Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về giáo án định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm cũng như các bài tập định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT VỀ ĐẠO HÀM
Để có thể làm được lý thuyết bài tập toán 11 định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
– Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( a\ ;\ b \right)$ và ${{x}_{0}}\in \left( a\ ;\ b \right)$ nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ và kí hiệu là ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)$ tức là
${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=$$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=$$\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Trong đó: Đại lượng $\Delta x=x-{{x}_{0}}$ là số gia của đối số tại ${{x}_{0}}$, đại lượng $\Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$$=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$ là số gia tương ứng của hàm số.
– Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ bằng định nghĩa ta làm theo các bước sau
Bước 1: Tính $\Delta y$$=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$
Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Bước 3: Tìm $\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$
3. Đạo hàm bên trái, bên phải
${f}’\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=$$\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$; ${f}’\left( {{x}_{0}}^{-} \right)=$$\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$
Hệ quả: Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì sẽ tồn tại ${f}’\left( {{x}_{0}}^{+} \right)$ và ${f}’\left( {{x}_{0}}^{-} \right)$ đồng thời ${f}’\left( {{x}_{0}}^{+} \right)={f}’\left( {{x}_{0}}^{-} \right)$.
4. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
– Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên $\left( a\,;\ b \right)$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $\left( a\ ;\ b \right)$.
– Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên $\left[ a\,;\ b \right]$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $\left( a\,;\ b \right)$ đồng thời tồn tại đạo hàm bên trái ${f}’\left( {{b}^{-}} \right)$ và đạo hàm bên phải ${f}’\left( {{a}^{+}} \right)$.
5. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
– Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì $y=f\left( x \right)$ liên tục tại ${{x}_{0}}$.
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$.
Chẳng hạn: Xét hàm $f(x)=|x|$ liên tục tại $x=0$ nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
Vì $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=1$, còn$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=-1$.
Dạng 1: Tìm số gia của hàm số.
Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm
Tính đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ bằng định nghĩa ta làm theo các bước sau
Bước 1: Tính $\Delta y$$=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$
Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Bước 3: Tìm $\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Dạng 3. Tính đạo hàm của hàm số trên 1 khoảng bằng định nghĩa
Phương pháp tính đạo hàm cuả hàm số trên 1 khoảng bằng định nghĩa
– Cho đối số một số gia: $\Delta x$
– Tính $\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)$
– Lập tỉ số và tính giới hạn: ${y}’={f}’\left( x \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{Lim}}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Dạng 4. Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm
II. BÀI TẬP MẪU VỀ ĐẠO HÀM
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của bài định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
Dạng 1: Tìm số gia của hàm số.
1. Tìm số gia của hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}$ theo số gia $\Delta x$ của đối số $x$ tại ${{x}_{0}}=0$.
2. Số gia của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-x$ ứng với ${{x}_{0}}$, $\Delta x$ là:
3. Tìm số gia của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2$ khi ${{x}_{0}}=0$, $\Delta x=2$:
4. Số gia của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}+1}$ khi, ${{x}_{0}}=1$, $\Delta x=1$.
Lời giải
1. Ta có: $\Delta y=$$f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$$=f\left( \Delta x \right)-f\left( 0 \right)=$$\frac{{{\left( \Delta x \right)}^{3}}}{3}-\frac{{{\left( 0 \right)}^{3}}}{3}$ $=\frac{{{\left( \Delta x \right)}^{3}}}{3}$
2. Ta có: $\Delta y=$$f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=$${{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{2}}-\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-\left( {{x}_{0}}^{2}-{{x}_{0}} \right)$$=\Delta x\left( \Delta x+2{{x}_{0}}-1 \right)$
3. Ta có: $\Delta y=$$f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$$=f\left( 2 \right)-f\left( 0 \right)=$${{2}^{2}}+2-\left( {{0}^{2}}+2 \right)=4$.
4. Ta có: $\Delta y=$$f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$$=f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)$$=\frac{1}{{{2}^{3}}+1}-\frac{1}{{{1}^{3}}+1}=\frac{-7}{18}$.
Xem thêm: Bài tập đạo hàm của hàm số lượng giác có lời giải chi tiết
Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm
Bài tập 1: Tính đạo hàm tại 1 điểm
a.$y=f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}+x+1}$ tại ${{x}_{0}}=-1$
b. $y=f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+x-3}{2x-1}$ tại ${{x}_{0}}=3$
c. $y=f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2x+1}$ tại ${{x}_{0}}=0$
Lời giải
a. Với đối số tại ${{x}_{0}}=-2$ ta có số gia:
$\Delta x=x-\left( -2 \right)=x+2\Rightarrow x=\Delta x-2$
$\Delta y=f\left( \Delta x-2 \right)-f\left( -2 \right)=\frac{1}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-2+1}-\frac{1}{4-2+1}=\frac{1}{3}.\frac{3-{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}$
$=\frac{1}{3}.\frac{3-\Delta {{x}^{2}}+4\Delta x-4-\Delta x+1}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}=\frac{1}{3}.\frac{-\Delta {{x}^{2}}+3\Delta x}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}$
$\Rightarrow {f}’\left( -2 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{3\Delta x}.\frac{-\Delta {{x}^{2}}+3\Delta x}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{3}.\frac{-\Delta x+3}{{{\left( \Delta x-2 \right)}^{2}}+\Delta x-1}=\frac{1}{3}$
b. Với đối số tại ${{x}_{0}}=3$ ta có số gia:
$\Delta x=x-3\Rightarrow x=\Delta x+3$
$\Delta y=f\left( \Delta x+3 \right)-f\left( 3 \right)=\frac{{{\left( \Delta x+3 \right)}^{2}}+\Delta x+3-3}{2\left( \Delta x+3 \right)-1}-\frac{9}{5}$
$\Delta y=\frac{5{{\left( \Delta x+3 \right)}^{2}}+5\Delta x-18\Delta x-45}{2\Delta x-5}=\frac{5\Delta {{x}^{2}}+30\Delta x+35+5\Delta x-18\Delta x-45}{2\Delta x-5}=\frac{5\Delta {{x}^{2}}+17\Delta x}{2\Delta x-5}$
$\Rightarrow {f}’\left( 3 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5\Delta {{x}^{2}}+17\Delta x}{\left( 2\Delta x-5 \right)\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5\Delta x+17}{2\Delta x-5}=\frac{17}{5}$
c. Với đối số tại ${{x}_{0}}=0$ ta có số gia:
$\Delta x=x$
$\Delta y=f\left( \Delta x \right)-f\left( 0 \right)=\frac{\Delta {{x}^{2}}}{2\Delta x+1}$
$\Rightarrow {f}’\left( 0 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta {{x}^{2}}}{\left( 2\Delta x+1 \right)\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta x}{2\Delta x+1}=0$
Bài tập 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm
a. $y=f\left( x \right)=\sin 2x$ tại ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{2}$
b. $y=f\left( x \right)=1-2\cos 3x$ tại ${{x}_{0}}=-\frac{\pi }{6}$
Lời giải
a. Với đối số tại ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{2}$ ta có số gia:
$\Delta x=x-\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\Delta x+\frac{\pi }{2}$
$\Delta y=f\left( \Delta x+\frac{\pi }{2} \right)-f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\sin 2\left( \Delta x+\frac{\pi }{2} \right)-\sin 2.\frac{\pi }{2}=\sin \left( 2\Delta x+\pi \right)=-\sin 2\Delta x$
$\Rightarrow {f}’\left( \frac{\pi }{2} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\sin 2\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2\sin 2\Delta x}{2\Delta x}=-2$
b. Với đối số tại ${{x}_{0}}=-\frac{\pi }{6}$ ta có số gia:
$\Delta x=x+\frac{\pi }{6}\Rightarrow x=\Delta x-\frac{\pi }{6}$
$\Delta y=f\left( \Delta x-\frac{\pi }{6} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=1-2\cos 3\left( \Delta x+\frac{\pi }{6} \right)-1+2\cos 3.\frac{\pi }{6}=-2\cos 3\left( \Delta x-\frac{\pi }{6} \right)$
$=-2\cos \left( 3\Delta x-\frac{\pi }{2} \right)=-2\sin 3\Delta x$
$\Rightarrow {f}’\left( 1 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2\sin 3\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-6\sin 3\Delta x}{3\Delta x}=-6$
Dạng 3. Tính đạo hàm của hàm số trên 1 khoảng bằng định nghĩa
Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a.$y=f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+1$
b.$y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2x$
c.$y=f\left( x \right)=4x+3$
Lời giải
a. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\begin{align}& \Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)={{\left( \Delta x+x \right)}^{2}}-3\left( \Delta x+x \right)+1-{{x}^{2}}+3x-1 \\& =\Delta {{x}^{2}}+2x\Delta x+{{x}^{2}}-3\Delta x-3x-{{x}^{2}}+3x=\Delta {{x}^{2}}+\left( 2x-3 \right)\Delta x \\\end{align}$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta {{x}^{2}}+\Delta x\left( 2x-3 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+2x-3 \right)=2x-3$
b. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\begin{align}& \Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)={{\left( \Delta x+x \right)}^{3}}-2\left( \Delta x+x \right)-{{x}^{3}}+2x \\& =\Delta {{x}^{3}}+3x\Delta {{x}^{2}}+3{{x}^{2}}\Delta x+{{x}^{3}}-2\Delta x-2x-{{x}^{3}}+2x=\Delta {{x}^{3}}+3x\Delta {{x}^{2}}+3{{x}^{2}}\Delta x-2\Delta x \\\end{align}$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3x\Delta {{x}^{2}}+3{{x}^{2}}\Delta x-2\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+3x\Delta x+3{{x}^{2}}-2 \right)=3{{x}^{2}}-2$
c. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)=4\left( \Delta x+x \right)+3-4x-3=4\Delta x$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4\Delta x}{\Delta x}=4$
Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. $y=f\left( x \right)=\frac{1}{2x-3}$
b. $y=f\left( x \right)=\frac{2x-1}{x+1}$
c. $y=f\left( x \right)=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$
Lời giải
a. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\begin{align}& \Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)=\frac{1}{2\left( \Delta x+x \right)-3}-\frac{1}{2x-3} \\& =\frac{2x-3-2\Delta x-2x+3}{\left( 2x-3 \right)\left( 2\Delta x+2x-3 \right)}=\frac{-2\Delta x}{\left( 2x-3 \right)\left( 2\Delta x+2x-3 \right)} \\\end{align}$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2\Delta x}{\Delta x\left( 2x-3 \right)\left( 2\Delta x+2x-3 \right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2}{\left( 2x-3 \right)\left( 2\Delta x+2x-3 \right)}=\frac{-2}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}}$
b. Cho đối số 1 số gia: $\Delta x$
$\begin{align}& \Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)=\frac{2\left( \Delta x+x \right)-1}{\Delta x+x+1}-\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2x\Delta x+2\Delta x+2{{x}^{2}}+x-1-2x\Delta x-2{{x}^{2}}-2x+\Delta x+x+1}{\left( x+1 \right)\left( \Delta x+x+1 \right)} \\& =\frac{3\Delta x}{\left( x+1 \right)\left( \Delta x+x+1 \right)} \\\end{align}$
$\Rightarrow {y}’=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\Delta x}{\Delta x\left( x+1 \right)\left( \Delta x+x+1 \right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{\left( x+1 \right)\left( \Delta x+x+1 \right)}=\frac{3}{\left( x+1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
c. Làm tương tự ta được: ${y}’=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$
Dạng 4. Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm
Bài tập 1: Tìm $a,\ b$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x\le 1 \\& ax+b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x>1 \\\end{align} \right.$ có đạo hàm tại $x=1$.
Lời giải
Điều kiện cần:
$f\left( 1 \right)=2$
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x \right)=2$
$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( ax+b \right)=a+b$
Để hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x=1$ thì $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$
$\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow a+b=2$
Điều kiện đủ:
${f}’\left( {{1}^{-}} \right)=$$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}$$=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-1}=$$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+2 \right)=3$
${f}’\left( {{1}^{+}} \right)=$$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}$$=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}$$=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b-\left( a+b \right)}{x-1}$$=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax-a}{x-1}=a$
Để hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x=1$ thì ${f}’\left( {{1}^{+}} \right)=$${f}’\left( {{1}^{-}} \right)$$\Leftrightarrow a=3\Rightarrow b=-1$
Bài tập 2: Tìm $a,\ b$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& \frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x>1 \\& ax+b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x\le 1 \\\end{align} \right.$ có đạo hàm tại $x=1$.
Lời giải
Điều kiện cần:
$f\left( 1 \right)=\frac{1}{3}$
$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{3}}}{3} \right)=\frac{1}{3}$
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( ax+b \right)=a+b$
Để hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x=1$ thì $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$
$\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow a+b=\frac{1}{3}$
Điều kiện đủ:
${f}’\left( {{1}^{+}} \right)=$$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=$$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{1}{3}}{x-1}=$$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{3}=1$
${f}’\left( {{1}^{-}} \right)=$$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}$$=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}$$=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b-\left( a+b \right)}{x-1}$$=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax-a}{x-1}=a$
Để hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x=1$ thì ${f}’\left( {{1}^{+}} \right)=$${f}’\left( {{1}^{-}} \right)$$\Leftrightarrow a=1\Rightarrow b=-\frac{2}{3}$
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các dạng toán về giáo án định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm:
