Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ giải đáp cho các bạn về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng, vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong oxyz tính như thế nào? Trong bài dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. CÁCH GIẢI
Góc giữa hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{1}}=({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}})$ và ${{\vec{u}}_{2}}=({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}}).$
với $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ .$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;1;1 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):x-z-1=0$ và đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{align}& x=1-t \\& y=2 \\& z=-2+t \\\end{align} \right.$. Gọi ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ là các đường thẳng đi qua $A$, nằm trong $\left( P \right)$ và đều có khoảng cách đến đường thẳng $d$ bằng $\sqrt{6}$. Côsin của góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ bằng
A. $\frac{1}{3}$. B. $\frac{2}{3}$. C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$. D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
Lời giải
Chọn A
* Ta có: ${{\overrightarrow{n}}_{P}}=\left( 1;0;-1 \right),\text{ }{{\overrightarrow{u}}_{\text{d}}}=\left( -1;0;1 \right)$$\Rightarrow d\bot \left( P \right)$ và $d\cap \left( P \right)=M\left( 0;2;-1 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( 2;-1;2 \right)\Rightarrow MA=3$
* Gọi $H;\text{ }K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$, ta có
\[d\left( {{d}_{1}};d \right)=d\left( M;{{d}_{1}} \right)=MH,\text{ }d\left( {{d}_{2}};d \right)=d\left( M;{{d}_{2}} \right)=MK\Rightarrow MH=MK=\sqrt{6}\]
$\Rightarrow \sin \widehat{MAK}=\sin \widehat{MAH}=\frac{HM}{AM}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\Rightarrow \cos \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( 2.\widehat{MAH} \right) \right|=\left| 1-2{{\sin }^{2}}\widehat{MAH} \right|=\left| 1-\frac{4}{3} \right|=\frac{1}{3}$.
Bài tập 2:
Trong không gian $Oxyz,$ gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O,$ thuộc mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ và cách điểm $M\left( 1;-2;1 \right)$ một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng
A. $\frac{2}{5}$. B. $\frac{1}{5}$. C. $\frac{1}{\sqrt{5}}$. D. $\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $H,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ và trên đường thẳng $d$.
Ta có: $d\left( M,d \right)=MK\ge MH=1$, $H\left( 0;\,-2;\,1 \right)$.
Suy ra $d\left( M,d \right)$ nhỏ nhất khi $K\equiv H$. Khi đó $d$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{OH}=\left( 0;\,-2;\,1 \right)$.
$\cos \left( d,Oy \right)=\frac{\left| \overrightarrow{OH}.\vec{j} \right|}{\left| \overrightarrow{OH} \right|\left| {\vec{j}} \right|}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):4x=7y+z+25=0$ và đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$. Gọi ${{d}_{1}}’$ là hình chiếu vuông góc của ${{d}_{1}}$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Đường thẳng ${{d}_{2}}$ nằm trên $\left( P \right)$ tạo với ${{d}_{1}},{{d}_{1}}’$ các góc bằng nhau, ${{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( a;b;c \right)$. Tính $\frac{a+2b}{c}$.
A. $\frac{a+2b}{c}=\frac{2}{3}$. B. $\frac{a+2b}{c}=0$. C. $\frac{a+2b}{c}=\frac{1}{3}$. D. $\frac{a+2b}{c}=1$.
Lời giải
Cách 1:
Gọi $\left( Q \right)=\left( {{d}_{1}},{{d}_{1}}’ \right)$ khi đó $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến \[{{\overrightarrow{n}}_{Q}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( 5;5;15 \right)\].
Đường thẳng ${{d}_{1}}’$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}’}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( 22;11;-11 \right)$ hay một vecto chỉ phương khác $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right)$.
Vì $\overrightarrow{{{n}_{p}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\Rightarrow 4a-7b+c=0\Rightarrow c=7b-4a\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( a;b;7b-4a \right)$.
Ta lại có $\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left( {{d}_{1}}’;{{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow \left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}’},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|$
$\Leftrightarrow \left| a+2b+4a-7b \right|=\left| 2a+b+4a-7b \right|\Leftrightarrow \left| 5a-5b \right|=\left| 6a-6b \right|\Leftrightarrow \left| a-b \right|=0\Leftrightarrow a=b$
Chọn $a=1\Rightarrow b=1,c=3\Rightarrow \frac{a+2b}{c}=1$.
Cách 2:
Gọi $\left( Q \right)=\left( {{d}_{1}},{{d}_{1}}’ \right)$ khi đó $\left( P \right)\bot \left( Q \right)$. Các đường thẳng nằm trong $\left( P \right)$ mà vuông góc với $\left( Q \right)$ thì vuông góc với tất cả các đường thẳng trong $\left( Q \right)$ hay chúng cùng tạo với ${{d}_{1}},{{d}_{1}}’$ các góc ${{90}^{\circ }}$. Do đó, các đường thẳng này thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chúng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\left( 1;1;3 \right)\Rightarrow \frac{a+2b}{c}=1$.
Bài tập 4:
Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$,\[\widehat{ABC}={{30}^{0}}\],$BC=3\sqrt{2}$, đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x-4}{1}=\frac{y-5}{1}=\frac{z+7}{-4}$, đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+z-3=0$. Biết đỉnh $C$ có cao độ âm. Tính hoành độ đỉnh
A. $\frac{3}{2}$. B. $3$. C. $\frac{9}{2}$. D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn C
Vì $C\in BC$ nên $C\left( 4+t\,;\,5+t\,;\,-7-4t \right)$.
$BC$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1\,;\,1\,;\,-4 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1\,;\,0\,;\,1 \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa $BC$ và $\left( \alpha \right)$. Ta có $\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{u}\,;\,\overrightarrow{n} \right) \right|=\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi ={{30}^{0}}$. Tức là $A$ là hình chiếu của $C$ lên $\left( \alpha \right)$.
Vậy $\frac{3\sqrt{2}}{2}=CA=d\left( C;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 4+t-7-4t-3 \right|}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=-1 \\& t=-3 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & C\left( 3\,;\,4\,;-3 \right) \\ & C\left( 1\,;\,2\,;\,5 \right) \\\end{align} \right.$
Mà $C$ có cao độ âm, suy ra $C\left( 1\,;\,2\,;\,5 \right)$.
Lúc này $AC$ qua $C\left( 1\,;\,2\,;\,5 \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left( 1\,;\,0\,;\,1 \right)$. Nên $A\left( 3+t\,;\,4\,;\,-3+t \right)$.
Mặt khác $A$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+z-3=0\Rightarrow t=\frac{3}{2}\Rightarrow {{x}_{A}}=\frac{9}{2}$.
Bài tập 5:
Trong không gian $Oxyz,$ cho $2$ đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{2}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}.$ Mặt phẳng $\left( P \right):x+ay+bz+c=0\left( c>0 \right)$ song song với ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ và khoảng cách từ ${{d}_{1}}$ đến $\left( P \right)$ bằng 2 lần khoảng cách từ ${{d}_{2}}$ đến $\left( P \right).$ Giá trị của $a+b+c$ bằng
A. $14$. B. $6$. C. $-4.$ D. $-6$.
Lời giải
Chọn A
Gọi ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 1;\,1;\,2 \right)$, ${{\vec{u}}_{2}}=\left( 2;\,1;\,1 \right)$ lần lượt là một vectơ chỉ phương của ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$.
Gọi ${{\vec{n}}_{1}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right]=\left( -1;\,3;\,-1 \right)$, có ${{\vec{n}}_{1}}$ cùng phương ${{\vec{n}}_{2}}=\left( 1;\,-3;\,1 \right)$.
$\vec{n}=\left( 1;\,a;\,b \right)$ là một vec-tơ chỉ phương của $\left( P \right)$.
Do $\left( P \right)$ song song với ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ nên chọn $\vec{n}=\left( 1;\,-3;\,1 \right)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $x-3y+z+c=0$.
Lấy ${{M}_{1}}\left( 1;\,-2;\,1 \right)\in {{d}_{1}}$, ${{M}_{2}}\left( 1;\,1;\,-2 \right)\in {{d}_{2}}$
Có $d\left( {{d}_{1}};\left( P \right) \right)=2d\left( {{d}_{2}};\left( P \right) \right)$$\Leftrightarrow d\left( {{M}_{1}};\left( P \right) \right)=2d\left( {{M}_{2}};\left( P \right) \right)$
$\Leftrightarrow \frac{\left| 1-3\left( -2 \right)+1+c \right|}{\sqrt{11}}=2\frac{\left| 1-3-2+c \right|}{\sqrt{11}}$$\Leftrightarrow \left| 8+c \right|=2\left| -4+c \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 8+c=2\left( -4+c \right) \\ & 8+c=2\left( 4-c \right) \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & c=16\,\,\left( \text{nha }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ n} \right) \\ & c=0\,\,\,\,\left( \text{loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i} \right) \\\end{align} \right.$.
Nên $\left( P \right):\,\,x-3y+z+16=0$, suy ra $a=-3$, $b=1$, $c=16$.
Vậy $a+b+c=14$.
Bài tập 6:
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 4 điểm $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 0;0;6 \right)$ và $D\left( 1;1;1 \right)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $D$ và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến $\Delta $ là lớn nhất. Khi đó $\Delta $ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $\left( 4;3;7 \right)$. B. $\left( -1;-2;1 \right)$. C. $\left( 7;5;3 \right)$. D. $\left( 3;4;3 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 3x+2y+z-6=0$, dễ thấy $D\in \left( ABC \right)$.
Ta thấy $P=d\left( A,\Delta \right)+d\left( B,\Delta \right)+d\left( C,\Delta \right)\le AD+BD+CD$.
Vậy $P$ lớn nhất khi và chỉ khi các hình chiếu vuông góc của các điểm $A,B,C$ trên $\Delta $ trùng $D$ hay $\Delta \bot \left( ABC \right)$ tại $D$.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=1+2t \\ & z=1+t \\\end{align} \right.$, ta thấy $\Delta $ đi qua điểm có tọa độ $\left( 7;5;3 \right)$.
Như vậy, bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về cách giải cũng như bài tập mẫu về góc giữa hai đường thẳng trong không gian mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!