Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn cách giải phương trình số phức bao gồm giải phương trình bậc nhất số phức và giải phương trình bậc 2 với hệ số phức. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt phần các dạng bài tập về giải phương trình trên tập số phức môn Toán lớp 12!
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
1. Cách giải
o Số phức là gì? Một số phức là một biểu thức dạng $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ và ${{i}^{2}}=-1$.
o $i$ được gọi là đơn vị ảo, $a$được gọi là phần thực và $b$được gọi là phần ảo của số phức $z=a+bi$.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là $\mathbb{C}$.
$\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$.
o Chú ý: – Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a$ là số thực.
– Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$là số thuần ảo.
– Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.
o Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a=c \\b=d \\\end{matrix} \right.\text{ }$với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.
o Hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi;\text{ }{{z}_{2}}=-a-bi$ được gọi là hai số phức đối nhau.
2. Bài tập mẫu
Câu 1:
Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phức$z$:
$a)\text{ }z=\left( 2+4i \right)+2i\left( 1-3i \right).$ $b)\text{ }z=\left( 2-4i \right)\left( 5+2i \right)+\frac{4-5i}{2+i}$.
Giải:
$\text{ a) }z=\left( 2+4i \right)+2i\left( 1-3i \right)=2+4i+2i-6{{i}^{2}}=2+6i+6=8+6i$.
$\Rightarrow $ Phần thực: 8 ; Phần ảo: 6 ; Số phức liên hợp: $\overline{z}=8-6i$.
Môđun $\left| z \right|=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10$.
$\begin{align}& \text{b) }z=\left( 2-4i \right)\left( 5+2i \right)+\frac{4-5i}{2+i}=10+4i-20i-8{{i}^{2}}+\frac{\left( 4-5i \right)\left( 2-i \right)}{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}} \\& \text{ }=18-16i+\frac{8-14i-5}{5}=\frac{93}{5}-\frac{94}{5}i. \\\end{align}$
$\Rightarrow $ Phần thực:$\frac{93}{5}$ ; Phần ảo: $\frac{94}{5}$; Số phức liên hợp: $\overline{z}=\frac{93}{5}+\frac{94}{5}i$.
Môđun $\left| z \right|=\sqrt{{{\left( \frac{93}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{94}{5} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{17485}}{5}$.
Câu 2:
Tính $S=1009+i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+…+2017{{i}^{2017}}$.
Giải:
Cách 1:
$\begin{align}& S=1009+i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+4{{i}^{4}}+…+2017{{i}^{2017}} \\& \,\,\,\,=1009+\left( 4{{i}^{4}}+8{{i}^{8}}+…+2016{{i}^{2016}} \right)+\left( i+5{{i}^{5}}+9{{i}^{9}}+…+2017{{i}^{2017}} \right)+….. \\& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\left( 2{{i}^{2}}+6{{i}^{6}}+10{{i}^{10}}+…+2014{{i}^{2014}} \right)+\left( 3{{i}^{3}}+7{{i}^{7}}+11{{i}^{11}}+…+2015{{i}^{2015}} \right) \\& \,\,\,\,=1009+\sum\limits_{n=1}^{504}{\left( 4n \right)}+i\sum\limits_{n=1}^{505}{\left( 4n-3 \right)}-\sum\limits_{n=1}^{504}{\left( 4n-2 \right)}-i\sum\limits_{n=1}^{504}{\left( 4n-1 \right)} \\& \,\,\,\,=1009+509040+509545i-508032-508536i \\& \,\,\,\,=2017+1009i. \\\end{align}$
Cách 2:
Đặt $f\left( x \right)=1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+….+{{x}^{2017}}\Rightarrow $${f}’\left( x \right)=1+2x+3{{x}^{2}}+…+2017{{x}^{2016}}$
$\Rightarrow x{f}’\left( x \right)=x+2{{x}^{2}}+3{{x}^{3}}+…+2017{{x}^{2017}}\,\,\left( 1 \right)$
Mặt khác:
$\begin{align}& f\left( x \right)=1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+….+{{x}^{2017}}=\frac{{{x}^{2018}}-1}{x-1}\Rightarrow {f}’\left( x \right)=\frac{2018{{x}^{2017}}\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2018}}-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\& \text{ }\Rightarrow x{f}’\left( x \right)=x.\frac{2018{{x}^{2017}}\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2018}}-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\,\,\left( 2 \right) \\\end{align}$
Thay $x=i$ vào $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được: $(1)\Leftrightarrow S-1009;\text{ (1)=(2)}$ , nên:
$S=1009+i.\frac{2018{{i}^{2017}}\left( i-1 \right)-\left( {{i}^{2018}}-1 \right)}{{{\left( i-1 \right)}^{2}}}=1009+i\frac{-2018-2018i+2}{-2i}=2017+1009i.$
Câu 3:
Cho số phức $z,w$ khác 0 sao cho $\left| z-w \right|=2\left| z \right|=\left| w \right|$. Phần thực của số phức $u=\frac{z}{w}$ là ?
Giải:
Cách 1 : Gọi $u=a+bi\,\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ .
Ta có: $\left| z-w \right|=2\left| z \right|=\left| w \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left| u \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| w \right|}=\frac{1}{2} \\& \frac{\left| z-w \right|}{\left| w \right|}=\left| \frac{z-w}{w} \right|=\left| u-1 \right|=1 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{1}{4} \\& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\\end{align} \right.$ .
$\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}-{{a}^{2}}=-2a+1=\frac{3}{4}\Leftrightarrow a=\frac{1}{8}$
Cách 2: Gọi $w=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ .
Chọn $z=1\Rightarrow \left| z \right|=1\Rightarrow \left| 1-w \right|=2=\left| w \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\,\,\left( * \right) \\& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$ .
Thay $a=\frac{1}{2}$ vào $\left( * \right)\Rightarrow b=\frac{\sqrt{15}}{2}\Rightarrow u=\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2}i}=\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{15}}{8}i$ .
Câu 4:
Tính môđun của số phức $z$ biết $z\ne \left| z \right|$ và $\frac{1}{\left| z \right|-z}$ có phần thực bằng $4.$
Giải:
Cách 1: Giả sử $z=a+bi$ $\left( a,\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\frac{1}{\left| z \right|-z}=\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a-bi}$
$=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a+bi}{{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a}{{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i.$
Theo giả thiết: $\frac{1}{\left| z \right|-z}$ có phần thực bằng 4 nên $\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a}{{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=4$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a}{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-2a\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-a \right)}=4$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{1}{8}\Rightarrow \left| z \right|=\frac{1}{8}.$
Cách 2: Nếu $z=a+bi$ thì $z+\bar{z}=2a$.
Áp dụng: $\frac{1}{\left| z \right|-z}$ có phần thực bằng $4\Rightarrow $ $\frac{1}{\left| z \right|-z}+\overline{\frac{1}{\left| z \right|-z}}=8$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\left| z \right|-z}+\frac{1}{\left| z \right|-\bar{z}}=8\Leftrightarrow \frac{2\left| z \right|-z-\bar{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}-\left| z \right|\left( z+\bar{z} \right)+z.\bar{z}}=8\Leftrightarrow \frac{2\left| z \right|-z-\bar{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}-\left| z \right|\left( z+\bar{z} \right)+{{\left| z \right|}^{2}}}=8$
$\Leftrightarrow \frac{2\left| z \right|-z-\bar{z}}{2{{\left| z \right|}^{2}}-\left| z \right|\left( z+\bar{z} \right)}=8\Leftrightarrow \frac{2\left| z \right|-z-\bar{z}}{\left| z \right|\left( 2\left| z \right|-z-\bar{z} \right)}=8\Leftrightarrow \frac{1}{\left| z \right|}=8\Leftrightarrow \left| z \right|=\frac{1}{8}.$
| Nhận xét:
Trong bài toán tìm thuộc tính của số phức $z$ thỏa mãn điều kiện K cho trước, nếu K là thuần $z$ (tất cả đều$z$ ) hoặc thuần $\overline{z}$ thì đó là bài toán giải phương trình bậc nhất (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn $z$ hoặc $\overline{z}$. Còn nếu chứa hai loại trở lên ($z$ , $\overline{z}$,$\left| z \right|$) thì ta sẽ gọi $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Từ đó sử dụng các phép toán trên số phức để đưa về hai số phức bằng nhau để giải.. |
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Cách giải
Xét phương trình bậc hai $a{{z}^{2}}+bz+c=0,\text{ }\left( * \right)$ với $a\ne 0$ có: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$.
Nếu $\Delta =0$ thì $\left( * \right)$ có nghiệm kép: ${{z}_{1}}={{z}_{2}}=-\frac{b}{2a}$.
Nếu $\Delta \ne 0$ và gọi $\delta $ là căn bậc hai $\Delta $ thì $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt:
${{z}_{1}}=\frac{-b+\delta }{2a}\text{ }\vee \text{ }{{z}_{2}}=\frac{-b-\delta }{2a}$.
Lưu ý
Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức $\mathbb{C}$: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\frac{b}{a}$ và ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{c}{a}$.
Căn bậc hai của số phức $z=x+yi$ là một số phức w và tìm như sau:
+ Đặt $w=\sqrt{z}=\sqrt{x+yi}=a+bi$ với $x,y,a,b\in \mathbb{R}$.
+ ${{w}^{2}}=x+yi={{\left( a+bi \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)+2abi=x+yi$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=x \\& 2ab=y \\\end{align} \right.$.
+ Giải hệ này với $a,b\in \mathbb{R}$ sẽ tìm được a và b $\Rightarrow w=\sqrt{z}=a+bi$.
2. Bài tập mẫu
Câu 1:
Biết $z$là số phức có phần ảo âm và là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-6z+10=0$. Tính tổng phần thực và phẩn ảo của số phức $\text{w}=\frac{z}{\overline{z}}$.
A. $\frac{7}{5}$. B. $\frac{1}{5}$. C. $\frac{2}{5}$. D. $\frac{4}{5}$.
Lời giải
Ta có: ${{z}^{2}}-6z+10=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& z=3-i \\& z=3+i \\\end{align} \right.$. Vì $z$là số phức có phần ảo âm nên $\Leftrightarrow z=3-i$
Suy ra $\text{w}=\frac{z}{\overline{z}}=\frac{3-i}{3+i}=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$
Tổng phần thực và phần ảo: $\frac{4}{5}+\left( -\frac{3}{5} \right)=\frac{1}{5}$.
Câu 2:
Kí hiệu ${{z}_{1}};$${{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình $3{{z}^{2}}-z+1=0$. Tính $P=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$.
A. $P=\frac{\sqrt{14}}{3}$. B. $P=\frac{2}{3}$. C. $P=\frac{\sqrt{3}}{3}$. D. $P=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Lời giải
Cách 1:
Ta có $3{{z}^{2}}-z+1=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow \left( z-\frac{1}{6} \right){}^{2}=-\frac{11}{36}$
$\Leftrightarrow \left( z-\frac{1}{6} \right){}^{2}=\frac{11}{36}{{i}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& z=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{11}}{6}i \\& z=\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{11}}{6}i \\\end{align} \right.$.
Khi đó $P\,=\,\sqrt{{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{11}}{6} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{\sqrt{11}}{6} \right)}^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Cách 2:
Theo tính chất phương trình bậc 2 với hệ số thực, ta có ${{z}_{1}};$${{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp nên ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left| z_{1}^{2} \right|=\left| z_{2}^{2} \right|$. Mà ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\frac{1}{3}$ suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $P=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Câu 3:
Gọi $A,\ B$ là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cho các số phức ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0,$ khi đó tam giác $OAB$($O$ là gốc tọa độ):
A. Là tam giác đều. B. Là tam giác vuông.
C. Là tam giác cân, không đều. D. Là tam giác tù.
Lời giải
Cách 1:
+ Gọi ${{z}_{1}}=a+bi\quad (a,\ b\in \mathbb{R}:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0)$. $A\left( a;b \right)$.
Khi đó ${{z}_{2}}$là nghiệm phương trình: $z_{2}^{2}-\left( a+bi \right){{z}_{2}}+{{\left( a+bi \right)}^{2}}=0$
+ Ta có: $\Delta ={{\left( a+bi \right)}^{2}}-4{{\left( a+bi \right)}^{2}}=-3{{\left( a+bi \right)}^{2}}={{\left[ \sqrt{3}\left( a+bi \right)i \right]}^{2}}={{\left[ \sqrt{3}\left( -b+ai \right) \right]}^{2}}$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${{z}_{2}}=\frac{a-\sqrt{3}b}{2}+\frac{\sqrt{3}a+b}{2}i$ nên $B\left( \frac{a-\sqrt{3}b}{2};\frac{\sqrt{3}a+b}{2} \right)$.
Hoặc ${{z}_{2}}=\frac{a+\sqrt{3}b}{2}+\frac{-\sqrt{3}a+b}{2}i$ nên $B\left( \frac{a+\sqrt{3}b}{2};\frac{-\sqrt{3}a+b}{2} \right)$.
+ Tính $O{{A}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}},$$O{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}},$$A{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.$ Vậy tam giác $OAB$đều.
Cách 2:
Theo giả thiết: $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Rightarrow \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{z}_{1}}^{3}+{{z}^{3}}_{2}=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}^{3}=-{{z}_{2}}^{3}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\to OA=OB$.
Mặt khác: $z_{2}^{1}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}=-{{z}_{1}}{{z}_{2}}$
$\Rightarrow \left| {{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| -{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow A{{B}^{2}}=OA.OB$.
Mà $OA=OB$ nên $AB=OA=OB$.
Vậy tam giác $OAB$đều.
Cách 3:
+ $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{2}}-\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+1=0$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{2}}-\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+1=0\Leftrightarrow \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}\Rightarrow \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=1\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$
Vậy $OA=OB$.
Mặt khác: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}{{z}_{2}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow AB=OB$
Vậy tam giác $OAB$đều.
Câu 4:
Cho phương trình ${{x}^{2}}-4x+\frac{c}{d}=0$ có hai nghiệm phức. Gọi $A$, $B$ là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng $Oxy$. Biết tam giác $OAB$ đều, tính $P=c+2d$.
A. $P=18$. B. $P=-10$. C. $P=-14$. D. $P=22$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${{x}^{2}}-4x+\frac{c}{d}=0$có hai nghiệm phức$\Leftrightarrow $ ${\Delta }’=4-\frac{c}{d}<0$.
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức ${{x}_{1}}=2+\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}\,i$; ${{x}_{2}}=2-\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}\,i$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai điểm biểu diễn của ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ trên mặt phẳng $Oxy$ ta có:
$A\left( 2\,;\,\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|} \right)$; $B\left( 2\,;\,-\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|} \right)$.
Ta có: $AB=2\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}$; $OA=OB=\sqrt{4+\left| {{\Delta }’} \right|}$.
Tam giác $OAB$ đều khi và chỉ khi $AB=OA=OB\Leftrightarrow 2\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}=\sqrt{4+\left| {{\Delta }’} \right|}\Leftrightarrow 4\left| {{\Delta }’} \right|=4+\left| {{\Delta }’} \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{\Delta }’} \right|=\frac{4}{3}$. Vì ${\Delta }'<0$ nên ${\Delta }’=-\frac{4}{3}$ hay $4-\frac{c}{d}=-\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{c}{d}=\frac{16}{3}$.
Từ đó ta có $c=16$; $d=3$.
Vậy: $P=c+2d=22$.
Xem thêm:
Lý thuyết và dạng bài tập mẫu của max min số phức
Cách giải và bài tập mẫu chia 2 số phức