Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay đó chính là hàm số liên tục lớp 11 đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về lý thuyết và bài tập mẫu hàm số liên tục trên r, hàm số liên tục tại 1 điểm, chứng minh hàm số liên tục, tìm m để hàm số liên tục, tìm a để hàm số liên tục bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa 1.
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $K$ và ${{x}_{0}}\in K$.
-Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục tại ${{x}_{0}}$ nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$.
-Hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại ${{x}_{0}}$ ta nói hàm số gián đoạn tại ${{x}_{0}}$.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
Định nghĩa 2.
-Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
-Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$ nếu nó liên tục trên $\left( a\,;\,b \right)$ và $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a)$, $\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)$.
3. Các định lý cơ bản
Định lý 1.
a)Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập $\mathbb{R}$.
b)Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lý 2.
Cho các hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục tại ${{x}_{0}}$. Khi đó:
a)Các hàm số$y=f(x)+g(x)$, $y=f(x)-g(x)$, $y=f(x).g(x)$ liên tục tại x0.
b)Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại ${{x}_{0}}$ nếu $g({{x}_{0}})\ne 0$.
Định lý 3. Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$ và $f(a).\,f(b)<0$ thì tồn tại ít nhất một số $c\in \left( a;\,b \right)$ sao cho $f(c)=0$.
Chú ý: Ta có thể phát biểu định lý 3 theo cách khác như sau:
Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$ và $f(a).\,f(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( a;\,b \right)$.
II. BÀI TẬP MẪU VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm ${{x}_{0}}$.
a. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}-25}{x-5}khix\ne 5 \\ & 9khix=5 \\\end{align} \right.$ Tại ${{x}_{0}}=5~$
b. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}khix\ne 2 \\ & 1khix=2 \\\end{align} \right.$ Tại ${{x}_{0}}=2~$
c. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}khix\ne 2\, \\ & \frac{3}{4}\,khix=2 \\\end{align} \right.$Tại ${{x}_{0}}=2~$
d. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-1khix\le -1 \\ & 3x+2khix>-1 \\\end{align} \right.$ Tại ${{x}_{0}}=-1~$
Lời giải
a. $\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-25}{x-5}=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\left( x+5 \right)=10\ne 9=f\left( 5 \right)$
Vậy hàm số không liên tục tại ${{x}_{0}}=5~$.
b. $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\sqrt{2x-3} \right)\left( 1+\sqrt{2x-3} \right)}{\left( 2-x \right)\left( 1+\sqrt{2x-3} \right)}$
$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-2x}{\left( 2-x \right)\left( 1+\sqrt{2x-3} \right)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{\left( 1+\sqrt{2x-3} \right)}=1=f\left( 2 \right)$
Vậy hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=2~$.
c. $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt[3]{3x+2}-2 \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+{{2}^{2}} \right)}{\left( x-2 \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+{{2}^{2}} \right)}$
$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-6}{\left( x-2 \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+{{2}^{2}} \right)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{\left( \sqrt[3]{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+{{2}^{2}} \right)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\ne \frac{3}{4}=f\left( 2 \right)$
Vậy hàm số không liên tục tại ${{x}_{0}}=2~$.
d. $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-1 \right)=1;\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x+1 \right)=-2$
Vậy hàm số không liên tục tại ${{x}_{0}}=-1~$
Bài tập 2: Tìm a đề hàm số liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$.
a. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{x+2}-2}{{{x}^{2}}-4}khix\ne 2 \\ & akhix=2 \\\end{align} \right.$ Tại ${{x}_{0}}=2~$
b. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x-1}khix<1 \\ & a+\frac{4-x}{x+2}khix\ge 1 \\\end{align} \right.$ Tại ${{x}_{0}}=1~$
c. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \text{a}{{\text{x}}^{2}}+\frac{2}{3}khix\le 2 \\ & \frac{\sqrt[3]{4x}-2}{{{x}^{2}}-3x+2}khix>2 \\\end{align} \right.$ Tại ${{x}_{0}}=2~$
d. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \text{ax}+\frac{1}{4}khix\le 2 \\ & \frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}khix>2 \\\end{align} \right.$ Tại ${{x}_{0}}=2~$
Lời giải
a. $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2}-2}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{\left( \sqrt{x+2}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt{x+2}+2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{1}{16}$.
Để hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=2$ thì $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f\left( 2 \right)=a\Leftrightarrow a=\frac{1}{16}$
b. $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x-1}=-\infty $
Như vậy không tồn tại giá trị nào của a để hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=1$
c. Có $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( a{{x}^{2}}+\frac{2}{3} \right)=4a+\frac{2}{3}$.
$\begin{align} & \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{{{x}^{2}}-3x+2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt[3]{4x}-2 \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( 4x \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)}{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( 4x \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)} \\ & =\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x-8}{\left( \sqrt[3]{{{\left( 4x \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{\left( \sqrt[3]{{{\left( 4x \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{4x}+4 \right)\left( x-1 \right)}=\frac{1}{3} \\\end{align}$
Để hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=2$ thì $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 4a+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=-\frac{1}{12}$.
d. $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( ax+\frac{1}{4} \right)=2a+\frac{1}{4}$
$\begin{align} & \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt[3]{3x+2}-2 \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)} \\ & =\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-6}{\left( \sqrt[3]{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)\left( x-2 \right)}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{\left( \sqrt[3]{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}+2.\sqrt[3]{3x+2}+4 \right)}=\frac{1}{4} \\\end{align}$
Để hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=2$ thì $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 2a+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=0$.
Xem thêm: Tổng hợp các dạng bài tập giới hạn của dãy số có lời giải
Bài tập 3: Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục tại $x=1$
Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& \frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{{{(x-1)}^{2}}}\text{ }khi\text{ }\,x\ne 1 \\& \text{2019}m\text{ }khi\text{ }x=1 \\\end{align} \right.$ liên tục tại $x=1$?
Lời giải
Hàm số xác định tại $x=1$.
Ta có $f(1)=2019m$. Tính $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{{{(x-1)}^{2}}}$.
Đặt $t=x-1$ thì $x=t+1$, $x\to 1$ thì $t\to 0$
$\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{{{(x-1)}^{2}}}=\frac{\sqrt[3]{6t+1}-\sqrt{4t+1}}{{{t}^{2}}}=\frac{\sqrt[3]{6t+1}-(2t+1)}{{{t}^{2}}}+\frac{(2t+1)-\sqrt{4t+1}}{{{t}^{2}}}$.
$=\frac{6t+1-(8{{t}^{3}}+12{{t}^{2}}+6t+1)}{{{t}^{2}}\left[ \sqrt[3]{{{(6t+1)}^{2}}}+(2t+1)\sqrt[3]{6t+1}+{{(2t+1)}^{2}} \right]}+\frac{(4{{t}^{2}}+4t+1)-(4t+1)}{{{t}^{2}}(2t+1+\sqrt{4t+1})}$.
$=\frac{-8t-12}{\left[ \sqrt[3]{{{(6t+1)}^{2}}}+(2t+1)\sqrt[3]{6t+1}+{{(2t+1)}^{2}} \right]}+\frac{4}{(2t+1+\sqrt{4t+1})}$.
Vậy $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{{{(x-1)}^{2}}}=$ $\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-8t-12}{\left[ \sqrt[3]{{{(6t+1)}^{2}}}+(2t+1)\sqrt[3]{6t+1}+{{(2t+1)}^{2}} \right]}+\frac{4}{(2t+1+\sqrt{4t+1})} \right)=-2$.
Để hàm số liên tục tại $x=1$ khi $f(1)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{6x-5}-\sqrt{4x-3}}{{{(x-1)}^{2}}}$$\Leftrightarrow 2019m=-2$$\Leftrightarrow m=\frac{-2}{2019}$.
Bài tập 4: Chứng minh rằng hàm số sau liên tục trên$\mathbb{R}$.
a. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{3}}+1}khix\ne -1 \\ & \frac{4}{3}khix=-1 \\\end{align} \right.$
b. $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{3}{2}khix\le 0 \\ & \frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}khix>0 \\\end{align} \right.$
Lời giải
a, Hàm số $f(x)=\frac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{3}}+1}$ xác định với mọi $x\ne -1\Rightarrow $ hàm $f(x)$ liên tục với mọi $x\ne -1$.
Có $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{3}}+1}=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)} \right)=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)} \right)=\frac{4}{3}=f\left( -1 \right)$
$\Rightarrow $ Hàm số liên tục tại $x=-1$.
Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
b, Hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}$ xác định với mọi $x\ge -1;x\ne 0$$\Rightarrow $ hàm $f(x)$ liên tục với mọi $x\ge -1;x\ne 0$.
Có $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+1 \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}{\left( \sqrt{x+1}+1 \right)\left( \sqrt[3]{x+1}-1 \right)\left( \sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}$$=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}{\left( \sqrt{x+1}+1 \right)x}=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f\left( 0 \right)=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow $ Hàm số liên tục tại $x=0$.
Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Bài tập 5: Xét tính liên tục của hàm số
Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}+x+1\text{ khi }x\ge 1 \\& 2x+4\text{ khi }x<1 \\\end{align} \right.$ trên tập xác định của nó.
Lời giải
+ TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có:
+ Trên khoảng $(-\infty ;1)$: $f\left( x \right)=2x+4$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $(-\infty ;1)$.
+ Trên khoảng $(1;+\infty )$: $f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+1$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $(1;+\infty )$.
+ Tại điểm${{x}_{0}}=1$, ta có: $f(1)={{1}^{3}}+1+1=3$;
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x+4)=6$
$\underset{x\to 1+}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{3}}+x+1)=3$
Vì $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)$. Vậy hàm số không liên tục tại điểm ${{x}_{0}}=1$. Tóm lại $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$và $(1;+\infty )$ và gián đoạn tại điểm ${{x}_{0}}=1.$
Bài tập 6: Chứng minh rằng
Chứng minh rằng phương trình ${{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=0$ có đúng 5 nghiệm.
Lời giải
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1$.
+ Hàm số $f\left( x \right)={{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)-1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có $f\left( -2 \right)=-1\,<0$, $f\left( -\frac{3}{2} \right)=\frac{105}{32}-1=\frac{73}{32}>0$, $f\left( -1 \right)=-1<0$, $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{45}{32}-1=\frac{13}{32}>0$, $f\left( 1 \right)=-1<0$, $f\left( 3 \right)=119>0$.
Vì $f\left( -2 \right).\,f\left( -\frac{3}{2} \right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$.
Vì $f\left( -\frac{3}{2} \right).\,f\left( -1 \right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -\frac{3}{2};-1 \right)$.
Vì $f\left( -1 \right).\,f\left( \frac{1}{2} \right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;\frac{1}{2} \right)$.
Vì $\,f\left( \frac{1}{2} \right).f\left( 1 \right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( \frac{1}{2};1 \right)$.
Vì $\,f\left( 1 \right).f\left( 3 \right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;3 \right)$
Do các khoảng $\left( -2;-\frac{3}{2} \right)$; $\left( -\frac{3}{2};-1 \right)$; $\left( -1;\frac{1}{2} \right)$; $\left( \frac{1}{2};1 \right)$; $\left( 1;3 \right)$ không giao nhau nên phương trình có ít nhất 5 nghiệm.
Mà phương trình đã cho là phương trình bậc 5 có không quá 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.
Bài tập 7: Chứng minh rằng
Chứng minh rằng phương trình $\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{3}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}-4x+{{m}^{2}}+1=0$ luôn có 3 nghiệm.
Lời giải
Đặt $f\left( x \right)=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{3}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}-4x+{{m}^{2}}+1$.
+ Hàm số $f\left( x \right)=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{3}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}-4x+{{m}^{2}}+1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
+ Ta có: $f\left( x \right)={{m}^{2}}\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1 \right)+{{x}^{3}}-4x+1$
$f\left( -3 \right)=-44{{m}^{2}}-14<0;\,\,\forall m$
$f\left( 0 \right)={{m}^{2}}+1>0,\forall m\,$
$f\left( 1 \right)=-2$
$f\left( 2 \right)={{m}^{2}}+1>0\,;\,\,\forall m$
Vì $f\left( -3 \right).\,f\left( 0 \right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -3;0 \right)$.
Vì $f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$.
Vì $f\left( 1 \right).\,f\left( 2 \right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;2 \right)$.
Vậy phương trình $\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{3}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}-4x+{{m}^{2}}+1=0$ có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng $\left( -3;2 \right)$, mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm.
Bài tập 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.
a. $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với $a+2b+5c=0$.
b. $a\left( x-b \right)\left( x-c \right)+b\left( x-c \right)\left( x-a \right)+c\left( x-a \right)\left( x-b \right)=0$ ( với a,b,c là các số dương)
Lời giải
a. Hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ liên tục với mọi x thuộc $\mathbb{R}$.
$f\left( 0 \right)=c;f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c$
$\Rightarrow f\left( 0 \right).4f\left( \frac{1}{2} \right)=c+a+2b+4c=a+2b+5c=0$
Nếu $f\left( 0 \right)=0$ hoặc $f\left( \frac{1}{2} \right)=0$ thì PT đã cho có nghiệm.
Nếu $f\left( 0 \right)\ne 0$ hoặc $f\left( \frac{1}{2} \right)\ne 0$ thì từ $f\left( 0 \right).4f\left( \frac{1}{2} \right)=0\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( \frac{1}{2} \right)<0$
$\Rightarrow $ PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{1}{2} \right)$.
$\Rightarrow $ PT luôn có nghiệm.
b. Không giảm tổng quát ta xét $0<a<b<c$.
Hàm số $f\left( x \right)=a\left( x-b \right)\left( x-c \right)+b\left( x-c \right)\left( x-a \right)+c\left( x-a \right)\left( x-b \right)$
Khi đó ta có:
$\begin{align} & f\left( a \right)=a\left( a-b \right)\left( a-c \right)>0 \\ & f\left( b \right)=b\left( b-a \right)\left( b-c \right)\le 0 \\ & \Rightarrow f\left( a \right)f\left( b \right)\le 0\Rightarrow \exists {{x}_{0}}\in \left[ a;b \right]:f\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\\end{align}$
$\Rightarrow $ PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( a;b \right)$.
$\Rightarrow $ PT luôn có nghiệm.
Xem thêm:
