Nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4 và các bài tập mẫu

Ở bài trước Khoa Cử đã giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3. Tiếp tục mạch kiến thức đó, hôm nay chúng tôi sẽ hướng dẫn nhận dạng các dạng đồ thị hàm số bậc 4 và các bài tập mẫu khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4. Chia sẻ để hiểu rõ hơn về chuyên đề Đại số quan trọng này!

SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;

Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)$;

Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ${f}'(x)=0$;

Bước 4. Tính giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);

Bước 5. Lập bảng biến thiên;

Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);

Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục $Ox$, $Oy$, các điểm đối xứng, …);

Bước 8. Vẽ đồ thị..

HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\text{  }\left( a\ne 0 \right)$

TRƯỜNG HỢP $a>0$ $a<0$
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có

3 nghiệm phân biệt

 

 

 

đồ thị hàm số bậc 4 khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có

1 nghiệm.

 

các dạng đồ thị hàm số bậc 4 .đồ thị hàm số bậc 4

BÀI TẬP MẪU KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3$

Lời giải:

Tập xác định:$D=\mathbb{R}$

Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4

+ Các giới hạn tại vô cực

$\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( 1-\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{{{x}^{4}}} \right)=+\infty .$

+ Bảng biến thiên

các dạng đồ thị hàm số bậc 4

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -1\,\,;\,\,0 \right)$ và $\left( 1\,;\,\,+\infty  \right)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty \,\,;\,\,-1 \right)$ và $\left( 0\,;\,\,1 \right)$

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại $x=0\,;$ ${{y}_{cd}}=y\left( 0 \right)=-3$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 1\,;$ ${{y}_{ct}}=y\left( \pm 1 \right)=-4$

Đồ thị

Ta có ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow x=\pm 1$ .Vậy đồ thị hàm số qua $A\left( 1\,;\,0 \right),$ $B\left( -1\,;\,\,0 \right).$

Cho $x=0\Rightarrow y=-3$ :Đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại $C\left( 0\,;\,-3 \right)$ .Cho $x=\pm 2\Rightarrow y=5$ : Đồ thị hàm số qua $D\left( -2\,\,;\,\,5 \right),$ $E\left( 2\,\,;\,\,5 \right).$

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

đồ thị hàm số bậc 4

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Câu 2:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=4-\frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{{{x}^{4}}}{8}$

Lời giải:

Tập xác định:$D=\mathbb{R}$

Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

${y}’=-x-\frac{{{x}^{3}}}{2}=-x\left( 1+\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)$ .Xét ${y}’=0\Leftrightarrow x=0.$

+ Các giới hạn tại vô cực

$\underset{x\to +\,\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \,\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( -1-\frac{1}{2{{x}^{2}}}-\frac{1}{8{{x}^{4}}} \right)=-\infty .$

+ Bảng biến thiên:

khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;\,0 \right)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( 0\,\,;\,+\infty  \right)$

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại $x=0\,;$ ${{y}_{cd}}=y\left( 0 \right)=-3$ .

Hàm số không có cực tiểu.

Đồ thị

các dạng đồ thị hàm số bậc 4

Cho $x=\pm 2\Rightarrow y=0$ :Đồ thị hàm qua $C\left( -2\,;\,\,0 \right),$ $D\left( 2\,;\,\,0 \right)$

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận \[Oy\]  làm trục đối xứng.

Câu 3: Cho đồ thị hàm số bậc 4 y, tìm mệnh đề đúng?

Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a>0,b<0,c>0$                                                     B. $a>0,b<0,c<0$                 

C. $a>0,b>0,c<0$                                                     D. $a<0,b>0,c<0$

Lời giải

Chọn B

Ta có đồ thị có hình dạng như trên với hàm bậc bốn trùng phương có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại nên $a>0,b<0$. Giá trị cực đại nhỏ hơn $0$ nên $c<0$.

Câu 4:

Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ ($a\ne 0$) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a<0$, $b>0$, $c<0$                                                B. $a<0$, $b<0$, $c>0$.

C. $a<0$, $b>0$, $c>0$.                                               D. $a<0$, $b<0$, $c<0$.

Lời giải

Đồ thị cắt trục tung tại điểm $\left( 0;c \right)$, từ đồ thị suy ra $c<0$

Mặt khác đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên ${y}’=0$ có ba nghiệm phân biệt, hay ${y}’=4a{{x}^{3}}+2bx=2x\left( 2a{{x}^{2}}+b \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt. Suy ra $a,b$ trái dấu.

Mà $a<0\Rightarrow b>0$

Câu 5:

Cho hàm số có đồ thị $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. ${a > 0 , b < 0 , c < 0}$.                                               B. ${a < 0 , b < 0 , c < 0}$.                                 

C. ${a < 0 , b > 0 , c < 0}$                                               D. ${a > 0 , b < 0 , c > 0}$

Lời giải

Chọn C

– Dựa vào hình dạng đồ thị suy ra ${a < 0}$

– Hàm số có 3 điểm cực trị nên ${a b < 0 \Rightarrow b > 0}$

– Giao điểm với trục tung nằm dưới trục hoành nên ${c < 0}$.

Câu 6: Cho đồ thị hàm số bậc 4 y ,tìm kết luận đúng

Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng

A. $a+b>0$.                             B. $bc>0$.                             C. $ab>0$.                                  D. $ac>0$.

 Lời giải

Chọn B

Từ hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên $\Rightarrow a>0$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm $\Rightarrow c<0$.

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\Rightarrow ab<0\Rightarrow b<0$.

Câu 7: Cho đồ thị hàm số bậc 4 y ,tìm khẳng định đúng?

Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a>0,\,b<0,\,c<0$                                                B. $a>0,\,b>0,\,c<0$.

C. $a>0,\,b<0,\,c>0$.                                                D. $a<0,\,b>0,\,c<0$.

Lời giải

Chọn A

Nhìn vào đồ thị ta có:

Khi $x\in $$\left( 2;\,+\infty  \right)$ hàm số đồng biến $\Rightarrow \,a>0$.

Hàm số có $3$ điểm cực trị nên $a.b<0$ mà $a>0\,\Rightarrow \,b<0$.

$y\left( 0 \right)=-1=c\Rightarrow c<0$.

Câu 8:

Cho hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a<0,\,b>0,\,c>0$.                                                B. $a>0,\,b<0,\,c>0$.

C. $a<0,\,b>0,\,c=0$                                               D. $a>0,\,b<0,\,c<0$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số ta nhận thấy :

Hệ số $a<0$.

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Rightarrow a.b<0\Rightarrow b>0$.

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa tọa $\Rightarrow c=0$.

Vậy $a<0,\,b>0,\,c=0$.

Câu 9:

Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\,(a\ne 0)$ có đồ thị như hình bên. Hãy chọn mệnh đề đúng.

A. $a<0,\,b<0,\,c=0$.                                                B. $a<0,\,b>0,\,c=0$.

C. $a>0,\,b<0,\,c=0$                                               D. $a>0,\,b<0,\,c>0$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số ta nhận thấy :

Hệ số $a>0$

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa tọa $\Rightarrow c=0$

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Rightarrow a.b<0\Rightarrow b<0$

Câu 10:

Hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a>0$, $b>0$, $c<0$.                                                B. $a<0$, $b>0$, $c<0$.

C. $a>0$, $b<0$, $c>0$                                               D. $a>0$, $b<0$, $c<0$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị:

+ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $$\Rightarrow $$$.

+ Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị$\Rightarrow $$ab<0$$\Rightarrow $$$.

+ Giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung có tung độ dương$\Rightarrow $$$.

Vậy $a>0$, $b<0$, $c>0$.

Xem thêm:

Các dạng bài tập tìm GTLN GTNN của hàm số

Khảo sát hàm số bậc 3 và các bài tập mẫu