Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài viết sau đây giới thiệu đến các cách giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Cách 1: ĐK: $f\left( x \right)>0$

Đặt $t={{\log }_{a}}f\left( x \right)$. Khi đó phương trình (1) trở thành $A.{{t}^{2}}+B.t+C=0.$(2)

Giải (2), trả lại ẩn cũ ta được các phương trình cơ bản.

Cách 2: $A.\log _{a}^{2}f\left( x \right)+B.{{\log }_{a}}f\left( x \right)+C=0\Leftrightarrow A.{{\left( {{\log }_{a}}f\left( x \right) \right)}^{2}}+B.{{\log }_{a}}f\left( x \right)+C=0$.

Đây là phương trình dạng bậc hai đối với ${{\log }_{a}}f\left( x \right)$, ta có thể tính nhanh nghiệm bằng máy tính.

2. BÀI TẬP MẪU GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ

Câu 1: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  $4\log _{3}^{2}\sqrt{x+1}-6{{\log }_{9}}\left( x+1 \right)+2=0$

Lời giải

giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Vậy PT có nghiệm là $x=2;x=8$.

Câu 2: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right).{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-3 \right)=12$

Lời giải

Điều kiện: $x>0$

(*) $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right).{{\log }_{3}}3\left( {{3}^{x}}-1 \right)=12\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)\left[ {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)+1 \right]=12$

$\Leftrightarrow \log _{_{3}}^{2}\left( {{3}^{x}}-1 \right)+{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)-12=0$ (1)

giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

$t=-4\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)=-4\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\frac{82}{81}$ (thỏa điều kiện)

$t=3\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)=3\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}28$ (thỏa điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{ {{\log }_{3}}\frac{82}{81};{{\log }_{3}}28 \right\}$.

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu lũy thừa

Câu 3: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  ${{\log }_{1-2x}}\left( 6{{x}^{2}}-5x+1 \right)-{{\log }_{1-3x}}\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)-2=0$

Lời giải

Điều kiện $x<\frac{1}{3},x\ne 0$

(*)$\Leftrightarrow {{\log }_{1-2x}}\left[ \left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right) \right]-{{\log }_{1-3x}}{{\left( 1-2x \right)}^{2}}-2=0\Leftrightarrow {{\log }_{1-2x}}\left( 1-3x \right)-2{{\log }_{1-3x}}\left( 1-2x \right)-1=0$ (1)

Đặt $t={{\log }_{1-2x}}\left( 1-3x \right)\Rightarrow {{\log }_{1-3x}}\left( 1-2x \right)=\frac{1}{t}$.

giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của PT là $x=\frac{1}{4}$.

Câu 4: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  $3{{\log }_{x}}4+4{{\log }_{4x}}2+2{{\log }_{16x}}8=0$

Lời giải

ĐKXĐ: $0<x\notin \left\{ 1;\frac{1}{4};\frac{1}{16} \right\}$

$(*)\Leftrightarrow \frac{6}{{{\log }_{2}}x}+\frac{4}{{{\log }_{2}}4x}+\frac{6}{{{\log }_{2}}16x}=0\Leftrightarrow \frac{3}{{{\log }_{2}}x}+\frac{2}{2+{{\log }_{2}}x}+\frac{3}{4+{{\log }_{2}}x}=0$ (1) 

Đặt: ${{\log }_{2}}x=t$ , $t\notin \left\{ 0;-2;-4 \right\}$. Phương trình (1) trở thành:

giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

+) $t=-1\Rightarrow {{\log }_{2}}x=-1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

+)$t=-3\Rightarrow {{\log }_{2}}x=-3\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{ \frac{1}{2};\frac{1}{8} \right\}$ .

Câu 5: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau ${{5}^{\log x}}+{{x}^{\log 5}}=50$

Lời giải

ĐKXĐ: $x>0$. Đặt $t=\log x\Leftrightarrow x={{10}^{t}}$. Khi đó ta có (*) trở thành

${{5}^{t}}+{{\left( {{10}^{t}} \right)}^{\log 5}}=50\Leftrightarrow {{5}^{t}}+{{5}^{t}}=50\Leftrightarrow t=2\Rightarrow x=100$.

Vậy PT có nghiệm $x=100$.

Câu 6: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  ${{4}^{\log 10x}}-{{6}^{\operatorname{logx}}}={{2.3}^{\log \left( 100{{x}^{2}} \right)}}$

Lời giải

(*) $\Leftrightarrow {{4}^{\log 10x}}-{{6}^{\log x}}={{2.3}^{\log \left( 100{{x}^{2}} \right)}}\Leftrightarrow {{4.4}^{\log x}}-{{6}^{\log x}}={{18.9}^{\log x}}$

giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Vậy PT có nghiệm $x=\frac{1}{100}$.

Câu 7: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  ${{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{{{\log }_{3}}x}}-{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{{{\log }_{3}}x}}=\frac{2x}{3}$

Lời giải

ĐKXĐ: $x>0$

(*)$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{{{\log }_{3}}x}}-{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{{{\log }_{3}}x}}=\frac{2}{3}{{.3}^{{{\log }_{3}}x}}$$\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{\log }_{3}}x}}-{{\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{\log }_{3}}x}}=\frac{2}{3}$       (1)

Đặt $t={{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{\log }_{3}}x}};\,\,\,t>0$ phương trình (1) trở thành:

giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Với $t=\frac{1+\sqrt{10}}{3}\Rightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{\log }_{3}}x}}=\frac{1+\sqrt{10}}{3}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x=1\Leftrightarrow x=3$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{ 3 \right\}$.

Câu 8: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  ${{\left( 2+\sqrt{2} \right)}^{{{\log }_{2}}x}}+x{{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{{{\log }_{2}}x}}=1+{{x}^{2}}$

Lời giải

Điều kiện $x>0$. Ta có ${{\left( 2+\sqrt{2} \right)}^{{{\log }_{2}}x}}.{{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{{{\log }_{2}}x}}=x$. Đặt $t={{\left( 2+\sqrt{2} \right)}^{{{\log }_{2}}x}}\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{{{\log }_{2}}x}}=\frac{x}{t}\ \left( t>0 \right)$.

+ $t=1\Rightarrow x=1$.

+ $t={{x}^{2}}\Rightarrow {{\left( 2+\sqrt{2} \right)}^{{{\log }_{2}}x}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x.lo{{g}_{2}}\left( 2+\sqrt{2} \right)=2{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=0\Leftrightarrow x=1$.

Vậy PT có nghiệm $x=1$.

Câu 9: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  ${{7}^{x-1}}=6{{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)+1.$

Lời giải

Điều kiện: $x>\frac{5}{6}.$

Đặt $y-1={{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)$ thì ta có hệ phương trình

Xét hàm số $f\left( t \right)={{7}^{t-1}}+6t$ với $t>\frac{5}{6}$ thì $f’\left( t \right)={{7}^{t-1}}\ln 7+6>0,\forall t>\frac{5}{6}\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến nên

$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y$ khi đó ta có phương trình ${{7}^{x-1}}-6x+5=0.$ (3)

Xét hàm số $g\left( x \right)={{7}^{x-1}}-6x+5$ với $x>\frac{5}{6}$ thì $g’\left( x \right)={{7}^{x-1}}\ln 7-6\Rightarrow g”\left( x \right)={{7}^{x-1}}{{\left( \ln 7 \right)}^{2}}>0$ $\forall x>\frac{5}{6}$

nên suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ có không quá hai nghiệm.

Mặt khác $g\left( 1 \right)=g\left( 2 \right)=0$ nên $x=1$ và $x=2$ là 2 nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=1$ và $x=2$.

Xem thêm:

Lý thuyết và bài tập mẫu phương trình mũ và logarit

Cách giải và bài tập mẫu tập xác định của hàm số mũ

Lý thuyết và bài tập mẫu lũy thừa