ${y}’\left( 4 \right)=\frac{3}{2.\sqrt{4}}{{\left( \sqrt{4}+1 \right)}^{2}}=\frac{27}{4}$.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 27 là: $k=\frac{27}{4}$.
Câu 10:
Cho hàm số $y={{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{3}}$. Tính $y”\left( 1 \right)$.
Lời giải
+ Tập xác định :$D=\mathbb{R}$
+ ${y}’=3.{{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}{{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{2}}=\left( -6x \right){{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{2}}$.
+${y}”={{\left( -6x \right)}^{\prime }}{{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{2}}+\left( -6x \right){{\left[ {{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}$
$=\left( -6 \right){{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}^{2}}+12x.2x\left( 4-{{x}^{2}} \right)=6\left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( 5{{x}^{2}}-4 \right)$.
Vậy ${y}”\left( 1 \right)=6\left( 4-{{1}^{2}} \right)\left( {{5.1}^{2}}-4 \right)=18$.
Câu 11:
Cho hàm số $y={{\left( x-1 \right)}^{\frac{3\pi }{2}}}$ có đồ thị$\left( C \right)$. Lấy $M\in \left( C \right)$ có hoành độ ${{x}_{0}}=2$. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$.
Lời giải
+ Tập xác định :$D=\left( 1;+\infty \right)$.
+ Ta có hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ là $k={y}'(2)$.
+ $y’=\frac{3\pi }{2}{{\left( x-1 \right)}^{\frac{3\pi }{2}-1}}$.
${y}’\left( 2 \right)=\frac{3\pi }{2}{{.1}^{\frac{3\pi }{2}-1}}=\frac{3\pi }{2}$.
+ Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ là $k=\frac{3\pi }{2}$.
Câu 12:
Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{{{\left( 4{{x}^{2}}+3x+1 \right)}^{3}}}$.
Lời giải
+ Vì $4{{x}^{2}}+3x+1>0,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
+ $y={{\left( 4{{x}^{2}}+3x+1 \right)}^{\frac{3}{2}}}$.
+ Ta có: ${y}’=\frac{3}{2}.{{\left( 4{{x}^{2}}+3x+1 \right)}^{\prime }}\sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}=\frac{3}{2}.\left( 8x+3 \right).\sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}$.
Câu 13:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{-\sqrt{2}}}$.
Lời giải
+ Tập xác định: $D=\left( 0;+\infty \right)$.
+ Giới hạn: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{\sqrt{2}}}}=+\infty $.
Đồ thị hàm số nhận trục $Oy$ ($x=0$) là đường tiệm cận đứng.
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{\sqrt{2}}}}=0$.
Đồ thị hàm số nhận trục $Ox$ ($y=0$) là đường tiệm cận ngang.
+ ${y}’=-\sqrt{2}.{{x}^{-\sqrt{2}-1}}<0\,\,,\forall x\in D$.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
+ Bảng biến thiên:
+ Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 1;1 \right)$.
Câu 14:
Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt[4]{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+2}}$.
Lời giải
+ Ta có $\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+2}>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
+ $y={{\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+2} \right)}^{\frac{1}{4}}}={{\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}+2} \right)}^{\frac{1}{4}}}$.
Do đó: ${y}’=\frac{1}{4}{{\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}+2} \right)}^{\frac{1}{4}-1}}{{\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}+2} \right)}^{\prime }}$$=\frac{1}{4}{{\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}+2} \right)}^{\frac{-3}{4}}}\frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}}$.
$=\frac{1}{2}{{\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+2} \right)}^{\frac{-3}{4}}}\frac{x}{{{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}}$ $=\frac{x}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{3}{4}}}{{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{\frac{5}{4}}}}$$=\frac{x}{2\sqrt[4]{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{5}}}}$.
Câu 15:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={{\left( x-2 \right)}^{-4}}$.
Lời giải
+ Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
+ Giới hạn:
$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=0$. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=0$ làm đường tiệm cận ngang.
$\underset{x\to {{2}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=2$ làm đường tiệm cận đứng.
+ Bảng biến thiên:
$y’=-4.{{\left( x-2 \right)}^{-5}}$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$.
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm $A\left( 0;\frac{1}{16} \right),B\left( 1;1 \right),C\left( 3;1 \right)$ và nhận đường thẳng $x=2$ làm trục đối xứng.
+ Đồ thị:
Xem thêm: