I. LÝ THUYẾT
1) Nhánh vô cực của đường cong $\left( C \right):y=f\left( x \right)$
Gọi $M\left( x;y \right)\in \left( C \right)$.
VD1: Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{2}}$ có nhánh vô cực
VD2: Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ không có nhánh vô cực
vì $M\left( x;y \right)\in \left( C \right)$$\Rightarrow $ $-2\le x\le 2$ và $0\le y\le 2$.
2) Tiệm cận của đường cong
Cho đường cong $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ và $M\left( x;y \right)\in \left( C \right)$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $\left( \Delta \right)$.
Đường thẳng $\left( \Delta \right)$ được gọi là tiệm cận của $\left( C \right)$ khi và chỉ khi khoảng cách $MH$ từ $M$ đến $\left( \Delta \right)$ tiến về 0 khi $M$ vẽ nên nhánh vô cực của $\left( C \right)$.
Như vậy: $\left( \Delta \right)$ tiệm cận của $(C)$$\Leftrightarrow \underset{M\to \infty }{\mathop{\lim }}\,MH=0$
3) Định nghĩa đường TCĐ và TCN của đồ thị hàm số
a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là đường tiệm cận đúng
(TCĐ) của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn ít nhất
một trong các điều kiện sau:
$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty $; $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty $
$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty $; $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty $
b) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có xác định trên một khoảng vô hạn
là khoảng có một trong các dạng $(a,+\infty )$; $(-\infty ,a)$; $(-\infty ,+\infty )$.Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ được gọi là đường TCN (hay TCN) của đồ thị nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}$; $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}$
- Lưu ý:
i, Hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ac\ne 0$ có tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$ ; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$.
ii, Hàm $y=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$ với $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ là những hàm đa thức
+) Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì có tiệm cận ngang $y=0$.
+) Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang $y=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$ với ${{a}_{n}},\,\,{{b}_{n}}$ là hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử và dưới mẫu.
+) Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.
iii, Ứng dụng máy tính CASIO để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang
Để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang của một hàm số thông qua máy tính CASIO, ta sử dụng phím CALC trên máy.
Một số lưu ý về kết quả và cách bấm:
| Giới hạn | Thao tác trên máy tính |
| $x\to x_{o}^{+}$ | CALC ${{x}_{o}}+{{10}^{-10}}$ |
| $x\to x_{o}^{-}$ | CALC ${{x}_{o}}-{{10}^{-10}}$ |
| $x\to +\infty $ | CALC ${{10}^{10}}$ |
| $x\to -\infty $ | CALC $-{{10}^{10}}$ . |
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)=\frac{2x-3}{x+2}$. Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$.
Lời giải
Vì $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2$ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là $y=2$.
Vì $\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng $x=-2$.
Do đó đồ thị hàm số có tổng số 2 tiệm cận kể cả đứng và ngang.
Câu 2: Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trên.
Lời giải
Nhìn vào đồ thị, ta có: $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $ và $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty $. Do đó, đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2.$
Theo đồ thị, ta cũng có: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1$. Do đó, đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ tiệm cận ngang $y=1$.
Câu 3: Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g(x)=\frac{(x+1)({{x}^{2}}-1)}{{{f}^{2}}(x)-2f(x)}$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số,ta thấy:
$(1)\,$có nghiệm${{x}_{1}}=a<-1$ (nghiệm đơn) và ${{x}_{2}}=1$ (nghiệm kép)$\Rightarrow f(x)=k(x-a){{(x-1)}^{2}}\left( k\ne 0 \right)$
$(2)$ có nghiệm ba nghiệm đơn ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},\text{ }{{x}_{3}}$với ${{x}_{1}}=b<-1<{{x}_{2}}=0<1<{{x}_{3}}=c$ $\Rightarrow f(x)-2=k(x-b)x(x-c)\text{ }\left( k\ne 0 \right).$
$\Rightarrow $Hàm số $y=g(x)$có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ a;\,b;\,0;\,1;\,c \right\}$
+) Tìm tiệm cận ngang:
Vì $g(x)=\frac{(x+1)({{x}^{2}}-1)}{{{f}^{2}}(x)-2f(x)}=\frac{(x+1)({{x}^{2}}-1)}{f(x)\left[ f(x)-2 \right]}=\frac{{{(x+1)}^{2}}}{{{k}^{2}}(x-1)(x-b)x(x-c)(x-a)}$ nên$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0,$$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$$\Rightarrow $Đồ thị hàm số $y=g(x)$ nhận đường thẳng $y=0$ làm tiệm cận ngang.
+) Tìm tiệm cận đứng:
Tại các điểm $x=a,\text{ }x=b,\text{ }x=0,\text{ }x=1,\text{ }x=c$ mẫu của $g\left( x \right)$ nhận giá trị bằng $0$còn tử nhận các giá trị dương. Và do hàm số xác định trên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ a;\,b;\,0;\,1;\,c \right\}$nên giới hạn một bên của hàm số $y=g\left( x \right)$tại các điểm $x=a,\text{ }x=b,\text{ }x=0,\text{ }x=1,\text{ }x=c$ là các giới hạn vô cực. Do đó, đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$có 5 tiệm cận đứng, đó là các đường thẳng $x=a,\text{ }x=b,\text{ }x=0,\text{ }x=1,\text{ }x=c$. Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$có 6 đường tiệm cận: 1 tiệm cận ngang $y=0$ và 5 tiệm cận đứng $x=a,\text{ }x=b,\text{ }x=0,\text{ }x=1,\text{ }x=c$.
Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{x-m}{{{x}^{2}}+3x-4}$ . Giá trị nào của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 tiệm cận đứng?
Lời giải
Ta có: $y=\frac{x-m}{{{x}^{2}}+3x-4}=\frac{x-m}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}$ .
*) Với $m=1$
Thì $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{1}{5}\,\,;\,\,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{1}{5}\,$ và $\underset{x\to -4+}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=+\infty $
$\Rightarrow $ Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là $x=-4$
*) Với $m=-4$
Thì $\underset{x\to -{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{-1}{5}\,\,;\,\underset{x\to -{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{-1}{5}$ và $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=+\infty $
$\Rightarrow $ Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là $x=1$
*) Với $m\ne 1,-4$ thì đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là $x=1\,,\,\,x=-4$
Vậy $m=1,m=-4$ thì đồ thị hàm số đã cho có đúng $1$ tiệm cận đứng.
Câu 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình dưới đây
Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( \frac{2-x}{x+1} \right)$
Lời giải
Hàm số $y=g\left( x \right)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}.$
Dựa vào đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ ta có:
Do $\underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( \frac{2-x}{x+1} \right)=-\infty $ và $\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( \frac{2-x}{x+1} \right)=+\infty $ nên $x=-1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ .
Do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( \frac{2-x}{x+1} \right)=4$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( \frac{2-x}{x+1} \right)=4$ nên $y=4$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ .
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( \frac{2-x}{x+1} \right)$ có $1$ đường tiệm cận đứng là $x=-1$ và có $1$ tiệm cận ngang là $y=4$.
Câu 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ và có bảng biến thiên như sau
Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g(x)=\frac{1}{2f\left( x \right)-3}$
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
$\centerdot \underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-3}=+\infty $, $\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-3}=-\infty \Rightarrow $Đường thẳng$x={{x}_{1}}$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-3}$ .
$\centerdot \underset{x\to {{x}_{2}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{x}_{2}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-3}=-\infty $, $\underset{x\to {{x}_{2}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{x}_{2}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-3}=+\infty \Rightarrow $Đường thẳng$x={{x}_{2}}$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-3}$.
$\centerdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-3}=0$, $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-3}=0\Rightarrow $Đường thẳng$y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-3}$.
Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-3}$ có $2$ đường tiệm cận đứng là $x={{x}_{1}}$;$x={{x}_{2}}$và $1$ tiệm cận ngang là $y=0$.
Xem thêm: