Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng diện tích mặt cầu ngoại tiếp đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cũng như các bài tập bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. CÁCH GIẢI
1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
$\Rightarrow $ Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
$\Rightarrow $ Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
$\Rightarrow $ Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
– Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
$\Rightarrow $Tâm là $I$, là trung điểm của $AC’$.
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
$\Rightarrow $Bán kính: $R=\frac{AC’}{2}$.
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
Xét hình lăng trụ đứng ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}.A_{1}^{‘}A_{2}^{‘}A_{3}^{‘}…A_{n}^{‘}$, trong đó có 2 đáy
${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}$và$A_{1}^{‘}A_{2}^{‘}A_{3}^{‘}…A_{n}^{‘}$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( O’ \right)$. Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
– Tâm: $I$ với $I$ là trung điểm của $OO’$.
– Bán kính: $R=I{{A}_{1}}=I{{A}_{2}}=…=IA_{n}^{‘}$.
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
Hình chóp $S.ABC$ có $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}={{90}^{0}}$.
+ Tâm: $I$ là trung điểm của$SC$.
+ Bán kính: $R=\frac{SC}{2}=IA=IB=IC$.
– Hình chóp $S.ABCD$ có
$\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=\widehat{SDC}={{90}^{0}}$.
+ Tâm: $I$là trung điểm của$SC$.
+ Bán kính: $R=\frac{SC}{2}=IA=IB=IC=ID$.
d/ Hình chóp đều.
Cho hình chóp đều$S.ABC…$
– Gọi $O$là tâm của đáy$\Rightarrow SO$là trục của đáy.
– Trong mặt phẳng xác định bởi$SO$và một cạnh bên,
chẳng hạn như $mp\left( SAO \right)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh$SA$
là $\Delta $ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SO$ tại $I$$\Rightarrow I$ là tâm của mặt cầu.
– Bán kính:
Ta có: $\Delta SMI\sim \Delta SOA\Rightarrow \frac{SM}{SO}=\frac{SI}{SA}\Rightarrow $ Bán kính là:
$R=IS=\frac{SM.SA}{SO}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=IA=IB=IC=…$
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp $S.ABC…$ có cạnh bên $SA\bot $ đáy $\left( ABC… \right)$ và đáy $ABC…$ nội tiếp được trong đường tròn tâm $O$. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC…$được xác định như sau:
– Từ tâm $O$ ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mp\left( ABC… \right)$ tại $O$.
– Trong $mp\left( d,SA \right)$, ta dựng đường trung trực $\Delta $của cạnh$SA$, cắt$SA$ tại$M$, cắt $d$tại $I$.
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán kính $R=IA=IB=IC=IS=…$
Tìm bán kính:
Ta có: $MIOB$là hình chữ nhật.
Xét $\Delta MAI$ vuông tại $M$ có:
$R=AI=\sqrt{M{{I}^{2}}+M{{A}^{2}}}=\sqrt{A{{O}^{2}}+{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}}$.
f/ Hình chóp khác.
– Dựng trục $\Delta $ của đáy.
– Dựng mặt phẳng trung trực $\left( \alpha \right)$ của một cạnh bên bất kì.
– $\left( \alpha \right)\cap \Delta =I\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Bán kính: khoảng cách từ $I$ đến các đỉnh của hình chóp.
g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có chiều cao bằng 4, đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $AB=AC=2;\,\,\widehat{BAC}=120{}^\circ $. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên
A. $\frac{64\pi \sqrt{2}}{3}$. B. $16\pi $. C. $32\pi $. D. $\frac{32\pi \sqrt{2}}{3}$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $M,\,{M}’$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và ${B}'{C}’$. Gọi $I,\,{I}’$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tam giác$\,{A}'{B}'{C}’$. Khi đó, $I{I}’$ là trục đường tròn ngọai tiếp các tam giác $ABC$ và tam giác$\,{A}'{B}'{C}’$, suy ra tâm mặt cầu là trung điểm $O$ của $I{I}’$.
Ta có $BM=AB.\sin 60{}^\circ =\sqrt{3}\Rightarrow BC=2\sqrt{3}$.
$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2.IA\Rightarrow IA=\frac{2\sqrt{3}}{2.\sin 120{}^\circ }=2$; $OI=2\Rightarrow OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=2\sqrt{2}$.
Bán kính mặt cầu $R=OA=2\sqrt{2}$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=32\pi $.
Phương án C được chọn.
Bài tập 2:
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $4a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $\frac{172\pi {{a}^{2}}}{3}$. B. $\frac{76\pi {{a}^{2}}}{3}$. C. $84\pi {{a}^{2}}$. D. $\frac{172\pi {{a}^{2}}}{9}$
Lời giải
Chọn A
Ta có tâm của đáy cũng là giao điểm ba đường cao của tam giác đều $ABC$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $r=4a.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}a}{3}$.
Đường cao $AH$ của tam giác đều $ABC$ là $AH=\frac{4a.\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}a$.
Góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $ suy ra $\widehat{SHA}=60{}^\circ $.
Suy ra $\tan SHA=\frac{SA}{AH}=\frac{SA}{2\sqrt{3}a}=\sqrt{3}\Rightarrow SA=6a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp ${{R}_{mc}}=\sqrt{{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}+\frac{16}{3}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{129}}{3}a$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $S.ABC$ là ${{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( \frac{\sqrt{129}}{3}a \right)}^{2}}=\frac{172\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Bài tập 3:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA=a\sqrt{6}$ và vuông góc với đáy $\left( ABCD \right)$. Tính theo $a$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$.
A. $8\pi {{a}^{2}}$. B. ${{a}^{2}}\sqrt{2}$. C. $2\pi {{a}^{2}}$. D. $2{{a}^{2}}$.
Lời giải
Gọi $O=AC\cap BD$, đường chéo $AC=a\sqrt{2}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $SC$.
Suy ra $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$. Suy ra $OI\,\text{//}\,SA$$\Rightarrow OI\bot \left( ABCD \right)$.
Hay $OI$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD$.
Mà $IS=IC$$\Rightarrow $$IA=IB=IC=ID=IS$. Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABCD$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABCD$: $R=SI=\frac{SC}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}$.
Diện tích mặt cầu: $S=4\pi {{R}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}$.
Bài tập 4:
Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a,\,AD=2a$. Tam giác $SAD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo $a$.
A. $6\pi {{a}^{2}}$. B. $10\pi {{a}^{2}}$. C. $3\pi {{a}^{2}}$. D. $5\pi {{a}^{2}}$.
Lời giải
Gọi $H$ là trung điểm của $AD$. Tam giác $SAD$ đều và $\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $AH=a,\,SH=a\sqrt{3}$ và tứ giác $ABCH$ là hình vuông cạnh $a$ $\Rightarrow BH=a\sqrt{2}.$
Mặt khác $\left\{ \begin{align}& AB\bot AD \\& AB\bot S \\\end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SA$ hay $\widehat{SAB}={{90}^{0}}\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
Chứng minh tương tự ta có $BC\bot SC$ hay $\widehat{SCB}={{90}^{0}}\,\,\,\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta thấy hai đỉnh $A$ và $C$ của hình chóp $S.ABC$ cùng nhìn $SB$ dưới một góc vuông. Do đó bốn điểm $S,A,B,C$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $SB$.
Xét tam giác vuông $SHB$, ta có $SB=\sqrt{B{{H}^{2}}+S{{H}^{2}}}=a\sqrt{5}$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $S=4\pi {{\left( \frac{SB}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}$.
Bài tập 5:
Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=a,\,\widehat{ACB}={{30}^{0}}$. Biết $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\left( ABC \right)$. Tính diện tích mặt cầu ${{S}_{mc}}$ ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
A. ${{S}_{mc}}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$. B. ${{S}_{mc}}=\frac{13\pi {{a}^{2}}}{3}$. C. ${{S}_{mc}}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{12}$. D. ${{S}_{mc}}=4\pi {{a}^{2}}$.
Lời giải
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta \,ABC\,\,\Rightarrow IA=IB=IC=R=\frac{AB}{2\sin {{30}^{0}}}=a$.
Dựng đường thẳng $d$ qua $I$ và vuông góc với $\left( ABC \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$.
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta \,ABC\Rightarrow GA=GB=GC$
Kẽ đường thẳng đi qua $G$ và vuông góc với $\left( SAB \right)$ cắt $d$ tại $O\,\,\Rightarrow OA=OB=OC=OS$.
Suy ra $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bán kính là $r=OA=OB=OC=OS$.
Khi đó $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow GM=\frac{1}{3}SM=\frac{a\sqrt{3}}{6}=OI$.
${{r}^{2}}=O{{B}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{12}+{{a}^{2}}=\frac{13{{a}^{2}}}{12}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là ${{S}_{mc}}=4.\pi .{{r}^{2}}=4\pi \frac{13{{a}^{2}}}{12}=\frac{13\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Bài tập 6:
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=BC=AC=BD=2a,\,AD=a\sqrt{3}$; hai mặt phẳng $\left( ACD \right)$ và $\left( BCD \right)$ vuông góc với nhau. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ bằng
A. $\frac{64\pi {{a}^{2}}}{27}$ B. $\frac{4\pi {{a}^{2}}}{27}$ C. $\frac{16\pi {{a}^{2}}}{9}$ D. $\frac{64\pi {{a}^{2}}}{9}$
Lời giải
Chọn D
Gọi $H$ là trung điểm $CD$ $\Rightarrow BH\bot \left( ACD \right)$ và tam giác $ACD$ vuông tại A.
$\Rightarrow CD=\sqrt{C{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{7}$ và $BH=\sqrt{B{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=\frac{3}{2}a.$
Trong mặt phẳng $\left( BHA \right)$ kẻ đường trung trực $\Delta $ của cạnh $BA$ và gọi $I=\Delta \cap SH$
Khi đó ta có $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.
Ta có
$\Delta BIK\sim \Delta BAH\Rightarrow BI=\frac{BK.BA}{BH}=\frac{B{{A}^{2}}}{2BH}=\frac{4}{3}a$.
Suy ra bán kính mặt cầu là $R=BI=\frac{4}{3}a.$
Vậy diện tích của mặt cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{64\pi {{a}^{2}}}{9}\cdot $
Bài tập 7:
Hình chóp đều $S.ABCD$ tất cả các cạnh bằng $a$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
A. $4\pi {{a}^{2}}$. B. $\pi {{a}^{2}}$. C. $\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}$ D. $2\pi {{a}^{2}}$.
Lời giải
Gọi $O=AC\cap BD$; $M$ là trung điểm $SA$.
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$ gọi $I$ là giao điểm của trung trực đoạn $SA$ với $SO$.
Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Tam giác $SAO$ đồng dạng với tam giác $SIM$.
$\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SM}{AO}\Rightarrow R=SI=\frac{SM.SA}{AO}=\frac{\frac{a}{2}\cdot a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $S=4\pi {{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=2\pi {{a}^{2}}$.
Cách 2:
Gọi $O=AC\cap BD$.
Vì $\Delta SBD=\Delta ABD$ nên $OS=OA$.
Mà $OA=OB=OC=OD$ $\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Bán kính mặt cầu $R=OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $S=4\pi {{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=2\pi {{a}^{2}}$.
Bài tập 8:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng $\sqrt{6}\,\,cm$, $AB=4\,\,cm$. Khi thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$.
A. $12\pi \,\,c{{m}^{2}}$. B. $4\pi \,\,c{{m}^{2}}$. C. $9\pi \,\,c{{m}^{2}}$. D. $36\pi \,\,c{{m}^{2}}$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có $\Delta SAC$ cân tại $S$ nên $SO\bot AC$ và $\Delta SBD$ cân tại S nên $SO\bot BD$.
Khi đó $SO\bot \left( ABCD \right).$
Ta có: $\Delta SAO=\Delta SBO=\Delta SCO=\Delta SDO\Rightarrow OA=OB=OC=OD$
Vậy hình bình hành $ABCD$ là hình chữ nhật.
Đặt $BC=x\Rightarrow AC=\sqrt{{{4}^{2}}+{{x}^{2}}}\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{16+{{x}^{2}}}}{2}.$
Xét $\Delta SAO$ vuông tại $O$, ta có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{6-\frac{16+{{x}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}{2}.4x=\frac{2}{3}.\sqrt{8-{{x}^{2}}}.x$
Áp dụng bất đẳng thức :$ab\le \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}$ ta có: $V=\frac{2}{3}.\sqrt{8-{{x}^{2}}}.x\le \frac{2}{3}.\frac{8-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}=\frac{8}{3}.$
Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{8-{{x}^{2}}}=x\Leftrightarrow x=2.$ Do đó: $BC=2,SO=1.$
Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, trong $\left( SAO \right)$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$.
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$ có tâm $I$và bán kính $R=IS.$
Vì $\Delta SMI\backsim \Delta SOA(g.g)$ nên $\frac{SI}{SA}=\frac{SM}{SO}\Rightarrow SI=\frac{S{{A}^{2}}}{2.SO}=\frac{6}{2.1}=3\Rightarrow R=3(cm).$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$ là: $4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{.3}^{2}}=36\pi (c{{m}^{2}})$.