Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ giải đáp cho các bạn về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng, vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong oxyz tính như thế nào? Trong bài dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. CÁCH GIẢI
Góc giữa đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{d}}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có véctơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{(P)}}=(A;B;C)$ được xác định bởi công thức:
với $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ .$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$,cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}& x=0 \\& y=3-t \\& z=t \\\end{align} \right.$.Gọi $\left( P \right)$là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ một góc $45{}^\circ $.Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?
A. $M\left( 3\,;\,2\,;\,1 \right)$. B. $N\left( 3\,;\,2\,;\,-1 \right)$. C. $P\left( 3\,;\,-1\,;\,2 \right)$. D. $M\left( 3\,;\,-\,1;\,-2 \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta viết phương trình đường thẳng $d$:$\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y+z-3=0 \\\end{align} \right.$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$chứa đường thẳng $d$nên có dạng: $mx+n\left( y+z-3 \right)=0,{{m}^{2}}+{{n}^{2}}\ne 0$
$\Leftrightarrow mx+ny+nz-3n=0\Rightarrow \left( P \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( m\,;\,n\,;\,n \right)$.
Mặt phẳng $\left( Oxy \right)$có một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left( 0\,;\,0\,;\,1 \right)$.
Ta có: $\cos \left( \left( P \right);\left( Oxy \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{k} \right) \right|\Leftrightarrow \cos 45{}^\circ =\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\left| n \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{n}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+2{{n}^{2}}}=\sqrt{2}\left| n \right|\Leftrightarrow {{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=0$.
Chọn $n=1\Rightarrow \left( P \right):y+z-3=0$.
Do đó: $M\left( 3 ;\,2\,;1 \right)\in \left( P \right)$.
Bình luận: Đối với những bài toán viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cho trước ta nên sử dụng khái niệm chùm mặt phẳng như sau: Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0$và $\left( Q \right):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0$ có phương trình dạng
$m\left( {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}} \right)+n\left( {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}} \right)=0,{{m}^{2}}+{{n}^{2}}\ne 0$.
Bài tập 2:
Trong không gian $Oxyz,$ gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O,$ thuộc mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ và cách điểm $M\left( 1;-2;1 \right)$ một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng
A. $\frac{2}{5}$. B. $\frac{1}{5}$. C. $\frac{1}{\sqrt{5}}$. D. $\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $H,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ và trên đường thẳng $d$.
Ta có: $d\left( M,d \right)=MK\ge MH=1$, $H\left( 0;\,-2;\,1 \right)$.
Suy ra $d\left( M,d \right)$ nhỏ nhất khi $K\equiv H$. Khi đó $d$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{OH}=\left( 0;\,-2;\,1 \right)$.
$\cos \left( d,Oy \right)=\frac{\left| \overrightarrow{OH}.\vec{j} \right|}{\left| \overrightarrow{OH} \right|\left| {\vec{j}} \right|}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Bài tập 3:
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}& x=t \\& y=0 \\& z=-t \\\end{align} \right.$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua ${{d}_{1}}$, tạo với ${{d}_{2}}$ một góc $45{}^\circ $ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}\left( 1;\,b;\,c \right)$ làm một vec tơ pháp tuyến. Xác định tích $b.c$.
A. $-4$. B. $4$. C. $4$ hoặc $0$. D. $-4$ hoặc $0$.
Lời giải.
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;\,-2;\,-1 \right),\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;\,0;\,-1 \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của ${{d}_{1}},\,\,{{d}_{2}}$. Theo bài ra ta có
$\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\& \left| \cos \left( \overrightarrow{n};\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\sin \left( {{d}_{2}};\,\left( P \right) \right) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2.1+\left( -2 \right)b+\left( -1 \right)c=0 \\ & \frac{\left| 1.1+0.b+\left( -1 \right)c \right|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & c=2-2b \\ & {{\left( c-1 \right)}^{2}}=1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & b=2 \\ & c=-2 \\\end{align} \right.$.
Bài tập 4:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1},$ ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}& x=t \\& y=0 \\& z=-t \\\end{align} \right..$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua ${{d}_{1}}$ tạo với ${{d}_{2}}$ một góc ${{45}^{0}}$ và nhận vectơ $\vec{n}=\left( 1;b;c \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích $bc.$
A. $-4$hoặc $0.$ B. $4$ hoặc $0.$ C. $-4$. D. $4$.
Lời giải
Ta có vectơ chỉ phương của ${{d}_{1}},\text{ }{{d}_{2}}$ lần lượt là ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 2;-2;-1 \right)$ và ${{\vec{u}}_{2}}=\left( 1;0;-1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua ${{d}_{1}}\Rightarrow \vec{n}.{{\vec{u}}_{1}}=0\Leftrightarrow 2-2b-c=0.\text{ }\left( 1 \right)$
$\sin \left( {{d}_{2}},\left( P \right) \right)=\frac{\left| {{{\vec{u}}}_{2}}.\vec{n} \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{2}} \right|.\left| {\vec{n}} \right|}=\sin 45{}^\circ \Leftrightarrow \frac{\left| 1-c \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left| 1-c \right|=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}\Leftrightarrow {{b}^{2}}+2c=0.\left( 2 \right)$ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & b=2 \\ & c=-2 \\\end{align} \right.\Rightarrow b.c=-4.$
Bài tập 5:
Trong không gian tọa độ $\text{O}xyz$ cho đường thẳng ${d : \frac { x – 3 } { 2 } = \frac { y + 2 } { 1 } = \frac { z + 1 } { – 1 }}$, mặt phẳng ${( P ) : x + y + z + 2 = 0}$. Gọi ${M}$ là giao điểm của${d}$ và ${( P )}$. Gọi ${\Delta}$ là đường thẳng nằm trong${( P )}$ vuông góc với ${d}$ và cách ${M}$một khoảng ${\sqrt { 42 }}$. Phương trình đường thẳng ${\Delta}$ là
A. ${\frac { x – 5 } { 2 } = \frac { y + 2 } { – 3 } = \frac { z + 4 } { 1 }}$. B. ${\frac { x – 1 } { – 2 } = \frac { y + 1 } { – 3 } = \frac { z + 1 } { 1 }}$.
C. ${\frac { x – 3 } { 2 } = \frac { y + 4 } { – 3 } = \frac { z + 5 } { 1 }}$. D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn D
Gọi ${M = d \cap ( P )}$. Suy ra ${M \in d \Rightarrow M ( 3 + 2 t ; – 2 + t ; – 1 – t ) ; M \in ( P ) \Rightarrow t = – 1 \Rightarrow M ( 1 ; – 3 ; 0 )}$
${( P )}$ có véc tơ pháp tuyến là ${{\vec{n}}_{P}}=(1;1;1)$. $d$có véc tơ chỉ phương ${{\vec{a}}_{d}}=(2;1;-1)$. ${\Delta}$có véc tơ chỉ phương \[{{\vec{a}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{a}}}_{d}},{{{\vec{n}}}_{P}} \right]=(2;-3;1)\]. Gọi ${N ( x ; y ; z )}$ là hình chiếu vuông góc của ${M}$ trên ${\Delta}$, khi đó ${M N = ( x – 1 ; y + 3 ; z )}$.
Ta có ${\left\{ \begin{array} { l } { \vec { M N } \perp \vec { a _ { \Delta } } } \\ { N \in ( P ) } \\ { M N = \sqrt { 42 } } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l } { 2 x – 3 y + z – 11 = 0 } \\ { x + y + z + 2 = 0 } \\ { ( x – 1 ) ^ { 2 } + ( y + 3 ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 42 } \end{array} \right.}$.
Giải hệ ta tìm được ${N ( 5 ; – 2 ; – 5 )}$và ${N ( – 3 ; – 4 ; 5 )}$.
Với ${N ( 5 ; – 2 ; – 5 )}$, ta có ${\Delta : \frac { x – 5 } { 2 } = \frac { y + 2 } { – 3 } = \frac { z + 5 } { 1 }}$.
Với ${N ( – 3 ; – 4 ; 5 )}$, ta có ${\Delta : \frac { x + 3 } { 2 } = \frac { y + 4 } { – 3 } = \frac { z – 5 } { 1 }}$.
Bài tập 6:
Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$,\[\widehat{ABC}={{30}^{0}}\],$BC=3\sqrt{2}$, đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x-4}{1}=\frac{y-5}{1}=\frac{z+7}{-4}$, đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+z-3=0$. Biết đỉnh $C$ có cao độ âm. Tính hoành độ đỉnh
A. $\frac{3}{2}$. B. $3$. C. $\frac{9}{2}$. D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn C
Vì $C\in BC$ nên $C\left( 4+t\,;\,5+t\,;\,-7-4t \right)$.
$BC$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1\,;\,1\,;\,-4 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1\,;\,0\,;\,1 \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa $BC$ và $\left( \alpha \right)$. Ta có $\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{u}\,;\,\overrightarrow{n} \right) \right|=\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi ={{30}^{0}}$. Tức là $A$ là hình chiếu của $C$ lên $\left( \alpha \right)$.
Vậy $\frac{3\sqrt{2}}{2}=CA=d\left( C;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 4+t-7-4t-3 \right|}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1 \\ & t=-3 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & C\left( 3\,;\,4\,;-3 \right) \\ & C\left( 1\,;\,2\,;\,5 \right) \\\end{align} \right.$
Mà $C$ có cao độ âm, suy ra $C\left( 1\,;\,2\,;\,5 \right)$.
Lúc này $AC$ qua $C\left( 1\,;\,2\,;\,5 \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left( 1\,;\,0\,;\,1 \right)$. Nên $A\left( 3+t\,;\,4\,;\,-3+t \right)$.
Mặt khác $A$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+z-3=0\Rightarrow t=\frac{3}{2}\Rightarrow {{x}_{A}}=\frac{9}{2}$.
Như vậy, bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về cách giải cũng như bài tập mẫu về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng oxyz mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!