Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết và bài tập của hàm số lượng giác rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các phương pháp giải toán hàm số lượng giác lớp 11 cũng như giải bài tập hàm số lượng giác lớp 11 bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Để có thể làm được các bài tập về các dạng của hàm số lượng giác một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
Công thức lượng giác
Công thức cơ bản: Cung đối nhau
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1$ $\sin \left( -x \right)=-\sin x$
${{\tan }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ $\cos \left( -x \right)=\cos x$
${{\cot }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ $\tan \left( -x \right)=-\tan x$
Công thức cộng: Cung bù nhau:
$\sin \left( x\pm y \right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$ $\sin x=\sin \left( \pi -x \right)$
$\cos \left( x\pm y \right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$ $\cos x=-\cos \left( x-\pi \right)$
$\tan \left( x\pm y \right)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$ $\tan x=\tan \left( x-\pi \right)$
Công thức đặc biệt:
$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)$
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$
Góc nhân đôi: Góc chia đôi:
$\sin 2x=2\sin x\cos x$ ${{\sin }^{2}}x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x \right)$
$\cos 2x=2{{\cos }^{2}}x-1=1-2{{\sin }^{2}}x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x$ ${{\cos }^{2}}x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x \right)$
Góc nhân ba: Góc chia ba:
$\sin 3x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x$ ${{\sin }^{3}}x=\frac{1}{4}\left( 3\sin x-\sin 3x \right)$
$\cos 3x=4{{\cos }^{3}}x-3\cos x$ ${{\cos }^{3}}x=\frac{1}{4}\left( 3\cos x+\cos 3x \right)$
$\tan 3x=\frac{3\tan x-{{\tan }^{3}}x}{1-3{{\tan }^{2}}x}$
Biến đổi tích thành tổng: Biến đổi tổng thành tích:
$\cos x\cos y=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( x-y \right)+\cos \left( x+y \right) \right]$ $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
$\sin x\sin y=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( x-y \right)-\cos \left( x+y \right) \right]$ $\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$
$\sin x\cos y=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( x-y \right)+\sin \left( x+y \right) \right]$ $\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
$\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$
1) Hàm số $y=\operatorname{s}\text{inx}:$
- Có tập xác định là $\mathbb{R}$.
- Có tập giá trị là $\left[ -1;1 \right]$.
- Là hàm số lẻ.
- Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
- Có đồ thị là một đường hình sin.
- Tuần hoàn với chu kì $2\pi $.
- Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right),k\in \mathbb{Z}$.
- Nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right),k\in \mathbb{Z}$.
- Bảng biến thiên của hàm số $y=\operatorname{s}\text{inx}$ trên đoạn $\left[ -\pi ;\pi \right]$ như sau:
- Đồ thị hàm số:
2) Hàm số $y=\cos x$:
- Có tập xác định là $\mathbb{R}$.
- Là hàm số chẵn.
- Là một đường hình sin.
- Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;k2\pi \right),k\in \mathbb{Z}$.
- Nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( k2\pi ;\pi +k2\pi \right),k\in \mathbb{Z}$.
- Bảng biến thiên của hàm số $y=\cos x$ trên $\left[ -\pi ;\pi \right]$, ta có như sau:
- Đồ thị hàm số $y=\cos x$, ta có như sau:
3) Hàm số $y=\tan x$:
- Có tập xác định ${{D}_{1}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}$
- Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi $
- Có tập giá trị là $\mathbb{R}$
- Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ làm một đường tiệm cận
4) Hàm số $y=\cot x$:
- Có tập xác định: ${{\text{D}}_{2}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}$
- Là hàm số lẻ
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi $
- Có tập giá trị là $\mathbb{R}$
- Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( k\pi ;\pi +k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$
- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng $x=k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ làm một đường tiệm cận.
Xem thêm: Một số phương trình lượng giác thường gặp và bài tập mẫu
II. BÀI TẬP MẪU VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của tìm hàm số lượng giác lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập hàm số lượng giác để có thể hiểu rõ hơn chương hàm số lượng giác này ngay bên dưới đây:
DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) $y=\frac{1-2{{x}^{2}}}{1-\cos 2x}$ b) $y=\cos \frac{3x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ c) $y=\sqrt{2-2\sin x}$ d) $y=\sqrt{\sin x-1}$ e) $y=\sqrt{\frac{1-\text{cos}x}{1+\text{cos}x}}$. f) $y=\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$ g) $y=\cot \left( \frac{\pi }{4}-2x \right)-\frac{2}{1-\text{cos}x}$.
Lời giải
a) Hàm số xác định khi: $1-\cos 2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne 1\Leftrightarrow 2x\ne k2\pi \Leftrightarrow x\ne k\pi $
Vậy TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \,;k\in \mathbb{Z} \right\}$.
b) Hàm số xác định khi: ${{x}^{2}}-1>0\Leftrightarrow x>1\,\vee \,x<-1$
Vậy TXĐ:$\text{D}=\,\left( -\infty \,;-1 \right)\,\cup \left( 1\,;+\infty \right)$.
c) Hàm số xác định khi: $2-2\sin x\ge 0\Leftrightarrow \sin x\le 1$: luôn đúng $\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow \text{D}=\mathbb{R}$.
d) Hàm số xác định khi: $\sin x\ge 1$$\left( 1 \right)$. Mặt khác: $\sin x\le 1$ $\forall x\in \mathbb{R}$$\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra:$\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi $. Vậy TXĐ: $\text{D=}\left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi \,;\,k\in \mathbb{Z} \right\}$
e) $y=\sqrt{\frac{1-\text{cos}x}{1+\text{cos}x}}$: TXĐ: $\left\{ \begin{align}& \frac{1-\text{cos}x}{1+\text{cos}x}\ge 0 \\& 1+\text{cos}x\ne 0 \\\end{align} \right.\,\,\,\left( * \right)$
Ta có: $-1\le \text{cos}x\le 1,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 1-\text{cos}x\ge 0 \\& 1+\text{cos}x\ge 0 \\\end{align} \right.,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow 1+\text{cos}x\ne 0\Leftrightarrow \text{cos}x\ne -1\Leftrightarrow x\ne \pi +k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$
Do đó tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pi +k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
f) $y=\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$
TXĐ:$\text{cos}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)\ne 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$
Do đó tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
g) $y=\cot \left( \frac{\pi }{4}-2x \right)-\frac{2}{1-\text{cos}x}$
TXĐ: $\left\{ \begin{align}& \sin \left( \frac{\pi }{4}-2x \right)\ne 0 \\& 1-\text{cos}x\ne 0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{\pi }{4}-2x\ne k\pi \\& \text{cos}x\ne 1 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ne \frac{\pi }{8}-k\frac{\pi }{2} \\& x\ne k2\pi \\\end{align} \right.$.
Do đó tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{8}-k\frac{\pi }{2},\,k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
DẠNG 2. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
a) $y=\operatorname{sinx}$trên $\left( -\frac{\pi }{4};\,\,\,\frac{\pi }{3} \right)$ b) $y=\cos x$ trên $\left( \frac{\pi }{3};\,\,\,\frac{3\pi }{2} \right)$
c) $y=\cot \left( x-\frac{\pi }{6} \right)$ trên $\left( -\frac{3\pi }{4};\,\,\,-\frac{\pi }{2} \right)$ d) $y=\tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)$ trên $\left( -\frac{\pi }{4};\,\,\,\frac{\pi }{2} \right)$
Bài giải
a) $y$ đồng biến trên $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3} \right)$ .
b) $y$ nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{3};\pi \right)$ , đồng biến trên $\left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$.
c) $x\in \left( -\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow x-\frac{\pi }{6}\in \left( -\frac{11\pi }{12};-\frac{2\pi }{3} \right)$ . Suy ra $y$ nghịch biến trên $\left( -\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2} \right)$.
d) $x\in \left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow x+\frac{\pi }{3}\in \left( \frac{\pi }{12};\frac{5\pi }{6} \right)$.
$y$ đồng biến trên $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{6} \right)$ , nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right)$ và không xác định tại $x=\frac{\pi }{6}$.
DẠNG 3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) $y=2x\sin x.$ b) $y=\cos x+\sin 2x.$
c) $y=\frac{\cos 2x}{x}.$ d) $y={{\tan }^{7}}2x.\sin 5x.$
Lời giải:
a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,\,\,\left( 1 \right).$
Đặt $y=f\left( x \right)=2x\sin x.$
NX: $\forall x\in D$, $f\left( -x \right)=2\left( -x \right)\sin \left( -x \right)=2x\sin x=f\left( x \right)\,\,\,\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta kết luận hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Đặt $y=f\left( x \right)=\cos x+\sin 2x.$
Xét $x=\frac{\pi }{3}\in D\,\Rightarrow \,-x=-\frac{\pi }{3}\in D$.
$f\left( \frac{\pi }{3} \right)=c\text{os}\frac{\pi }{3}+\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f\left( -\frac{\pi }{3} \right)=c\text{os}\left( -\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left( -\frac{2\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ta thấy $f\left( \frac{\pi }{3} \right)\ne f\left( -\frac{\pi }{3} \right)$ nên hàm số đã cho không là hàm số chẵn
Và $-f\left( \frac{\pi }{3} \right)\ne f\left( -\frac{\pi }{3} \right)$ nên hàm số đã cho không là hàm số lẻ.
c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$là tập đối xứng do đó$\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Đặt $y=f\left( x \right)=\frac{\cos 2x}{x}.$
Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x \right)=\frac{\text{cos}\left( -2x \right)}{-x}=-\frac{\text{cos}\left( 2x \right)}{x}=-f\left( x \right).$
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z} \right\}$là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Đặt $y=f\left( x \right)={{\tan }^{7}}2x.\sin 5x.$
Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x \right)={{\tan }^{7}}\left( -2x \right)\sin \left( -5x \right)={{\tan }^{7}}\left( 2x \right)\sin \left( 5x \right)=f\left( x \right).$
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Chú ý: Đôi khi người ta còn phát biểu bài toán dưới dạng:
Với câu a) Chứng minh đồ thị hàm số $y=2x\sin x$ nhận trục tung làm trục đối xứng.
Với câu c) Chứng minh đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
DẠNG 4. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Cho hàm số $y=4\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\cos \left( x-\frac{\pi }{6} \right)-\sin 2x$. Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của hàm số đã cho?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$ và $\left( \frac{3\pi }{4};\pi \right)$.
B. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 0;\pi \right)$.
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{3\pi }{4} \right)$.
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$ và nghịch biến trên khoảng$\left( \frac{\pi }{4};\pi \right)$.
Lời giải
Ta có $y=4\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\cos \left( x-\frac{\pi }{6} \right)-\sin 2x$ =$2\left( \sin 2x+\sin \frac{\pi }{3} \right)-\sin 2x=\sin 2x+\sqrt{3}$. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\sin 2x+\sqrt{3}$,
Xét: Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$ và $\left( \frac{3\pi }{4};\pi \right)$, đúng $\Rightarrow $ chọn
Vì: $x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow 2x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right);x\in \left( \frac{3\pi }{4};\pi \right)\Rightarrow 2x\in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ nên hàm số$y=\sin x+\sqrt{3}$ đồng biến
Xét: Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 0;\pi \right)$, sai $\Rightarrow $ loại
Vì: $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow 2x\in \left( 0;2\pi \right)$ hàm số không thảo mãn luôn đồng biến
Xét: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{3\pi }{4} \right)$,sai $\Rightarrow $ loại
Vì: $x\in \left( 0;\frac{3\pi }{4} \right)\Rightarrow 2x\in \left( 0;\frac{3\pi }{2} \right)$không thảo mãn hàm số luôn nghịch biến
Xét: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$, đúng
Và hàm số nghịch biến trên khoảng$\left( \frac{\pi }{4};\pi \right)$, sai
Nên mệnh đề trên sai $\Rightarrow $ loại
Vì: $x\in \left( \frac{\pi }{4};\pi \right)\Rightarrow 2x\in \left( \pi ;2\pi \right)$ không thỏa mãn hàm số luôn nghịch biến
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
DẠNG 5. TẬP GIÁ TRỊ, MIN_MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) $y=4-2\cos 2x$.
b) $y=\sqrt{3+{{\sin }^{2018}}x}$.
c)$y=\sin x-\cos x+3$.
d) $y={{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x+5$
e) $y=4{{\cos }^{2}}x-4\cos x+3$ với $x\in \left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$
f) $y=\cos 2x+5\sin x+2$ với $x\in \left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$
Lời giải
a) $y=4-2\cos 2x$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-1\le \cos 2x\le 1\Leftrightarrow 2\ge -2\cos 2x\ge -2\Leftrightarrow 6\ge 4-2\cos 2x\ge 2$.
Ta có $y=6$ khi $\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi $ và
$y=2$ khi $\cos 2x=1\Leftrightarrow 2x=k2\pi ,\,\,\left( k\in Z \right)\Leftrightarrow x=k\pi $.
Vậy $\max y=6$ khi $x=\frac{\pi }{2}+k\pi $ và $\min y=2$ khi $x=k\pi $.
b) $y=\sqrt{3+{{\sin }^{2018}}x}$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì
$-1\le \sin x\le 1\Rightarrow 0\le {{\sin }^{2018}}x\le 1\Leftrightarrow 3\le 3+{{\sin }^{2018}}x\le 4\Leftrightarrow \sqrt{3}\le \sqrt{3+{{\sin }^{208}}x}\le 2$.
Ta có $y=\sqrt{3}$ khi $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ và $y=2$ khi $\sin x=\pm 1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Vậy $\max y=2$ khi $x=\frac{\pi }{2}+k\pi $ và $\min y=\sqrt{3}$ khi $x=k\pi $.
c) $y=\sin x-\cos x+3$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-\sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}\le \sin x-\cos x\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}$
$\Leftrightarrow -\sqrt{2}+3\le \sin x-\cos x+3\le \sqrt{2}+3$.
Ta có $y=-\sqrt{2}+3$ khi $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ và $y=\sqrt{2}+3$ khi $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Vậy $\min y=-\sqrt{2}+3$ khi $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$, $\max y=\sqrt{2}+3$ khi $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
d) TXĐ: $\mathbb{R}$.
Ta có $y=\sin 2x-\cos 2x+5$ hay $y=\sqrt{2}\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)+5$
$\begin{align}& \forall x\in \mathbb{R},\,\,-1\le \sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)\le 1 \\& \Leftrightarrow \forall x\in \mathbb{R},\,\,5-\sqrt{2}\le \sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)+5\le 5+\sqrt{2} \\\end{align}$
Ta có $\left\{ \begin{align}& y\ge 5-\sqrt{2},\,\forall x\in \mathbb{R} \\& y\left( -\frac{\pi }{8} \right)=5-\sqrt{2} \\\end{align} \right.$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là $5-\sqrt{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{align}& y\le 5+\sqrt{2},\,\forall x\in \mathbb{R} \\& y\left( \frac{3\pi }{8} \right)=5+\sqrt{2} \\\end{align} \right.$ nên giá trị lớn nhất của hàm số là $5+\sqrt{2}$.
e) Đặt $t=\cos x$. Với $\frac{\pi }{3}\le x\le \frac{5\pi }{6}$ ta có $\frac{-\sqrt{3}}{2}\le t\le \frac{1}{2}$
Khi đó ta có $y=f\left( t \right)=4{{t}^{2}}-4t+3$ , $\frac{-\sqrt{3}}{2}\le t\le \frac{1}{2}$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$ là $6+2\sqrt{3}$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$ là $2$.
f) Ta có $y=-2{{\sin }^{2}}x+5\sin x+3$.
Đặt $t=\sin x$. Với $\frac{\pi }{3}\le x\le \frac{5\pi }{6}$ ta có $\frac{1}{2}\le t\le 1$ .
Khi đó ta có $y=f\left( t \right)=-2{{t}^{2}}+5t+3$ , $\frac{1}{2}\le t\le 1$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$ là $6$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$ là $5$.
DẠNG 6. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A$,$B$,$C$,$D$. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y=1-\sin x$ B. $y=\cos x$ C. $y=\sin x$ D. $y=1+\sin x$
Lời giải
+ Chọn $x=\pi $ nhìn vào đồ thị ta được $y=-1$. Thay $x=\pi $vào lần lượt các phương án ta loại C và D
+ Chọn $x=\frac{3\pi }{2}$nhìn vào đồ thị ta được $y=0$. Thay $x=\frac{3\pi }{2}$vào phương án A ta nhận được $y=2$
Þ loại A nên do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là B.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài bài tập về phương pháp giải toán hàm số lượng giác hay giải bài tập hàm số lượng giác lớp 11 mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm:
