Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình lớp 11 đó chính là phương pháp giải dãy số bị chặn đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về cách chứng minh dãy số bị chặn cũng như cách tìm dãy số bị chặn bằng máy tính bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 11 nhé!
I. CÁCH GIẢI
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $m,\text{ }M$ sao cho
Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi ${{u}_{1}}$
+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi ${{u}_{1}}$
Phương pháp giải
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Cách 1: Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=f(n)$ là hàm số đơn giản.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức ${{u}_{n}}=f(n)\le M,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ hoặc ${{u}_{n}}=f(n)\ge m,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
Cách 2: Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{v}_{1}}+{{v}_{2}}+…+{{v}_{k}}+…+{{v}_{n}}$(tổng hữu hạn)
Ta làm trội ${{v}_{k}}\le {{a}_{k}}-{{a}_{k+1}}$
Lúc đó ${{u}_{n}}\le \left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)+\left( {{a}_{2}}-{{a}_{3}} \right)+…\left( {{a}_{n}}-{{a}_{n+1}} \right)$
Suy ra ${{u}_{n}}\le {{a}_{1}}-{{a}_{n+1}}\le M,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
Cách 3: Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{v}_{1}}.{{v}_{2}}{{v}_{3}}…{{v}_{n}}$ với ${{v}_{n}}>0,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ (tích hữu hạn)
Ta làm trội ${{v}_{k}}\le \frac{{{a}_{k+1}}}{{{a}_{k}}}$
Lúc đó ${{u}_{n}}\le \frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}.\frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{2}}}…\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}$
Suy ra ${{u}_{n}}\le \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{1}}}\le M,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số $({{u}_{n}})$được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh
Chú ý: Nếu dãy số $({{u}_{n}})$giảm thì bị chặn trên, dãy số $({{u}_{n}})$tăng thì bị chặn dưới
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}\quad \left( \left| q \right|\le 1 \right)$ bị chặn
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}\quad \left( q<-1 \right)$ không bị chặn
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}$ với $q>1$ bị chặn dưới
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=an+b$ bị chặn dưới nếu $a>0$và bị chặn trên nếu $a<0$
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=a{{n}^{2}}+bn+c$ bị chặn dưới nếu $a>0$và bị chặn trên nếu $a<0$
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{a}_{m}}{{n}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{n}^{m-1}}+…+{{a}_{1}}n+{{a}_{0}}$ bị chặn dưới nếu ${{a}_{m}}>0$ và bị chặn trên nếu ${{a}_{m}}<0$
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}\left( {{a}_{m}}{{n}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{n}^{m-1}}+…+{{a}_{1}}n+{{a}_{0}} \right)$với ${{a}_{m}}\ne 0$ và $q<-1$ không bị chặn
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\sqrt{{{a}_{m}}{{n}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{n}^{m-1}}+…+{{a}_{1}}n+{{a}_{0}}}$ bị chặn dưới với ${{a}_{m}}>0$
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\sqrt[3]{{{a}_{m}}{{n}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{n}^{m-1}}+…+{{a}_{1}}n+{{a}_{0}}}$ bị chặn dưới nếu ${{a}_{m}}>0$ và bị chặn trên nếu ${{a}_{m}}<0$
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\frac{P\left( n \right)}{Q\left( n \right)}$ trong đó $P\left( n \right)$và $Q\left( n \right)$là các đa thức, bị chặn nếu bậc của $P\left( n \right)$nhỏ hơn hoặc bằng bậc của $Q\left( n \right)$
- Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\frac{P\left( n \right)}{Q\left( n \right)}$ trong đó $P\left( n \right)$và $Q\left( n \right)$là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của $P\left( n \right)$ lớn hơn bậc của $Q\left( n \right)$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn ?
A. Dãy $\left( {{a}_{n}} \right)$, với ${{a}_{n}}=\sqrt{{{n}^{3}}+n},\forall n\in \mathbb{N}*$.
B. Dãy $\left( {{b}_{n}} \right)$, với ${{b}_{n}}={{n}^{2}}+\frac{1}{2n},\forall n\in \mathbb{N}*$.
C. Dãy $\left( {{c}_{n}} \right)$, với ${{c}_{n}}={{(-2)}^{n}}+3,\forall n\in \mathbb{N}*$.
D. Dãy $\left( {{d}_{n}} \right)$, với ${{d}_{n}}=\frac{3n}{{{n}^{3}}+2},\forall n\in \mathbb{N}*$.
Lời giải
Chọn D
Xét dãy $\left( {{a}_{n}} \right)$, có ${{a}_{n}}=\sqrt{{{n}^{3}}+n}>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ bị chặn dưới
Xét dãy $\left( {{b}_{n}} \right)$, có ${{b}_{n}}={{n}^{2}}+\frac{1}{2n}>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ bị chặn dưới
Xét dãy $\left( {{c}_{n}} \right)$, có ${{c}_{n}}={{(-2)}^{n}}+3,\forall n\in \mathbb{N}*$ không bị chặn
Xét dãy $\left( {{d}_{n}} \right)$, có ${{d}_{n}}=\frac{3n}{{{n}^{3}}+2},\forall n\in \mathbb{N}*$ Ta có ${{n}^{3}}-3n+2={{\left( n-1 \right)}^{2}}\left( n+2 \right)\ge 0,\forall n\in \mathbb{N}*$ $\Rightarrow {{n}^{3}}+2\ge 3n\Rightarrow 0<\frac{3n}{{{n}^{3}}+2}\le 1$$\Rightarrow \left( {{d}_{n}} \right)$bị chặn.
Cách khác: ${{n}^{3}}+2={{n}^{3}}+1+1\ge 3\sqrt[3]{{{n}^{3}}.1.1}=3n$
Giải nhanh: Ta dễ thấy dãy số $\left( {{d}_{n}} \right)$ có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu. Suy ra dãy $\left( {{d}_{n}} \right)$ bị chặn
Cách khác: Dãy đã cho là dãy số giảm nên bị chặn trên bởi ${{u}_{1}}=1$
Bài tập 2:
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $({{u}_{n}})$, biết: ${{u}_{n}}=\frac{2n-13}{3n-2}$
A. Dãy số tăng, bị chặn.
B. Dãy số giảm, bị chặn.
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.
D. Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{34}{(3n+1)(3n-2)}>0$ với mọi $n\ge 1$.
Suy ra ${{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}\text{ }\forall n\ge 1\Rightarrow $ dãy $({{u}_{n}})$ là dãy tăng $\Rightarrow $ dãy bị chặn dưới bởi ${{u}_{1}}=-\frac{9}{4}$.
Mặt khác: ${{u}_{n}}=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}\Rightarrow -\frac{9}{4}\le {{u}_{n}}<\frac{2}{3}\text{ }\forall n\ge 1$
Vậy dãy $({{u}_{n}})$ là dãy bị chặn.
Bài tập 3:
Chọn kết luận sai:
A. Dãy số $\left( 2n-1 \right)$ tăng và bị chặn trên.
B. Dãy số $\left( \frac{1}{n+1} \right)$ giảm và bị chặn dưới.
C. Dãy số $\left( -\frac{1}{n} \right)$ tăng và bị chặn trên.
D. Dãy số $\left( \frac{1}{{{3.2}^{n}}} \right)$ giảm và bị chặn dưới.
Lời giải
Đáp án B đúng vì dãy số $\left( \frac{1}{n+1} \right)$ giảm và bị chặn dưới bởi 0.
Đáp án C đúng vì dãy số $\left( -\frac{1}{n} \right)$ tăng và bị chặn trên bởi 0.
Đáp án D đúng vì dãy số $\left( \frac{1}{{{3.2}^{n}}} \right)$ giảm và bị chặn dưới bởi 0.
Đáp án A sai vì dãy số $\left( 2n-1 \right)$ tăng nhưng không bị chặn trên.
Chọn A
Bài tập 4:
Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right),$ với ${{u}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+…+\frac{1}{{{n}^{2}}},\forall n=2;\text{ }3;\text{ }4;\cdots .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ bị chặn.
D. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ không bị chặn.
Lời giải
Ta có ${{u}_{n}}>0\xrightarrow{{}}\left( {{u}_{n}} \right)$ bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác $\frac{1}{{{k}^{2}}}<\frac{1}{\left( k-1 \right)k}\,\,=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\,\,\left( k\in {{\mathbb{N}}^{*}},\,k\ge 2 \right)$ nên suy ra:
${{u}_{n}}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\cdots +\frac{1}{n\left( n+1 \right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}<1$
nên dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ bị chặn trên, do đó dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ bị chặn. Chọn C.
Bài tập 5:
Cho dãy số $({{u}_{n}})$biết $\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=1 \\& {{u}_{n+1}}=\frac{1}{2}{{u}_{n}}-1 \\\end{align} \right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Dãy số bị chặn. B. Dãy số bị chặn trên.
C. Dãy số bị chặn dưới. D. Không bị chặn
Lời giải
Chọn A
Ta dự đoán dãy số này bị chặn (dùng máy casio để tính một vài số hạng). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: $-2\le {{u}_{n}}\le 1,\forall n\in \mathbb{N}*$
Với $n=1$ta có $-2\le {{u}_{1}}\le 1$ (đúng)
Giả sử mệnh đề trên đúng với $n=k\ge 1$: $-2\le {{u}_{k}}\le 1$
$\begin{align} & \Rightarrow -1\le \frac{1}{2}{{u}_{k}}\le \frac{1}{2}\Rightarrow -2\le \frac{1}{2}{{u}_{k}}-1\le -\frac{1}{2} \\ & \Rightarrow -2\le {{u}_{k+1}}\le 1 \\\end{align}$
Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được $-2\le {{u}_{n}}\le 1,\forall n\in \mathbb{N}*$
Vậy $({{u}_{n}})$ bị chặn
Bài tập 6:
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $({{u}_{n}})$, biết: ${{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+3n+1}{n+1}$
A. Tăng, bị chặn trên. B. Tăng, bị chặn dưới. C. Giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{{{(n+1)}^{2}}+3(n+1)+1}{n+2}-\frac{{{n}^{2}}+3n+1}{n+1}$$=\frac{{{n}^{2}}+5n+5}{n+2}-\frac{{{n}^{2}}+3n+1}{n+1}$
$=\frac{({{n}^{2}}+5n+5)(n+1)-({{n}^{2}}+3n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}$$=\frac{{{n}^{2}}+3n+3}{(n+1)(n+2)}>0\text{ }\forall n\ge 1$
$\Rightarrow {{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}\text{ }\forall n\ge 1\Rightarrow $ dãy $({{u}_{n}})$ là dãy số tăng.
${{u}_{n}}>\frac{{{n}^{2}}+2n+1}{n+1}=n+1\ge 2\Rightarrow $ dãy $({{u}_{n}})$ bị chặn dưới.
Bài tập 7:
Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: $({{u}_{n}}):\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=2 \\& {{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}+1}{2},\text{ }\forall n\ge 2 \\\end{align} \right.$
A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn.
C. Tăng, chặn dưới, không bị chặn trên. D. Giảm, chặn trên, không bị chặn dưới.
Lời giải
Chọn B
Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: $1<{{u}_{n}}\le 2,\text{ }\forall n\text{ }$
Điều này đúng với $n=1$, giả sử $1<{{u}_{n}}<2$ ta có:
$1<{{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}+1}{2}<2$ nên ta có đpcm.
Mà ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1-{{u}_{n}}}{2}<0,\text{ }\forall n$.
Vậy dãy $({{u}_{n}})$ là dãy giảm và bị chặn.
Bài tập 8:
Cho hai dãy số $({{x}_{n}});({{y}_{n}})$ xác định: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}=\sqrt{3} \\& {{y}_{1}}=\sqrt{3} \\\end{align} \right.$ và $\left\{ \begin{align}& {{x}_{n}}={{x}_{n-1}}+\sqrt{1+x_{n-1}^{2}} \\& {{y}_{n}}=\frac{{{y}_{n-1}}}{1+\sqrt{1+y_{n-1}^{2}}} \\\end{align} \right.$, $\forall n\ge 2$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $1<{{x}_{n}}{{y}_{n}}<2,\text{ }\forall n\ge 2.$ B. $3<{{x}_{n}}{{y}_{n}}<4,\text{ }\forall n\ge 2.$
C. $4<{{x}_{n}}{{y}_{n}}<5,\text{ }\forall n\ge 2.$ D. $2<{{x}_{n}}{{y}_{n}}<3,\text{ }\forall n\ge 2.$
Lời giải:
Chọn D
Ta có: ${{x}_{1}}=\sqrt{3}=\cot \frac{\pi }{6}\Rightarrow {{x}_{2}}=\cot \frac{\pi }{6}+\sqrt{1+{{\cot }^{2}}\frac{\pi }{6}}=\frac{\cos \frac{\pi }{6}+1}{\sin \frac{\pi }{6}}=\cot \frac{\pi }{2.6}$
Bằng quy nạp ta chứng minh được:${{x}_{n}}=\cot \frac{\pi }{{{2}^{n-1}}.6}$.
Tương tự, ta cũng có: ${{y}_{n}}=\tan \frac{\pi }{{{2}^{n-1}}.3}$
Đặt ${{\alpha }_{n}}=\frac{\pi }{{{2}^{n}}.3}\Rightarrow {{x}_{n}}=\cot {{\alpha }_{n}};\text{ }{{y}_{n}}=\tan 2{{\alpha }_{n}}\Rightarrow {{x}_{n}}.{{y}_{n}}=\tan 2{{\alpha }_{n}}.\cot {{\alpha }_{n}}$
Đặt $t=\tan {{\alpha }_{n}}\Rightarrow \tan 2{{\alpha }_{n}}.\cot {{\alpha }_{n}}=\frac{2t}{1-{{t}^{2}}}.\frac{1}{t}=\frac{2}{1-{{t}^{2}}}$.
Vì $n\ge 2\Rightarrow 0<{{\alpha }_{n}}<\frac{\pi }{6}\Rightarrow 0<t<\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{2}{3}\le 1-{{t}^{2}}<1$
$\Rightarrow 2<\frac{2}{1-{{t}^{2}}}<3\Rightarrow 2<{{x}_{n}}{{y}_{n}}<3,\text{ }\forall n\ge 2$.