Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn cách giải và bài tập mẫu góc giữa hai mặt phẳng oxyz cũng như công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng oxyz để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt phần góc giữa hai mặt phẳng trong không gian môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$ và $\left( \beta \right):{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0.$
Góc giữa $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}$. Tức là:
$\cos \left( \left( \alpha \right),\left( \beta \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}.\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right|}=\frac{\left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} \right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$
Đặc biệt: $(P)\bot (Q)\Leftrightarrow AA’+BB’+CC’=0.$.
- Góc giữa hai véctơ
Cho hai véctơ $\vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}})$ và $\vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}}).$ Khi đó góc giữa hai véctơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc nhợn hoặc tù.
$$ với $0{}^\circ <\alpha <180{}^\circ .$
- Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng $(P):{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$ và $(Q):{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0.$
với $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ .$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$có phương trình $x-2y+2z-5=0$. Xét mặt phẳng $(Q):x+(2m-1)z+7=0$, với $m$là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của $m$ để $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi }{4}$.
A. $\left[ \begin{align}& m=1 \\ & m=4 \\ \end{align} \right.$. B. $\left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=-2\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$.
C. $\left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=4 \\ \end{align} \right.$. D. $\left[ \begin{align} & m=4 \\ & m=\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$.
Lời giải
Mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là$\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 1;-2;2 \right)$, $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;0;2m-1 \right)$
Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi }{4}$ nên
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình:$ax+by+cz-1=0$ với $c<0$ đi qua $2$ điểm $A\left( 0;1;0 \right)$, $B\left( 1;0;0 \right)$ và tạo với $\left( Oyz \right)$ một góc $60{}^\circ $. Khi đó $a+b+c$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 5;8 \right)$. B. $\left( 8;11 \right)$. C. $\left( 0;3 \right)$. D. $\left( 3;5 \right)$.
Lời giải.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A$, $B$ nên $\left\{ \begin{align}& b-1=0 \\& a-1=0 \\\end{align} \right.\Rightarrow a=b=1$.
Và $\left( P \right)$ tạo với $\left( Oyz \right)$ góc $60{}^\circ $ nên $\cos \left( \left( P \right),\left( Oyz \right) \right)=\frac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$ (*).
Thay $a=b=1$ vào phương trình được $\sqrt{2+{{c}^{2}}}=2\Rightarrow c=-\sqrt{2}$.
Khi đó $a+b+c=2-\sqrt{2}\in \left( 0;3 \right)$.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ tọa độ $\text{O}xyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0,$ $(Q):x+my+(m-1)z+2019=0$. Khi hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $M$ nào sau đây?
A. $M(2019;-1;1)$ B. $M(0;-2019;0)$ C. $M(-2019;1;1)$ D. $M(0;0;-2019)$
Lời giải
Chọn C
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Khi đó: $\cos \varphi =\frac{\left| \,1.1+2.m-2.(m-1)\, \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{(m-1)}^{2}}}}=\frac{1}{3\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}}=\frac{1}{3.\sqrt{2{{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}}}\le \frac{1}{3\sqrt{\frac{3}{2}}}$
Góc $\varphi $ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $\cos \varphi $ lớn nhất $\Leftrightarrow \text{ }m=\frac{1}{2}$.
Khi $m=\frac{1}{2}$ thì $\left( Q \right):x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z+2019=0$, đi qua điểm $M(-2019;1;1)$.
Bài tập 4:
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+5=0$ và $\left( Q \right):x-y+2=0$. Trên $\left( P \right)$ có tam giác $ABC$; Gọi ${A}’,\ {B}’,\ {C}’$ lần lượt là hình chiếu của $A,\ B,\ C$ trên $\left( Q \right)$. Biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng $4$, tính diện tích tam giác ${A}'{B}'{C}’$.
A. $\sqrt{2}$. B. $2\sqrt{2}$. C. $2$. D. $4\sqrt{2}$.
Lời giải
Chọn B
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\left| 2.1-1.\left( -1 \right)+2.0 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Ta có: ${{S}_{{A}'{B}'{C}’}}={{S}_{ABC}}.\cos \alpha =4.\frac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.
Bài tập 5:
Trong không gian $Oxyz$, biết hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $H\left( 2\,;\,-1\,;\,-2 \right)$. Số đo góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ với mặt phẳng $\left( Q \right):\,x-y-5=0$ là
A. $30{}^\circ $. B. $45{}^\circ $. C. $60{}^\circ $. D. $90{}^\circ $.
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1\,;\,-1\,;\,0 \right)$.
Hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $H\left( 2\,;\,-1\,;\,-2 \right)$$\Rightarrow \left( P \right)$ qua $H$ và nhận$\overrightarrow{OH}=\left( 2\,;\,-1\,;\,-2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
$\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{OH}\,,\,\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right) \right|=\frac{\left| 2+1+0 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{1+1+0}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \varphi =45{}^\circ $.
Bài tập 6:
Trong hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho điểm $H\left( 2;\text{ }1;\text{ }2 \right)$. Điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ $O$ xuống mặt phẳng $\left( P \right)$, số đo góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x+y-11=0$ là
A. $90{}^\circ $. B. $30{}^\circ $. C. $60{}^\circ $. D. $45{}^\circ $.
Lời giải
Ta có $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ xuống mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $OH\bot \left( P \right)$. Do đó $\overrightarrow{OH}=\left( 2;\text{ }1;\text{ }2 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;\text{ }1;\text{ }0 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),\text{ }\left( Q \right)$.
Ta có $\cos \alpha =\frac{\left| \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{OH} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{\left| 2.1+1.1+2.0 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45{}^\circ $.
Vây góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),\text{ }\left( Q \right)$ là $45{}^\circ $.
Bài tập 7:
Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 3;0;1 \right),B\left( 6;-2;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A,\text{ }B$ và tạo với mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ một góc $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{2}{7}$ là
A. $\left[ \begin{align}& 2x+3y+6z-12=0 \\ & 2x+3y-6z=0 \\ \end{align} \right.$ B. $\left[ \begin{align}& 2x-3y+6z-12=0 \\ & 2x-3y-6z=0 \\ \end{align} \right.$
C. $\left[ \begin{align}& 2x-3y+6z-12=0 \\ & 2x-3y-6z+1=0 \\ \end{align} \right.$ D. $\left[ \begin{align}& 2x+3y+6z+12=0 \\ & 2x+3y-6z-1=0 \\ \end{align} \right.$
Lời giải
Giả sử $\left( P \right)$có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( a;b;c \right)$
$\left( P \right)$ có VTCP $\overrightarrow{AB}=\left( 3;-2;0 \right)$ suy ra x$\overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{AB}=0$ $\Rightarrow 3a+b\left( -2 \right)+0.c=0\Rightarrow 3a-2b=0\Rightarrow a=\frac{2}{3}b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
$\left( Oyz \right)$có phương trình $x=0$ nên có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 1;0;0 \right)$
Mà $\cos \alpha =\frac{2}{7}$$\Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\frac{2}{7}\Leftrightarrow \frac{\left| a.1+b.0+c.0 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{2}{7}$
$\frac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.}=\frac{2}{7}\Leftrightarrow 7\left| a \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$$\Leftrightarrow 49{{a}^{2}}=4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow 45{{a}^{2}}-4{{b}^{2}}-4{{c}^{2}}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được $4{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=0$
Chọn $c=2$ ta có $4{{b}^{2}}-{{2}^{2}}=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& b=1 \\& b=-1 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{align}& a=\frac{2}{3} \\& a=\frac{-2}{3} \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{align}& \overrightarrow{n}=\left( \frac{2}{3};1;2 \right) \\& \overrightarrow{n}=\left( -\frac{2}{3};-1;2 \right) \\\end{align} \right.$hay $\left[ \begin{align}& \overrightarrow{n}=\left( 2;3;6 \right) \\& \overrightarrow{n}=\left( 2;3;-6 \right) \\\end{align} \right.$
Vậy $\left( P \right)$$\left[ \begin{align}& 2x+3y+6z-12=0 \\& 2x+3y-6z=0 \\\end{align} \right.$
Bài tập 8:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, biết mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$ với $c<0$ đi qua hai điểm $A\left( 0;1;0 \right)$, $B\left( 1;0;0 \right)$ và tạo với mặt phẳng $\left( yOz \right)$ một góc $60{}^\circ $. Khi đó giá trị $a+b+c$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 0;3 \right)$. B. $\left( 3;5 \right)$. C. $\left( 5;8 \right)$. D. $\left( 8;11 \right)$.
Lời giải
Ta có: $A,B\in \left( P \right)$ nên $\left\{ \begin{align}& b+d=0 \\ & a+d=0 \\\end{align} \right.$. Suy ra $\left( P \right)$ có dạng $ax+ay+cz-a=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a;a;c \right)$.
Măt phẳng $\left( yOz \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$.
Ta có: $\cos 60{}^\circ =\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{\left| a \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}.1}$$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{a}^{2}}$$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-{{c}^{2}}=0$.
Chọn $a=1$, ta có: ${{c}^{2}}=2\Rightarrow c=-\sqrt{2}$ do $c<0$.
Ta có: $a+b+c=a+a+c=1+1-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}\in \left( 0;3 \right)$.