Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng tính diện tích xung quanh hình trụ rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ giải đáp cho các bạn về diện tích xung quanh hình trụ tính như thế nào? Trong bài dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. LÝ THUYẾT TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH TRỤ
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến mặt cầu ngoại tiếp hình chóp một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức tính diện tích xung quanh hình trụ cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. Định nghĩa mặt trụ tròn xoay:
Trong mp (P) cho hai đường thẳng D và l song song nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay (P) xung quanh D thì l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. D gọi là trục, l gọi là đường sinh, r là bán kính của mặt trụ đó.
2. Hình trụ tròn xoay:
Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành 1 hình được gọi là hình trụ tròn xoay.
– Hai đáy: là hai hình tròn: tâm $A$ bán kính $r=AD$ và tâm $B$ bán kính $r=BC$.
– Đường sinh: là đoạn $CD$.
– Mặt xung quanh: là mặt do đoạn $CD$ tạo thành khi quay, nếu cắt theo một đường sinh và trãi ra ta được mặt xung quanh là một hình chữ nhật.
– Chiều cao: $h=AB=CD$.
* Khối trụ tròn xoay: Phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ kể cả hình trụ đó được gọi là khối trụ tròn xoay.
Công thức tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ:
* Diện tích xung quanh của hình trụ bằng tích độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh. ${{S}_{xq}}=2\pi rl$ mà $h=l$ nên 
* Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai đáy. ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2.{{S}_{\acute{a}y}}$ do đó 
* Thể tích khối trụ: $V=Bh$ suy ra 
Một số tính chất:
– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là$r$) bởi một $mp\left( \alpha \right)$ vuông góc với trục $\Delta $ thì ta được đường tròn có tâm trên $\Delta $ và có bán kính bằng $r$ với $r$ cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là$r$) bởi một$mp\left( \alpha \right)$không vuông góc với trục$\Delta $nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng$2r$và trục lớn bằng$\frac{2r}{\sin \varphi }$, trong đó $\varphi $là góc giữa trục$\Delta $và$mp\left( \alpha \right)$ với${{0}^{0}}<\varphi <{{90}^{0}}$.
– Cho$mp\left( \alpha \right)$song song với trục$\Delta $của mặt trụ tròn xoay và cách$\Delta $một khoảng$k$:
+ Nếu$k<r$thì$mp\left( \alpha \right)$cắt mặt trụ theo hai đường sinh$\Rightarrow $thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu$k=r$thì$mp\left( \alpha \right)$tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu$k>r$thì$mp\left( \alpha \right)$không cắt mặt trụ.
Xem thêm: Công thức tính thể tích hình trụ và một số bài tập mẫu
II. BÀI TẬP MẪU TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH TRỤ
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập mẫu để có thể hiểu rõ hơn chương hình học không gian này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo $a$
Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông $ABCD$ cạnh $a$có hai đỉnh liên tiếp $A,B$nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ tạo với đáy hình trụ góc$45{}^\circ $. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo $a$.
Lời giải
Gọi $M$, $N$ trung điểm $AB$, $CD$ $\Rightarrow MN$ là trục hình vuông $ABCD$ và $MN$ qua tring điểm $I$ của $O{O}’$ $g\acute{o}c\left( \left( ABCD \right),mp\left( O \right) \right)=g\acute{o}c\left( MI,MO \right)=\widehat{IMO}=45{}^\circ $ góc
$\Delta IOM$ vuông cân tại $O$ $\Rightarrow OM=OI=\frac{MI}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2\sqrt{2}}$ $\Rightarrow h=O{O}’=2OI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Delta MOA$ vuông tại $M$ $\Rightarrow r=OA=\sqrt{O{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$
+ Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=2\pi rh=\frac{\pi \sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}$
+ Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2.{{S}_{\acute{a}y}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=\frac{\pi \sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}+\frac{3\pi }{4}{{a}^{2}}=\frac{\left( 3+2\sqrt{3} \right)\pi }{4}{{a}^{2}}$.
Bài tập 2: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo $R$
Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn$\left( O,R \right)$ và $\left( O’,R \right)$. Biết rằng tồn tại dây cung $AB$ của đường tròn $\left( O \right)$ sao cho $\Delta {O}’AB$ đều và $mp\left( {O}’AB \right)$ hợp với mặt phẳng chứa đường tròn $\left( O \right)$ một góc ${{60}^{0}}$. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo $R$.
Lời giải
Đặt số đo cạnh tam giác đều $ABC$ là $x$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow OI\bot AB,\,\,{O}’I\bot AB$ $g\acute{o}c\left( \left( {O}’AB \right),mp\left( O \right) \right)=g\acute{o}c\left( {O}’I,OI \right)=\widehat{{O}’IO}=60{}^\circ $$\Rightarrow OI=\frac{{O}’I}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{4}$ và $h=O{O}’={O}’I\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3x}{4}$
$\Delta AIO$ vuông tại $I$ $\Rightarrow O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}=O{{A}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{x\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ $\frac{7}{16}{{x}^{2}}={{R}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=\frac{4\sqrt{7}}{7}R$. Vậy $h=\frac{3x}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{7}R$
+ Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=2\pi rh=\frac{6\sqrt{7}\pi {{R}^{2}}}{7}$
+ Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2.{{S}_{\acute{a}y}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=\frac{6\sqrt{7}\pi {{R}^{2}}}{7}+2\pi {{R}^{2}}=\frac{\left( 14+6\sqrt{7} \right)\pi {{R}^{2}}}{7}$.
Bài tập 3: Tính diện tích của thiết diện được tạo thành
Một hình trụ có bán kính đáy $r=5\,\text{cm}$ và khoảng cách giữa hai đáy $h=7\,\text{cm}$. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục $3\,\text{cm}$. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
Lời giải
Gọi $O,{O}’$ là tâm của hai đáy của hình trụ và $\left( P \right)$ là mặt phẳng song song với trục và cách trục $O{O}’$ một khoảng $3\text{cm}$.
Mp$\left( P \right)$ cắt hai hình tròn đáy $\left( O \right),\left( {{O}’} \right)$ theo hai dây cung lần lượt là $AB,\,CD$ và cắt mặt xung quanh theo hai đường sinh là $AD,BC$. Khi đó $ABCD$ là hình chữ nhật.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Ta có $OH\bot AB;OH\bot AD\Rightarrow OH\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow d\left( O\,{O}’,\left( P \right) \right)=d\left( O,\left( ABCD \right) \right)=OH=3\text{cm}$.
Khi đó: $AB=2AH=2\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8$; $AD=O\,O’=h=7\text{cm}$.
Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: ${{S}_{ABCD}}=AB.AD=56\left( c{{m}^{2}} \right)$.
Bài tập 4: Tính thể tích khối tứ diện $ABO{O}’$ theo $a$
Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn $\left( O \right)$, $\left( {{O}’} \right)$ bán kính bằng $a$, chiều cao hình trụ gấp hai lần bán kính đáy. Các điểm $A$, $B$ tương ứng nằm trên hai đường tròn $\left( O \right)$, $\left( {{O}’} \right)$ sao cho $AB=a\sqrt{6}.$ Tính thể tích khối tứ diện $ABO{O}’$ theo $a$.
Lời giải
Ta có $O{O}’=2a$, ${A}’B=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{{{A}’}}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Do đó ${A}'{{B}^{2}}={O}'{{B}^{2}}+{O}'{{{A}’}^{2}}=2{{a}^{2}}$ nên tam giác ${O}'{A}’B$ vuông cân tại ${O}’$ hay ${O}'{A}’\bot {O}’B$$\Rightarrow OA\bot {O}’B$.
Khi đó ${{V}_{O{O}’AB}}=\frac{1}{6}OA.{O}’B.d\left( OA,{O}’B \right).\sin \left( OA,{O}’B \right)$$=\frac{1}{6}a.a.2a.\sin 90{}^\circ =\frac{{{a}^{3}}}{3}$.
Như vậy, bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như công thức của diện tích xung quanh hình trụ mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm:
