Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay đó chính là tìm giới hạn của hàm số đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về cách tìm giới hạn của hàm số chứa căn, giáo án giới hạn của hàm số cũng như giải bài tập giới hạn của hàm số bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
A. LÝ THUYẾT VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Giới hạn hàm số
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn : Cho khoảng $K$ chứa điểm ${{x}_{0}}$. Ta nói rằng hàm số $f(x)$ xác định trên $K$ (có thể trừ điểm ${{x}_{0}}$) có giới hạn là $L$ khi $x$ dần tới ${{x}_{0}}$ nếu với dãy số $({{x}_{n}})$ bất kì, ${{x}_{n}}\in K\backslash \{{{x}_{0}}\}$ và ${{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$, ta có $f({{x}_{n}})\to L$. Ta kí hiệu:
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi$x\to {{x}_{0}}$.
Các giới hạn đặc biệt: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,x={{x}_{0}}$; $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,c=c$
b) Giới hạn vô cực
+ Ta nói hàm số $y=f(x)$ có giới hạn dần tới dương vô cực khi $x$ dần tới ${{x}_{0}}$ nếu với mọi dãy số $({{x}_{n}})$ thỏa ${{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$ thì$f({{x}_{n}})\to +\infty $. Kí hiệu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty $.
+ Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
+ Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay ${{x}_{0}}$ bởi $-\infty $ hoặc$+\infty $.
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
+ Ta nói hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\left( a;+\infty \right)$ có giới hạn là $L$ khi $x\to +\infty $ nếu với mọi dãy số $({{x}_{n}})$ thỏa ${{x}_{n}}>a$ và ${{x}_{n}}\to +\infty $ thì $f({{x}_{n}})\to L$. Kí hiệu: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$.
+ Ta nói hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(-\infty ;b)$ có giới hạn là $L$ khi $x\to -\infty $ nếu với mọi dãy số $({{x}_{n}})$ thỏa ${{x}_{n}}<b$ và ${{x}_{n}}\to -\infty $ thì$f({{x}_{n}})\to L$. Kí hiệu:$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$.
Các giới hạn đặc biệt:
+ $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,c=c$; $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{c}{x}=0$ với $c$ là hằng số
+ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty $ với $k$ nguyên dương; $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=-\infty $với $k$ lẻ, $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty $với $k$chẵn
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1:
a. Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=M$ thì
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)\pm g(x) \right]=L\pm M$;
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x).g(x) \right]=L.M$;
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}\,\,\,\,\,(M\ne 0)$
b. Nếu $f(x)\ge 0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ thì $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$
c. $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\Leftrightarrow \underset{x\to x_{_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$
Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.
Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)
Cho ba hàm số $f(x),g(x),h(x)$ xác định trên $K$chứa điểm ${{x}_{0}}$ (có thể các hàm đó không xác định tại${{x}_{0}}$). Nếu $g(x)\le f(x)\le h(x)\text{ }\forall x\in K$và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=L$ thì$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$.
Các giới hạn đặc biệt
+ $\underset{\begin{smallmatrix} x\to +\infty \\ (x\to -\infty )\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2k}}=+\infty $; $\underset{\begin{smallmatrix} x\to +\infty \\ (x\to -\infty )\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2k+1}}=+\infty \text{ }(-\infty )$
+ $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \text{ }(-\infty )\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{k}{f(x)}=0\text{ }(k\ne 0)$.
4. Giới hạn vô cực
a) Quy tắc 1. Cho $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\pm \infty ;\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=L\ne 0$. Ta có:
| $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ | Dấu của $L$ | $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x).g(x) \right]$ |
| $+\infty $ | $\pm $ | $\pm \infty $ |
| $-\infty $ | $\pm $ | $\mp \infty $ |
b) Quy tắc 2. Cho $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L;\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;L\ne 0$. Ta có:
| Dấu của $L$ | Dấu của $g\left( x \right)$ | $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}$ |
| + | $\pm $ | $\pm \infty $ |
| $-$ | $\pm $ | $\mp \infty $ |
II. Giới hạn một bên
1. Giới hạn hữu hạn
a) Định nghĩa 1
Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {{x}_{0}};b \right),\left( {{x}_{0}}\in R \right)$ . Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn bên phải là số thực $L$ khi $x$ dần đến ${{x}_{0}}$ (hoặc tại điểm ${{x}_{0}}$) nếu với mọi dãy số bất kì $\left( {{x}_{n}} \right)$ những số thuộc khoảng $\left( {{x}_{0}};b \right)$ mà $\lim {{x}_{n}}={{x}_{0}}$ ta đều có $\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L$. Khi đó ta viết
$\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L$ hoặc $f\left( x \right)\to L$ khi $x\to {{x}_{0}}^{+}$ .
b) Định nghĩa 2
Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( a;{{x}_{0}} \right),\left( {{x}_{0}}\in R \right)$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn bên trái là số thực $L$ khi $x$ dần đến ${{x}_{0}}$ (hoặc tại điểm ${{x}_{0}}$) nếu với mọi dãy bất kì $\left( {{x}_{n}} \right)$ những số thuộc khoảng $\left( a;{{x}_{0}} \right)$ mà $\lim {{x}_{n}}={{x}_{0}}$ ta đều có $\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L$ Khi đó ta viết
$\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L$ hoặc $f\left( x \right)\to L$ khi $x\to {{x}_{0}}^{-}$.
Chú ý:
- $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L$.
- Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay $x\to {{x}_{0}}$ bởi $x\to {{x}_{0}}^{-}$ hoặc $x\to {{x}_{0}}^{+}$ .
2. Giới hạn vô cực
+ Các định nghĩa $\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty $,$\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $ ,$\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty $ và $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $ được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
+ Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay $L$ bởi $+\infty $ hoặc $-\infty $ .
II. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Dạng 1. Giới hạn tại 1 điểm
1. Giới hạn hữu hạn
Giả sử $\left( a;b \right)$ là một khoảng chứa điểm ${{x}_{0}}$và $f’$ là một hàm số xác định trên tập hợp $\left( a;b \right)\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$. Ta nói rằng hàm số $f’$ có giới hạn là số thực $L$ khi $x$ dần tới ${{x}_{0}}$ ( hoặc tại điểm ${{x}_{0}}$) nếu với mọi dãy số $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ trong tập hợp $\left( a;b \right)\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$, mà $Lim\text{ }{{x}_{n}}={{x}_{0}}$ta đều có $Lim\text{ f}\left( {{x}_{n}} \right)=L$.
Khi đó ta viết $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ f}\left( x \right)=L$ hoặc $\text{f}\left( x \right)\to \infty $ khi $x\to {{x}_{0}}$
Nhận xét:
- Nếu $\text{f}\left( x \right)=c$ thì $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ f}\left( x \right)=c$
- Nếu $\text{f}\left( x \right)=x$ thì $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ f}\left( x \right)={{x}_{0}}$
2. Giới hạn vô cực
Giả sử $\left( a;b \right)$ là một khoảng chứ điểm ${{x}_{0}}$ và $f’$ là một hàm số xác định trên tập hợp $\left( a;b \right)\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn là số thực $\infty $ khi x dần tới ${{x}_{0}}$ ( hoặc tại điểm ${{x}_{0}}$) nếu với mọi dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$trong tập hợp $\left( a;b \right)\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$ mà $\text{Lim }{{x}_{n}}={{x}_{0}}$ ta đều có $\text{Lim f}\left( {{x}_{n}} \right)=L$
Khi đó ta viết: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }f\left( x \right)=\infty $ hoặc $f\left( x \right)\to L$ khi $\underset{x\to 2}{\mathop{Lim}}\,\left( 3{{x}^{2}}+7x+11 \right)$
3. Định lý về giới hạn
Định lý 1.
Cho $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }f\left( x \right)=L$, $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ g}\left( x \right)=M$
Ta có:
- $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]=L\pm M$
- $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]=L.M$
- $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }\left[ c.f\left( x \right) \right]=c.L$
- $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }\left[ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right]=\frac{L}{M}$ với $M\ne 0$.
Định lý 2.
Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }f\left( x \right)=L$ thì $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }\left| f\left( x \right) \right|=\left| L \right|$; $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }\sqrt[3]{f\left( x \right)}=\sqrt[3]{L}$; $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,\text{ }\sqrt{f\left( x \right)}=\sqrt{L}$ với $L\ge 0$.
Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu hàm số liên tục
Dạng 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
Giả sử hàm số $f$xác định trên khoảng $\left( a;+\infty \right)$. Ta nói rằng hàm số $f$có giới hạn là số thực $L$khi x tiến tới $+\infty $ nếu với mọi số $\left( {{x}_{n}} \right)$ trong khoảng $\left( a;+\infty \right)$ mà $Lim\text{ }{{\text{x}}_{n}}=+\infty $ ta đều có $Lim\text{ }f\left( {{\text{x}}_{n}} \right)=L$Khi đó ta viết $\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\text{ f}\left( x \right)=L$ hoặc $\text{f}\left( x \right)\to L$
Các giới hạn:
- ${\underset{x\to +\infty }{\mathop{\text{Lim}}}\,f\left( x \right)=+\infty }$ ; ${\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\text{ f}\left( x \right)=-\infty }$
- ${\underset{x\to -\infty }{\mathop{\text{Lim}}}\,f\left( x \right)=+\infty }$; ${\underset{x\to -\infty }{\mathop{\text{Lim}}}\,f\left( x \right)=-\infty }$
- ${\underset{x\to -\infty }{\mathop{\text{Lim}}}\,f\left( x \right)=L}$
Chú ý một số giới hạn
- ${\underset{x\to +\infty }{\mathop{\text{Lim}}}\,\text{ }{{x}^{k}}=+\infty }$; ${\underset{x\to +\infty }{\mathop{\text{Lim}}}\,\frac{1}{{{x}^{k}}}=0}$; ${\underset{x\to -\infty }{\mathop{\text{Lim}}}\,\frac{1}{{{x}^{k}}}=0}$
- ${\underset{x\to -\infty }{\mathop{\text{Lim}}}\,\text{ }{{x}^{k}}=+\infty \text{ }}$nếu ${k}$ chẵn; ${\underset{x\to -\infty }{\mathop{\text{Lim}}}\,\text{ }{{x}^{k}}=+\infty \text{ }}$nếu ${k}$ lẻ.
Dạng 3. Giới hạn một bên
1. Định nghĩa hữu hạn
Giới hạn phải
Giả sử hàm số $\text{f}$ xác định định trên khoảng $\left( {{x}_{o}};b \right)$. Ta nói rằng hàm số $\text{f}$ có giới hạn bên phải là số thực $L$ khi $x$ tiến về ${{x}_{o}}$ nếu mọi số $\left( {{x}_{n}} \right)$ trong khoảng $\left( {{x}_{o}};b \right)$ mà $Lim\text{ }{{x}_{n}}={{x}_{o}}$ ta đều có $Lim\text{ (f(}{{x}_{n}}))=L$.
Khi đó, ta viết: $\underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{Lim}}\,\text{f}\left( x \right)=L$ hoặc $\text{f}\left( x \right)\to L$ khi $x\to x_{o}^{+}$.
Giới hạn trái
Giả sử hàm số $\text{f}$ xác định định trên khoảng $\left( a;{{x}_{o}} \right)$. Ta nói rằng hàm số $\text{f}$ có giới hạn bên trái là số thực $L$ khi $x$ tiến về ${{x}_{o}}$ nếu mọi số $\left( {{x}_{n}} \right)$ trong khoảng $\left( a;{{x}_{o}} \right)$ mà $Lim\text{ }{{x}_{n}}={{x}_{o}}$ ta đều có $Lim\text{ (f(}{{x}_{n}}))=L$.
Khi đó, ta viết: $\underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{Lim}}\,\text{f}\left( x \right)=L$ hoặc $\text{f}\left( x \right)\to L$ khi $x\to x_{o}^{-}$.
Nhận xét: Nếu tồn tại $\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{Lim}}\,\text{f}\left( x \right)=L$ thì $\underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{Lim}}\,\text{f}\left( x \right)=\underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{Lim}}\,\text{f}\left( x \right)=L$ và ngược lại.
2. Giới hạn vô hạn
$\underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{Lim}}\,\text{f}\left( x \right)=-\infty $$\underset{x\to x_{o}^{-}}{\mathop{Lim}}\,\text{f}\left( x \right)=+\infty $
$\underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{Lim}}\,\text{f}\left( x \right)=-\infty $$\underset{x\to x_{o}^{+}}{\mathop{Lim}}\,\text{f}\left( x \right)=+\infty $
Dạng 4. Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực
1. Định lý
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left| f(x) \right|=+\infty \Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=0$
2. Một vài quy tắc tính giới hạn
Quy tắc 1: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,=\pm \infty $ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=L\ne 0$
| $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\pm \infty $ | $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=L\ne 0$ | $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ |
| +∞ | + | +∞ |
| +∞ | – | –∞ |
| –∞ | + | –∞ |
| –∞ | – | +∞ |
Quy tắc 2: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=0$và g(x) > 0 hoặc g(x) < 0
| $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ | $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=0$ | $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}$ |
| + | + | +∞ |
| + | – | –∞ |
| – | + | –∞ |
| – | – | +∞ |
Dạng 5. Giới hạn vô định
Ta sẽ gặp một số dạng vô định như sau:
Dạng 1. Tìm giới hạn hàm số có dạng $\frac{0}{0}$
Phương pháp
Nếu $f\left( x \right)=\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}$ trong đó $P\left( x \right),Q\left( x \right)$ là hai đa thức của $x$, ta biến đổi $f\left( x \right)=\frac{\left( x-{{x}_{0}} \right){{P}_{1}}\left( x \right)}{\left( x-{{x}_{0}} \right){{Q}_{1}}\left( x \right)}$. Rút gọn thừa số $x-{{x}_{0}}$sẽ khử được dạng vô định. (*) $f\left( x \right)$ là biểu thức có chứa $x$ dưới dấu căn thì ta nhân và chia biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0, sau đó rút $\left( x-{{x}_{0}} \right)$ là nhân tử chung, rút gọn thừa số $\left( x-{{x}_{0}} \right)$ sẽ khử được dạng vô định.
Dạng 2. Tìm giới hạn hàm số có dạng $\frac{\infty }{\infty }$
Phương pháp
Giới hạn dạng vô định $\frac{\infty }{\infty }$ là giới hạn của hàm số dạng $\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}$ trong đó khi $x\to {{x}_{0}}$ (hay $\pm \infty $) thì $P\left( x \right)\to \infty ,Q\left( x \right)\to \infty $. Chia tử và mẫu cho ${{x}^{k}}$ với ${{x}^{k}}$ là lũy thừa có số mũ lớn nhất của tử và mẫu (hoặc là rút ${{x}^{k}}$ làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn.
Dạng 3. Tìm giới hạn hàm số có dạng $\infty -\infty $
Phương pháp
Nếu $x\to {{x}_{0}}$ thì ta quy đồng mẫu số đưa về dạng $\frac{0}{0}$
Nếu $x\to \pm \infty $ thì ta nhân và chia cho lượng liên hợp để đưa về dạng $\frac{\infty }{\infty }$
Dạng 4. Tìm giới hạn hàm số có dạng $0.\infty $
Phương pháp:
Giả sử cần tìm giới hạn của hàm số $F\left( x \right)=f\left( x \right).g\left( x \right)$ khi $x\to {{x}_{0}}$ hay $x\to \pm \infty $, trong đó $f\left( x \right)\to 0$ và $g\left( x \right)\to \pm \infty $. Ta thường biến đổi theo các hướng sau:
-Nếu là giới hạn khi $x\to {{x}_{0}}$ thì ta thường viết $f.g=\frac{f}{1/g}$ sẽ đưa giới hạn về dạng $\frac{0}{0}$
-Nếu là giới hạn khi $x\to \pm \infty $ thì ta thường viết $f.g=\frac{g}{1/f}$ sẽ đưa về dạng $\frac{\infty }{\infty }$
-Tuy nhiên ở nhiều bài giới hạn loại này, ta chỉ cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn, quy đồng mẫu số,… ta có thể đưa giới hạn về dạng quen thuộc
Dạng 6. Giới hạn của hàm lượng giác
1. Định lý kẹp chặt.
Nếu $g\left( x \right)\le f\left( x \right)\le h\left( x \right)$
Và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,g\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,h\left( x \right)=L$ thì $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{Lim}}\,f\left( x \right)=L$
2. Giới hạn hàm lượng giác
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\operatorname{s}\text{inx}}{x}=1$
Hệ quả: Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,u\left( x \right)=0$ thì $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( \text{ax} \right)}{\text{ax}}=1$
3. Tìm giới hạn của hàm số lượng giác có dạng $\frac{0}{0}$ ta làm như sau:
– Biến đổi tổng thành tích
-Biến đổi để áp dụng giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1$
III. BÀI TẬP MẪU VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính giới hạn
a. $\underset{x\to -2}{\mathop{Lim}}\,\frac{\left( 3x+1 \right)\left( 2-3x \right)}{x+1}$ b. $\underset{x\to 0}{\mathop{Lim}}\,\frac{1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}}{1+x}$ c. $\underset{x\to -1}{\mathop{Lim}}\,\frac{\sqrt{3{{x}^{2}}+1}-x}{x-1}$
d. $\underset{x\to 1}{\mathop{Lim}}\,\sqrt{\frac{5x-1}{2x+7}}$ e. $\underset{x\to 2}{\mathop{Lim}}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}{x-1}$ f. $\underset{x\to 1}{\mathop{Lim}}\,\frac{\sqrt{x+8}-3}{x-2}$
Lời giải
a. $\underset{x\to -2}{\mathop{Lim}}\,\frac{\left( 3x+1 \right)\left( 2-3x \right)}{x+1}=40$
b. $\underset{x\to 0}{\mathop{Lim}}\,\frac{1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}}{1+x}=1$
c. $\underset{x\to -1}{\mathop{Lim}}\,\frac{\sqrt{3{{x}^{2}}+1}-x}{x-1}=\frac{-3}{2}$
d. $\underset{x\to 1}{\mathop{Lim}}\,\sqrt{\frac{5x-1}{2x+7}}=\sqrt{\frac{5-1}{2+7}}=\frac{2}{3}$
e. $\underset{x\to 2}{\mathop{Lim}}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}{x-1}=\frac{\sqrt{4-2+1}}{2-1}=\sqrt{3}$
f. $\underset{x\to 1}{\mathop{Lim}}\,\frac{\sqrt{x+8}-3}{x-2}=\frac{\sqrt{1+8}-3}{1-2}=0$
Bài tập 2: Tính giới hạn
a. $\underset{x\to -\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{2{{x}^{3}}+2x+5}$ b. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}-x+1}}{5{{x}^{2}}-1}$
c. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{x\sqrt{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2}{x\sqrt{{{x}^{3}}}+1}$ d. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2}$
Lời giải
a. $\underset{x\to -\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{2{{x}^{3}}+2x+5}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{{{x}^{2}}\left( 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{3}}\left( 2+\frac{2}{{{x}^{2}}}+\frac{5}{{{x}^{3}}} \right)}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{\left( 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}{x\left( 2+\frac{2}{{{x}^{2}}}+\frac{5}{{{x}^{3}}} \right)}=0$
b. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}-x+1}}{5{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{{x}^{4}}}-\frac{1}{{{x}^{5}}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}}}{5-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0$
c. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{x\sqrt{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2}{x\sqrt{{{x}^{3}}}+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{\frac{x\sqrt{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2}{x\sqrt{{{x}^{3}}}}}{\frac{x\sqrt{{{x}^{3}}}+1}{x\sqrt{{{x}^{3}}}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{\frac{1}{x}+\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{x\sqrt{{{x}^{3}}}}+\frac{2}{x\sqrt{{{x}^{3}}}}}{\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}}}=0$
d. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}}\,\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{{{x}^{3}}}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{3}}}}=0$
Bài tập 3: Tìm giới hạn
a. $\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+3x-2{{x}^{2}}}{x-3}$ b. $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x-2}$ c. $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-2}$
d. $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-2}$ e. $\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+4}{3-x}$ f. $\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{3-x}+x \right)$
Lời giải
a. $\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+3x-2{{x}^{2}}}{x-3}=-\infty $
b. $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}=+\infty $
c. $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-2}=+\infty $
d. $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-2}=-\infty $
e. $\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+4}{3-x}=-\infty $
f. $\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{3-x}+x \right)=3$
Bài tập 4: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1}\,\,\,khi\,\,x>1 \\ & -\frac{x}{2}\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x\le 1 \\\end{align} \right.$ tại $x=1$.
b) $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{1-\sqrt{\text{cos}2x}}{{{\sin }^{2}}x}\,\,\,khi\,\,x\ge 0 \\ & \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x<0 \\\end{align} \right.$ tại $x=0$
c) $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-2x+3\,\,\,khi\,\,x\le 2 \\ & 4x-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x>2 \\\end{align} \right.$ tại $x=2$
Lời giải
a) Có $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{x}{2} \right)=-\frac{1}{2}$
$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+1}=-\frac{1}{2}$.
$\Rightarrow \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\frac{1}{2}$
b) Có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{\text{cos}2x}}{{{\sin }^{2}}x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\text{cos}2x}{\left( 1+\sqrt{\text{cos}2x} \right){{\sin }^{2}}x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}x}{\left( 1+\sqrt{\text{cos}2x} \right){{\sin }^{2}}x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{\left( 1+\sqrt{\text{cos}2x} \right)}=1$
$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \cos x \right)=1$
$\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1$
c) Có $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)=3$
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 4x-3 \right)=5$
$\Rightarrow \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số $f\left( x \right)$ tại $x=2$.
Bài tập 5: Tính giới hạn
a.$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+2x\sqrt{x}-x+1 \right)$
b. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}\sqrt{x}+2x\sqrt[3]{x}-2 \right)$
c. $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{3{{x}^{2}}+\frac{2x\sqrt{x}}{5}-4}$
d. $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-4}{\sqrt{{{x}^{3}}-4x+3}}$
e. $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}{x-\sqrt{x}}$
Lời giải
a.$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+2x\sqrt{x}-x+1 \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( -2+\frac{2}{x\sqrt{x}}-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)=+\infty $
b.$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}\sqrt{x}+2x\sqrt[3]{x}-2 \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\sqrt{x}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{3}}\sqrt[6]{x}}-\frac{2}{{{x}^{4}}\sqrt{x}} \right)=+\infty $
c.$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{3{{x}^{2}}+\frac{2x\sqrt{x}}{5}-4}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{{{x}^{2}}(3+\frac{2}{5\sqrt{x}}-\frac{4}{{{x}^{2}}})}=+\infty $
d.$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-4}{\sqrt{{{x}^{3}}-4x+3}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-4}{\sqrt{{{x}^{3}}(1-\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{{{x}^{3}}})}}=0$
e.$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2{{x}^{2}}-x+1}}{x-\sqrt{x}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}})}}{x(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x \right|\sqrt{2-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{x(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,-\frac{\sqrt{2-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=-\sqrt{2}$
Bài tập 6: Tìm các giới hạn sau:
a.$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}+x-6}$
b.$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}-x-6}$
c.$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{5}}+1}{{{x}^{3}}+1}$
d.$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x-2}{{{x}^{3}}-x-6}$
e.$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+{{x}^{2}}+…+{{x}^{n}}-n}{x-1}$
Lời giải
a.$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}+x-6}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{x+3}=\frac{1}{5}$
b.$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{2}}-x-6}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-3 \right)}=-\frac{2}{5}$
c.$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{5}}+1}{{{x}^{3}}+1}=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}=\frac{5}{3}$
d.$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x-2}{{{x}^{3}}-x-6}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+1 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}=\frac{15}{11}$
e.$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1+{{x}^{2}}-1+…+{{x}^{n}}-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\underbrace{1+…+1}_{nso’1}+\underbrace{x+…+x}_{n-1so’x}+…+{{x}^{n-1}}=n+n-1+…+2+1=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$
Bài tập 7: Tìm giới hạn
a. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-c\text{os4}x}{2{{x}^{2}}}\,\,$
b. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{si}{{\text{n}}^{2}}x}{2{{x}^{2}}}\,\,$
c. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-c\text{os3}x}{1-c\text{os5}x}\,\,$
d. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\cos x-c\text{os2x}-c\text{os3x}}{1–c\text{osx}}$
Lời giải
a. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-c\text{os4}x}{2{{x}^{2}}}\,\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}2x}{2{{x}^{2}}}\,\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,4.{{\left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)}^{2}}=4$.
b. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{si}{{\text{n}}^{2}}x}{2{{x}^{2}}}\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}{{\left( \frac{\operatorname{s}\text{inx}}{x} \right)}^{2}}\,\,=\frac{1}{2}$.
c. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim 25}}\,\frac{1-c\text{os3}x}{1-c\text{os5}x}\,\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1-c\text{os2}\frac{\text{3}x}{2}}{2}}{\frac{1-c\text{os2}\frac{5x}{2}}{2}}\,\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}\frac{3x}{2}}{{{\sin }^{2}}\frac{5x}{2}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{\sin }^{2}}\frac{3x}{2}{{\left( \frac{5x}{2} \right)}^{2}}}{{{\left( \frac{3x}{2} \right)}^{2}}{{\sin }^{2}}\frac{5x}{2}}.\frac{9}{25} \right)=\frac{9}{25}$.
d. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\cos x-c\text{os2x}-c\text{os3x}}{1–c\text{osx}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1-c\text{os2x}}{1-c\text{osx}}+\frac{1-c\text{os3x}}{1-c\text{osx}} \right)$
$=1+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}\frac{3x}{2}}{{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}=1+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}.\frac{{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}.4 \right)+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{\sin }^{2}}\frac{3x}{2}}{{{\left( \frac{3x}{2} \right)}^{2}}}.\frac{\,{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}.9 \right)$
$=\mathbf{1}+\mathbf{4}+\mathbf{9}=\mathbf{14}$
Xem thêm:
