Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về giáo án đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cũng như cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Để có thể làm được các dạng bài tập trong bài 3 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của này như sau:
1. Định nghĩa:
Đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng $a$ chứa trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Kí hiệu $d\bot \left( \alpha \right)$ hay $\left( \alpha \right)\bot d$.
2. Định lý:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng chứa trong mặt phẳng ấy.
Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.
3. Các tính chất:
Tính chất 1:
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Tính chất 2:
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
* Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và vuông góc với đường thẳng $AB$.
Tính chất 3:
Một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì đường thẳng nào song song đường thẳng ấy.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 4:
Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì mặt phẳng nào song song mặt phẳng ấy.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 5:
Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì đường thẳng nào song song mặt phẳng ấy.
Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
4. Phép chiếu vuông góc
Phép chiếu vuông góc: Cho đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với nhau. Phép chiếu song song theo phương của $\Delta $ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Còn có thể gọi là “Phép chiếu lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$”.
Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng $a$ chứa trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $b$ là đường thẳng không chứa trong $\left( \alpha \right)$ đồng thời không vuông góc với $\left( \alpha \right)$. Gọi ${b}’$ là hình chiếu của $b$ trên $\left( \alpha \right)$. Khi đó $a$ vuông góc với $b$ khi và chỉ khi $a$ vuông góc với ${b}’$.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
a) Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì ta nói góc giữa chúng bằng $90{}^\circ $.
b) Nếu đường thẳng $d$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì góc giữa chúng bằng góc giữa đường thẳng $d$ và hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
Viết dạng mệnh đề: $d//\left( P \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a\subset \left( P \right) \\& d//a \\\end{align} \right.$.
2. Tính chất giao tuyến song song:
Nếu hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ chứa hai đường thẳng $a,\,\,b$ song song với nhau thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng phải song song với $a$ và $b$.
Viết dạng mệnh đề: $\left\{ \begin{align}& a\subset \left( P \right);\,\,b\subset \left( Q \right);\,\,\left( P \right)\cap \left( Q \right)=\Delta \\& a//b \\\end{align} \right.\to \Delta //a//b$.
3. Tính chất để dựng thiết diện song song:
Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$; một mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $a$, cắt $\left( P \right)$ theo giao tuyến $\Delta $ thì $\Delta $ phải song song với $a$.
Viết dạng mệnh đề: $\left\{ \begin{align}& a//\left( P \right) \\& a\subset \left( Q \right) \\& \left( P \right)\cap \left( Q \right)=\Delta \\\end{align} \right.\to \Delta //a$.
4. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Định nghĩa: Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ khi nó vuông góc với mọi đường thẳng $a$ nằm trong $\left( P \right)$.
Viết dạng mệnh đề: $d\bot \left( P \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \forall a\subset \left( P \right) \\& d\bot a \\\end{align} \right.$.
+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng $d$ vuông góc với $\left( P \right)$ ta chỉ cần chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $\left( P \right)$.
+ Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt ${{d}_{1}};\,\,{{d}_{2}}$ cùng vuông góc với $\left( P \right)$ thì ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$.
+ Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng $\left( {{P}_{1}} \right);\,\,\left( {{P}_{2}} \right)$ cùng vuông góc với đường thẳng $d$ thì $\left( {{P}_{1}} \right)//\left( {{P}_{2}} \right)$.
+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng $d$ cùng vuông góc với một đường thẳng $a$ và một mặt phẳng $\left( P \right)$ thì khi đó đường thẳng $a$ hoặc song song với $\left( P \right)$ hoặc nằm trong $\left( P \right)$.
Viết dạng mệnh đề: $\left\{ \begin{align}& d\bot a \\& d\bot \left( P \right) \\\end{align} \right.$$\to \left[ \begin{align}& a//\left( P \right) \\& a\subset \left( P \right) \\\end{align} \right.$.
+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng $d$ có hình chiếu vuông góc xuống $\left( P \right)$ là ${d}’$; đường thẳng $a$ nằm trong $\left( P \right)$ vuông góc với $d$ khi và chỉ khi $a$ vuông góc với ${d}’$.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
1) Khái niệm
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng.
2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử cần xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, ta thực hiện theo các bước sau
– Tìm hình chiếu ${d}’$ của $d$ lên $\left( P \right)$
– Khi đó, $\widehat{\left( d,\left( P \right) \right)}=\widehat{\left( d,{d}’ \right)}$, và bài toán quay về tìm góc giữa hai đường thẳng.
Chú ý:
Thông thường đường thẳng $d$ cho dạng đoạn thẳng ($MN$ chẳng hạn), khi đó để tìm hình chiếu của $MN$ ta tìm hình chiếu của từng điểm $M$và $N$ xuống $\left( P \right)$, tức là tìm các điểm $H,K$ sao cho $MH\bot \left( P \right)$, $NK\bot \left( P \right)$
DẠNG 3. THIẾT DIỆN:
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng của một hình không gian lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài giảng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải rất chi tiết, dễ hiểu để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:
Bài tập 1: Cho tứ diện $ABCD$ có $DA\bot \left( ABC \right)$, tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $AB=AC=a;\,\,BC=\frac{6a}{5}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, kẻ $AH\bot MD$ với $H$ thuộc $MD$.
a. Chứng minh rằng $AH\bot \left( BCD \right)$
b. Cho $AD=\frac{4a}{5}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $DM$.
c. Gọi ${{G}_{1}};\,\,{{G}_{2}}$ là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $DBC$. Chứng minh rằng ${{G}_{1}}{{G}_{2}}\bot \left( ABC \right)$.
Lời giải
a.Ta có: $DA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow DA\bot BC$; $AM\bot BC$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$).
Do đó, $BC\bot \left( DAM \right)\Rightarrow BC\bot AH$ (do $AH\subset \left( DAM \right)$.
Mà $AH\bot DM$ (theo giả thiết)
Do vậy, $AH\bot \left( BCD \right)$.
b. Hình chiếu vuông góc của $DM$ trên $\left( ABC \right)$ là $AM$. Do đó, góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $DM$ chính là góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $AM$ là góc $\widehat{CAM}$.
Xét $\Delta AMC$ có $AC=a;\,\,CM=\frac{3a}{5}$:
$\sin \widehat{CAM}=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{3a}{5}}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{CAM}\approx 37{}^\circ $.
c. Xét $\Delta MAD$ ta có:
$\frac{M{{G}_{1}}}{MA}=\frac{M{{G}_{2}}}{MD}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}//AD$.
Mà $AD\bot \left( ABC \right)$ nên ${{G}_{1}}{{G}_{2}}\bot \left( ABC \right)$
Bài tập 2: Cho tứ diện $OABC$ có $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc. Kẻ $OH\bot \left( ABC \right)$.
a. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ có ba góc nhọn.
b. Chứng minh $OA\bot BC;\,\,OB\bot AC;\,\,OC\bot AB$
c. Chứng minh rằng $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
d. Chứng minh rằng $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}$.
Lời giải
a. Ta có: $O{A}’$ là đường cao của tam giác vuông $OBC$,
$\text{A{A}’}$ là đường cao của tam giác $ABC$
$\Rightarrow \widehat{ACB};\,\,\widehat{ABC}$ là hai góc nhọn.
Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{BAC}$ là góc nhọn.
b. $\left\{ \begin{align}& OA\bot OB \\ & OA\bot OC \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow OA\bot \left( OBC \right)\Rightarrow OA\bot BC$.
Chứng minh tương tự: $\,OB\bot AC;\,\,OC\bot AB$.
c. $\left\{ \begin{align}& BC\bot OH \\ & BC\bot OA \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow BC\bot \left( OAH \right)\Rightarrow AH\bot BC$
Chứng minh tương tự: $BH\bot AC;\,\,CH\bot AB$
Vậy, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
d. Xét $\Delta OA{A}’$ có:
$\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{{{A}’}}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Xét $\Delta OBC$ có:
$\frac{1}{O{{{{A}’}}^{2}}}=\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) ta có: $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}$
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
Bài 1: Cho hình vuông $ABCD$ và tam giác đều $SAB$ cạnh $a$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.
a) Chứng minh $SI\bot \left( ABCD \right)$ và tính góc hợp bởi $SC$ và $\left( ABCD \right)$.
b) Tính khoảng cách từ $B$ đến $\left( SAD \right)$. Từ đó suy ra góc của $SC$ với $\left( SAD \right)$.
c) Gọi $J$ là trung điểm của $CD$, chứng minh $\left( SIJ \right)\bot \left( ABCD \right)$.
d) Tính góc hợp bởi $SI$ với $\left( SCD \right)$
Lời giải
a) $\Delta SAB$ đều, $I$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow SI\bot AB$
Có $\left\{ \begin{align}& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\& SI\bot AB \\\end{align} \right.$$\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right)$
Có $IC$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( ABCD \right)$$\Rightarrow \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\widehat{\left( SC,AC \right)}=\widehat{SCA}$
$IC=\sqrt{B{{I}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$; $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$\tan \widehat{SCA}=\frac{SI}{IC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$$\Rightarrow \widehat{SCA}\text{=arctan}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\text{arctan}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $SA$$\Rightarrow BM\bot SA$$\Rightarrow BM\bot \left( SAD \right)$$\Rightarrow d\left( B,\left( SAD \right) \right)=BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Tính góc của $SC$ với $\left( SAD \right)$.
Gọi $\left( BCM \right)\cap \left( SAD \right)=d$$\Rightarrow d$ qua $M$ và song song với $BC$.
Trong mặt phẳng $\left( BCM \right)$, dựng $CE//BM\left( E\in d \right)$$\Rightarrow CE\bot \left( SCD \right)$$\Rightarrow SE$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( SAD \right)$$\Rightarrow \left( SC,\left( SAD \right) \right)=\widehat{\left( SC,SE \right)}=\widehat{ESC}$
Có $CE=BM=\frac{a\sqrt{3}}{2};IC=\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$\sin \widehat{ESC}=\frac{CE}{SC}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$$\Rightarrow \widehat{ESC}=\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$
$\Rightarrow \left( SC,\left( SAD \right) \right)=\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$
c) Có $\left\{ \begin{align}& SI\bot \left( ABCD \right) \\& SI\subset \left( SIJ \right) \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left( SIJ \right)\bot \left( ABCD \right)$
d) Có $\left\{ \begin{align}& CD\bot IJ \\& CD\bot SI \\\end{align} \right.\Rightarrow \left( SIJ \right)\bot CD\Rightarrow \left( SIJ \right)\bot \left( SCD \right)$
Trong mặt phẳng $\left( SIJ \right)$, dựng $IK\bot SJ\Rightarrow IK\bot \left( SCD \right)$$\Rightarrow SK$ là hình chiếu của $SI$ trên $\left( SCD \right)$
$\Rightarrow \left( SI,\left( SCD \right) \right)=\widehat{\left( SI,SK \right)}=\widehat{\left( SI,SJ \right)}=\widehat{ISJ}$
$\tan \widehat{ISJ}=\frac{IJ}{SI}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$\Rightarrow \widehat{ISJ}=\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}$
Vậy $\Rightarrow \left( SI,\left( SCD \right) \right)=\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}$
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$ và $BC$. Biết góc giữa $MN$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là ${{60}^{0}}$.
a) Tính độ dài $MN$.
b) Tính cosin của góc giữa $MN$ và $\left( SBD \right)$.
Lời giải
a) Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\bot \left( ABCD \right)$
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $\left( ABCD \right)$$\Rightarrow H$ là trung điểm của $AO$.
Áp dụng định lí cosi vào tam giác $CHN$, ta có
$H{{N}^{2}}=C{{H}^{2}}+C{{N}^{2}}-2.CH.CN.c\text{os}{{45}^{0}}$$={{\left( \frac{3}{4}.a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}-2.\frac{3}{4}.a\sqrt{2}.\frac{a}{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{5{{\text{a}}^{2}}}{8}$
Có $HN$ là hình chiếu của $MN$ trên $\left( ABCD \right)$$\Rightarrow \left( MN,\left( \left( ABCD \right) \right) \right)=\widehat{\left( MN,HN \right)}=\widehat{MNH}={{60}^{0}}$
$\text{cos}\widehat{MNH}=\frac{HN}{MN}$$\Rightarrow MN=\frac{HN}{\text{cos}\widehat{MNH}}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}}{c\text{os}{{60}^{0}}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Vậy $MN=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
b) Gọi $E$ là trung điểm của $SD$, ta có $MN//CE$$\Rightarrow \left( MN,\left( SBD \right) \right)=\left( EC,\left( SBD \right) \right)$
Có $CO\bot \left( SBD \right)$$\Rightarrow OE$ là hình chiếu của $CE$ trên $\left( SBD \right)$$\Rightarrow \left( EC,\left( SBD \right) \right)=\widehat{\left( EC,EO \right)}=\widehat{CEO}$
Trong tam giác vuông $CEO$ có $c\text{os}\widehat{CEO}=\frac{EO}{EC}$
$EC=MN=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
$EO=\frac{1}{2}SB$
Xét tam giác vuông $HMN$ có $\sin \widehat{MNH}=\frac{MH}{MN}\Rightarrow MH=MN.\sin \widehat{MNH}=\frac{a\sqrt{10}}{2}.\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{30}}{4}$
$\Rightarrow SO=2MH=\frac{a\sqrt{30}}{2}$.
Xét tam giác vuông $SOB$ vuông tại $B$ có $S{{B}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}={{\left( \frac{a\sqrt{30}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=8{{\text{a}}^{2}}$$\Rightarrow SB=2\text{a}\sqrt{2}$
$\Rightarrow OE=a\sqrt{2}$
Do đó $c\text{os}\widehat{CEO}=\frac{EO}{EC}=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{a\sqrt{10}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
DẠNG 3. THIẾT DIỆN:
Cho tứ diện $SABC$với $ABC$là tam giác vuông cân đỉnh$B$, $AB=a$. $SA\bot \left( ABC \right)$và $SA=a\sqrt{3}$. $M$ là một điểm tuỳ ý trên cạnh $AB$, đặt $AM=x\left( 0<x<a \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $M$vàvuông góc với $AB$.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với $\left( P \right)$ ?
b) Tính diện tích của thiết diện đó theo $a$ và $x$ ?
Lời giải
a) Tìm thiết diện của tứ diện với $\left( P \right)$ ?
Ta có: $\left\{ \begin{align}& \left( P \right)\bot AB \\& BC\bot AB \\\end{align} \right.$$\Rightarrow BC//\left( P \right)$.
Từ $M$ ta kẻ $MD//BC,D\in AC$
$\Rightarrow MD=\left( P \right)\cap \left( ABC \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{align}& \left( P \right)\bot AB \\& SA\bot AB \\\end{align} \right.$$\Rightarrow SA//\left( P \right)$.
Từ $M$ kẻ $MN//SA\Rightarrow MN=\left( P \right)\cap \left( SAB \right)$
$\Rightarrow MND$ là thiết diện của $\left( P \right)$ với $S.ABC$.
b/ Tính diện tích của thiết diện đó theo $a$ và $x$?
$\Delta MND$vuông tại $M$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta MND}}=\frac{1}{2}MN.MD$.
Ta có: $MN//SA\Rightarrow \frac{MN}{SA}=\frac{MD}{AB}\Rightarrow MN=\frac{SA.MD}{AB}=\frac{a\sqrt{3}\left( a-x \right)}{a}=\left( a-x \right)\sqrt{3}$.
Ta có: $MD//BC\Rightarrow \frac{MD}{BC}=\frac{AM}{AB}\Rightarrow MD=\frac{BC.AM}{AB}=\frac{a.x}{a}=x$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta MND}}=\frac{1}{2}MN.MD=\left( a-x \right)x\sqrt{3}$.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài tập về chuyên đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11 mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về giải bài tập giáo án đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất có thể nhé!