Lý thuyết và bài tập về hai đường thẳng song song

Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của hai đường thẳng song song lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về chứng minh hai đường thẳng song song cũng như hai đường thẳng song song khi nào lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 nhé!

I. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP VỊ TỰ

Để có thể làm được lý thuyết bài tập như chứng minh hai đường thẳng song song hay hai đường thẳng song song lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất về phép vị tự là gì của dạng này như sau:

1. Định nghĩa hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong 1 mặt phẳng.

Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nêu chúng không đồng phẳng.

Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung $$.

hai đường thẳng song song

Ký hiệu: $a//b$

2. Tính chất

3. Định lý 1: $\left\{ \begin{align}& a\text{//}c \\& b\text{//}c \\\end{align} \right.$$\Rightarrow a\text{//b}$.

4. Định lý 2: (Định lý giao tuyến)

hai đường thẳng song song

$\left\{ \begin{align}& a\subset \left( P \right),b\subset \left( Q \right) \\& a\text{//}b \\& \left( P \right)\cap \left( Q \right)=c \\\end{align} \right.$$\Rightarrow c\text{//a//}b$.

DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1. Tính chất đường trung bình

hai đường thẳng song song

$M$, $N$ là trung điểm của $AB$,$AC$. Khi đó $MN\text{//}=\frac{1}{2}BC$.

2. Định lý Ta-lét

hai đường thẳng song song

$MN\text{//}BC\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.

3. Tính chất cạnh đối của hình bình hành

hai đường thẳng song song

Hai phương pháp để chứng minh tứ giác là hình bình hành:

*) Chứng minh: $\left\{ \begin{align}& AB\text{//}CD \\& AB=CD \\\end{align} \right.$.

*) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

DẠNG 2. TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Có 2 phương pháp tìm giao tuyến $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

hai đường thẳng song song

+ Tìm 2 điểm chung.

+ Tìm bằng định lý giao tuyến

$\left\{ \begin{align}& a\subset \left( P \right),\,b\subset \left( Q \right) \\& a//b \\& \left( P \right)\cap \left( Q \right)=c \\\end{align} \right.$$\Rightarrow c//a//b$.

Bài toán tổng quát: Dựng $\left( P \right)$ qua $M$ và $//a,\,b$.

hai đường thẳng song song

+ Qua $M$ dựng ${a}’//a$ <Đúng + Đủ>

+ Qua $M$ dựng ${b}’//b$ <Đúng + Đủ>

$\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( {a}’,\,{b}’ \right)$.

DẠNG 3. THIẾT DIỆN CHỨA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG KHÁC

Thiết diện của mặt phẳng $\left( P \right)$ với chóp

hai đường thẳng song song

+ Thiết diện là một đa giác phẳng khép kín

Tìm thiết diện bằng cách tìm giao tuyến với mặt bên, mặt đáy

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập về hai mặt phẳng song song

II. BÀI TẬP MẪU VỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 

Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng cũng như tính chất hai đường thẳng song song lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập về hai đường thẳng song song lớp 11 có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:

DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N,P,Q$ là các điểm lần lượt trên $BC,$$SC,$$SD,$$AD$ sao cho $MN$//$BS,$$NP$//$CD,$$MQ$//$CD.$

a) Chứng minh: $PQ$//$SA$.

b) Gọi $K$ là giao điểm của $MN$ và $PQ$. Chứng minh $SK$//$AD$//$BC$.

Lời giải

hai đường thẳng song song

a) Chứng minh: $PQ$//$SA$.

Xét tam giác $SCD$. Ta có: $NP//CD$$\Rightarrow \frac{NP}{DS}=\frac{CN}{CS}\text{   }\left( 1 \right)$

Tương tự: $MN//SB\Rightarrow \frac{CN}{CS}=\frac{CM}{CB}\text{    }\left( 2 \right)$

Tương tự: $MQ//CD\Rightarrow \frac{CM}{CB}=\frac{DQ}{DA}\text{   }\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ suy ra $\frac{DP}{DS}=\frac{DQ}{DA}$

Vậy: $PQ//SA$.

b) Chứng minh $SK$//$AD$//$BC$.

Ta có: $\left\{ \begin{align}& BC//AD \\& BC\subset \left( SBC \right) \\& AD\subset \left( SAD \right) \\& S\in \left( SBC \right)\cap \left( SAD \right) \\\end{align} \right.$$\Rightarrow $ giao tuyến là đường thẳng $St$ qua $S$ song song $BC$ và $AD$

Mà $K\in \left( SBC \right)\cap \left( SAD \right)\Rightarrow K\in St\Rightarrow SK//AD//BC$

Bài tập 2: Tứ diện $ABCD$. $M,N,P,Q,R,S$ là trung điểm $AB$, $CD$,$BC$, $AD$, $AC$, $BD$. Chứng minh $MN,PQ,RS$ đồng quy tại $\frac{1}{2}$mỗi đường.

Lời giải

*) $\Delta ABC$: $MP$ là đường trung bình$\Rightarrow MP\text{//}AC$, $MN\text{=}\frac{1}{2}AC$ $\left( 1 \right)$.

*) $\Delta ACD$: $NQ$ là đường trung bình$\Rightarrow NQ\text{//}AC$, $NQ\text{=}\frac{1}{2}AC$ $\left( 2 \right)$.

*) Từ (1) và (2) $\Rightarrow MP\text{//}=NQ\Rightarrow MPNQ$ là hình bình hành.

$\Rightarrow MN,PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (3).

*) $\Delta ABC$: $PR$ là đường trung bình$\Rightarrow PR\text{//}AB$, $PR=\frac{1}{2}AB$ $\left( 4 \right)$.

*) $\Delta ABD$: $QS$ là đường trung bình$\Rightarrow QS\text{//}AB$, $QS\text{=}\frac{1}{2}AB$ $\left( 5 \right)$.

*) Từ (4) và (5) $\Rightarrow PR\text{//}=QS\Rightarrow PRQS$ là hình bình hành.

$\Rightarrow RS,PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (6).

Từ (5) và (6) suy ra $MN,PQ,RS$ đồng quy tại $\frac{1}{2}$mỗi đường.

Bài tập 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác lồi. Gọi $M,N$ là trọng tâm tam giác $SAB$ và $SAD$. $E$ là trung điểm $CB.$

a) Chứng minh rằng $MN$//$BD$

b) Gọi $L,H$ là giao điểm của $\left( MNE \right)$ với $SD$ và $SB$. Chứng minh rằng $LH$//$BD$.

Lời giải

hai đường thẳng song song

a) Gọi $Q$ là trung điểm $SA$

Xét $\Delta QBD$ có $\frac{QN}{QD}=\frac{QM}{QB}=\frac{1}{3}$ ( tính chất của trọng tâm tam giác)

Vậy $MN//BD$

b) Dựng $EK//MN\Rightarrow \left( MNE \right)\equiv \left( MNKE \right)$

Tìm $L=\left( MNE \right)\cap SD$, $SB\subset \left( SAD \right)$, gọi $F=AD\cap KE,\left( MNKE \right)\cap \left( SAD \right)=MP$

$\Rightarrow H=MP\cap SB$

Ta có: $MN\subset \left( MNE \right);BD\subset \left( SBD \right)$ và $MN//BD$ mà $\left( MNE \right)\cap \left( SBD \right)=LH\Rightarrow LH//BD//MN$

DẠNG 2. TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$, điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$.

1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$.

2) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MBC \right)$ và $\left( SAD \right)$.

3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MEF \right)$ và $\left( SAC \right)$.

Lời giải

hai đường thẳng song song

1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\\begin{align}& AB\subset \left( SAB \right)\,\,;\,\,CD\subset \left( SCD \right) \\& AB\text{//}CD \\\end{align}  \\\end{matrix} \right.$$\Rightarrow Sx=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)$ với $Sx\text{//}AB\text{//}CD$

2) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MBC \right)$ và $\left( SAD \right)$

Lại có : $\left\{ \begin{matrix}M\in SA\subset \left( SAD \right)  \\M\in \left( MBC \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow M\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{matrix}M\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\\begin{align}& BC\subset \left( SBC \right)\,\,;\,\,AD\subset \left( SAD \right) \\& BC\text{//}AD \\\end{align}  \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow My=\left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)$ với $My\text{//}BC\text{//}AD$

3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MEF \right)$ và $\left( SAC \right)$.

Ta có : $\left\{ \begin{matrix}M\in SA\subset \left( SAC \right)  \\M\in \left( MEF \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow M\in \left( MEF \right)\cap \left( SAC \right)$

Xét tam giác $ABC$ có: $EF$ là đường trung bình của tam giác $\Rightarrow EF\text{//}AC$

Do $\left\{ \begin{matrix}M\in \left( MEF \right)\cap \left( SAC \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\\begin{align}& EF\subset \left( MEF \right)\,\,;\,\,AC\subset \left( SAC \right) \\& EF\text{//}AC \\\end{align}  \\\end{matrix} \right.$$\Rightarrow Mt=\left( MEF \right)\cap \left( SAC \right)$ với $EF\text{//}AC\text{//}Mt$.

Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABCD$. Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn $AD$, $AB$ cắt $CD$ tại $K$, điểm $M$ thuộc cạnh $SD$.

1) Xác định giao tuyến $\left( d \right)$ của $\left( SAD \right)$ và $\left( SBC \right)$. Tìm giao điểm $N$ của $KM$ và $\left( SBC \right)$.

2) Chứng minh rằng: $AM\,,\,\,BN,\,\,\left( d \right)$ đồng quy.

Lời giải

tính chất hai đường thẳng song song

1) Xác định giao tuyến $\left( d \right)$ của $\left( SAD \right)$ và $\left( SBC \right)$. Tìm giao điểm $N$ của $KM$ và $\left( SBC \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}S\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\begin{align}& AD\subset \left( SAD \right)\,\,;\,\,BC\subset \left( SBC \right) \\& AD\text{//}BC \\\end{align}  \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow Sx=\left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$ với $Sx\text{//}AD\text{//}BC$

$\Rightarrow \left( d \right)\equiv Sx$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}S\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)\\\begin{align}& AD\subset \left( SAD \right)\,\,;\,\,BC\subset \left( SBC \right) \\& AD\text{//}BC \\\end{align}  \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow Sx=\left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$ với $Sx\text{//}AD\text{//}BC$$\Rightarrow \left( d \right)\equiv Sx$

2) Chứng minh rằng: $AM\,,\,\,BN,\,\,\left( d \right)$ đồng quy

Ta có: $\left( d \right)=\left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$

Trong $\left( AMK \right)$ gọi $O$ là giao điểm của $AM$ và $BN$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}O\in AM\subset \left( SAD \right)  \\O\in BN\subset \left( SBC \right)  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow O\in \left( d \right)$

Vậy ba đường thẳng $\left( d \right)\,\,;\,\,BN;\,\,AM$ đồng quy tại $O$.

DẠNG 3. THIẾT DIỆN CHỨA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG KHÁC

Bài tập 1: Chóp ${S.ABCD}$ có ${SA=2a}$, ${ABCD}$ là hình vuông cạnh ${AB=a}$, ${SA\bot CD}$, ${M\in AD}$ để ${AM=x}$ ${\left( 0<x<a \right)}$. Mặt phẳng ${\left( P \right)}$ qua ${M}$ và ${//SA,\,CD}$. Dựng ${\left( P \right)}$. Tìm thiệt diện. Tính ${{{S}_{TD}}}$ theo ${{a,x}}$.

Lời giải

hai đường thẳng song song lớp 11

*) Dựng $\left( P \right)$.

+) Qua $M$ dựng $MN//CD$.

+) Qua $M$ dựng $MQ//SA$.

$\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( QMN \right)$.

*) Tìm thiết diện; Trái, phải, trước, sau, đáy.

*) Ta có $\left\{ \begin{align}& \left( QMN \right)\cap \left( Day \right)=MN \\& \left( QMN \right)\cap \left( Trai \right)=MQ \\\end{align} \right.$.

*) Định lý: $\left\{ \begin{align}

& Q\in \left( QMN \right),\,Q\in \left( Truoc \right)\Rightarrow \left( QMN \right)\cap \left( Truoc \right)=QP \\& MN//CD\Rightarrow \left( QMN \right)\cap \left( Phai \right)=PN \\\end{align} \right.$.

*) Thiết diện là tứ giác $MNPQ$.

*) Tính ${{S}_{TD}}$.

Ta có $\left\{ \begin{align}& MN//CD \\& CD\bot SA \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow MQ\bot MN$.

+) Tính $QM$: $QM//SA\Rightarrow \frac{QM}{SA}=\frac{DM}{DA}$$\Rightarrow QM=\frac{2a\left( a-x \right)}{a}=2a-2x$.

+) Tính $PQ$: $PQ//CD\Rightarrow \frac{PQ}{CD}=\frac{SQ}{SD}=\frac{AM}{AD}$$\Rightarrow PQ=\frac{a.x}{a}=x$.

$\Rightarrow {{S}_{TD}}=\frac{\left( MN+PQ \right).QM}{2}=\frac{\left( a+x \right).2.\left( a-x \right)}{2}={{a}^{2}}-{{x}^{2}}$.

Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều. $SC=SD=a\sqrt{3}$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$. Gọi $M$ là trung điểm $DA$$\left( HKM \right)\cap BC=N$.

a) Chứng minh rằng $HKMN$ là hình thang cân.

b) Đặt $AM=x\left( 0\le x\le a \right)$ tính diện tích $HKMN$ theo $a$ và $x$. Tìm $x$ để diện tích này nhỏ nhất.

Lời giải

hai đường thẳng song song khi nào

a) Tìm $N=BC\cap \left( HKM \right)$,

$BC\subset \left( ABCD \right)$

$M\in \left( HKM \right)\cap \left( ABCD \right)$

$\left. \begin{align}& HK//AB \\& HK\subset \left( HKM \right) \\& AB\subset \left( ABCD \right) \\\end{align} \right\}\Rightarrow \left( HKM \right)\cap \left( ABCD \right)=Mx//AB;Mx\cap BC=N$

Vì $MN//HK$ nên $HKMN$ là hình thang.

$\Delta AHM=\Delta BKN\Rightarrow HM=KN$ hay $HKMN$ là hình thang cân.

b) Dựng đường cao $AO$ của là hình thang $HKMN$.

Diện tích hình thang $S=\frac{\left( KH+MN \right)HO}{2}$

$HK=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$; $MN=AD=a$; $HO=\sqrt{M{{H}^{2}}-M{{O}^{2}}},MO=\frac{a}{4}$

Tính $HM$

Xét $\Delta SAD$: $Cos\widehat{SAD}=\frac{A{{D}^{2}}+S{{A}^{2}}-S{{D}^{2}}}{2AD.SA.}=\frac{-1}{2}\Rightarrow \widehat{SAD}={{120}^{\text{o}}}$

.$MH=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{M}^{2}}-2AH.AM.cos\widehat{HAM}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{x}^{2}}+\frac{ax}{4}}$,

$HO=\sqrt{M{{H}^{2}}-M{{O}^{2}}}=\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{16}+{{x}^{2}}+\frac{ax}{4}}$

$S=\frac{\left( KH+MN \right)HO}{2}=\frac{3a}{4}\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{xa}{2}+\frac{3{{a}^{2}}}{16}}$; ${{S}_{\min }}$khi ${{x}^{2}}+\frac{xa}{2}+\frac{3{{a}^{2}}}{16}$min khi $x=0$ hay $M\equiv A$

Bài tập 3: Chóp $S.ABC$, $SA\bot BC$, $SA=3a$, $\Delta ABC$ đều, $AB=a$. $M\in AB$ để $AM=x\left( 0<x<a \right)$. $\left( P \right)$ qua $M$ và song song $SA,BC$. Dựng $\left( P \right)$. Tìm thiết diện. Tìm $x$ để diện tích thiết diện lớn nhất.

Lời giải

chứng minh hai đường thẳng song song

Dựng $\left( P \right)$:

– Qua $M$dựng $MN\text{//}BC$.

– Qua $M$ dựng $MQ\text{//}A$

$\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( MNQ \right)$.

Tìm thiết diện:

– Ta có: $\left\{ \begin{align}& \left( MNQ \right)\cap \left( ABCD \right)=MN \\& \left( MNQ \right)\cap \left( SAB \right)=MQ \\\end{align} \right.$.$\Rightarrow $ thiết diện là tứ giác $MNPQ$.

Tính diện tích thiết diện: $SA\bot BC\Rightarrow MN\bot MQ\Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật.

$MN\text{//}BC\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}\Rightarrow MN=\frac{ax}{a}=x$.

$MQ//SA\Rightarrow \frac{MQ}{SA}=\frac{BM}{BA}\Rightarrow MQ=\frac{3a\left( a-x \right)}{a}=3\left( a-x \right)$.

${{S}_{TD}}=MN.MQ=x3\left( a-x \right)=3\left( -{{x}^{2}}+ax \right),\left( 0<x<a \right)$.

${{S}_{TD}}max\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a}{2\left( -1 \right)}=\frac{a}{2}$.

Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như công thức chứng minh hai đường thẳng song song lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về giáo án hai đường thẳng song song khi nào có lời giải thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!

Xem thêm:

Lý thuyết và bài tập mẫu đường thẳng và mặt phẳng song song