Cách giải và bài tập mẫu đạo hàm logarit

Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn công thức đạo hàm logarit, cách giải các dạng bài tập đạo hàm logarit cơ số x, bảng đạo hàm logarit, công thức tính đạo hàm logarit cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!

I. Cách giải đạo hàm logarit

đạo hàm logarit

II. Bài tập mẫu đạo hàm logarit

Câu 1: Tính tổng đạo hàm của hàm số x

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln 2018+\ln \left( \frac{x}{x+1} \right)$. Tính $S=f’\left( 1 \right)+f’\left( 2 \right)+f’\left( 3 \right)+\cdots +f’\left( 2017 \right).$

A. $S=\frac{4035}{2018}$                                        B. $S=\frac{2017}{2018}$                                   C. $S=\frac{2016}{2017}$                                D. $S=2017$

Lời giải

Chọn B

Ta có $f\left( x \right)=\ln 2018+\ln \left( \frac{x}{x+1} \right)$$\Rightarrow {f}’\left( x \right)=\frac{1}{x\left( x+1 \right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$

Do đó $S=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}$$=1-\frac{1}{2018}=\frac{2017}{2018}$.

Câu 2: Tính tổng đạo hàm của hàm số x

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \frac{2018x}{x+1}$. Tính tổng $S={f}’\left( 1 \right)+{f}’\left( 2 \right)+…+{f}’\left( 2018 \right)$.

A. $\ln 2018$.                                     B. $1$.                                          C. $2018$.                                     D. $\frac{2018}{2019}$.

Lời giải

Ta có: ${f}’\left( x \right)={{\left( \ln \frac{2018x}{x+1} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\frac{2018x}{x+1}}.{{\left( \frac{2018x}{x+1}. \right)}^{\prime }}$$=\frac{x+1}{2018x}.\frac{2018}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{x.\left( x+1 \right)}$

Vậy $S={f}’\left( 1 \right)+{f}’\left( 2 \right)+…+{f}’\left( 2018 \right)$

$=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{2018.2019}$ $=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}$

$=1-\frac{1}{2019}=\frac{2018}{2019}$.

Câu 3: Tìm khẳng định đúng của hàm số

Cho hàm $y=x\left[ \cos \left( \ln x \right)+sin\left( \ln x \right) \right]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${{x}^{2}}{{y}’}’+x{y}’-2y+4=0$.                                                    B. ${{x}^{2}}{{y}’}’-x{y}’-2xy=0$.

C. $2{{x}^{2}}{y}’+x{{y}’}’+2y-5=0$.                                                    D. ${{x}^{2}}{{y}’}’-x{y}’+2y=0$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $y=x\left[ \cos \left( \ln x \right)+sin\left( \ln x \right) \right]$

${y}’=\cos \left( \ln x \right)+sin\left( \ln x \right)-sin\left( \ln x \right)+\cos \left( \ln x \right)=2\cos \left( \ln x \right)$

${{y}’}’=-\frac{2}{x}\sin \left( \ln x \right)$

Từ đó kiểm tra thấy đáp án $D$ đúng vì :

${{x}^{2}}{{y}’}’-x{y}’+2y={{y}’}’=-2x\sin \left( \ln x \right)-2x\cos \left( \ln x \right)+2x\left[ \cos \left( \ln x \right)+\sin \left( \ln x \right) \right]=0$.

Xem thêm: Bài tập phương trình logarit có lời giải

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2019}}\left| x \right|,\,\forall x\ne 0$.

A. ${y}’=\frac{1}{\left| x \right|\ln 2019}$.                               B. ${y}’=\frac{1}{\left| x \right|}$.                           C. ${y}’=\frac{1}{x\ln 2019}$.                         D. ${y}’=x\ln 2019$.

Lời giải

công thức đạo hàm logarit

Câu 5: Tính tích của x1, x2

Cho hàm số $f\left( x \right)={{e}^{x-{{x}^{2}}}}$. Biết phương trình ${{f}’}’\left( x \right)=0$ có hai nghiệm ${{{x}_{1}}}$, ${{{x}_{2}}}$. Tính ${{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$.

A. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\frac{1}{4}$                           B. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1$                      C. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{3}{4}$                     D. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=0$

Lời giải

Chọn A

Ta có: ${f}’\left( x \right)=\left( 1-2x \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}$.

${{f}’}’\left( x \right)=-2{{e}^{x-{{x}^{2}}}}+\left( 1-2x \right)\left( 1-2x \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}=\left( -1-4x+4{{x}^{2}} \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}$

${{f}’}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( -1-4x+4{{x}^{2}} \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow -1-4x+4{{x}^{2}}=0$ khi đó ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{4}$.

Câu 6: Tính tổng đạo hàm của hàm số x

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( \frac{x}{x+2} \right).$ Tổng ${{f}^{‘}}\left( 1 \right)+{{f}^{‘}}\left( 3 \right)+{{f}^{‘}}\left( 5 \right)+…+{{f}^{‘}}\left( 2021 \right)$ bằng

A. $\frac{4035}{2021}.$.                              B. $\frac{2021}{2022}$.                           C. $2021.$.                      D. $\frac{2022}{2023}.$

Lời giải

Chọn D

Ta có$f\left( x \right)=\ln \left( \frac{x}{x+2} \right)\Rightarrow {{f}^{‘}}\left( x \right)=\frac{2}{x\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$

Vậy

công thức đạo hàm logarit

Câu 7: Tìm tổng số nghiệm của phương trình

Phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ với $f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-\frac{1}{2} \right)$ có bao nhiêu nghiệm?

A. $0$ nghiệm.                                B. $1$ nghiệm.                                 C. $2$ nghiệm.                      D. $3$ nghiệm.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: ${{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-\frac{1}{2}>0$.

bảng đạo hàm logarit

Đối chiếu điều kiện ta được $x=1$.

Vậy phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ có $1$ nghiệm.

Câu 8: Tính giá trị của biểu thức

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \frac{x+1}{x+4}$. Tính giá trị của biểu thức $P={f}’\left( 0 \right)+{f}’\left( 3 \right)+{f}’\left( 6 \right)+…+{f}’\left( 2019 \right)$.

A. $\frac{1}{4}$.                             B. $\frac{2024}{2023}$.                              C. $\frac{2022}{2023}$.                               D. $\frac{2020}{2023}$.

Lời giải

Chọn C

Với $x\in [0\text{ ; +}\infty \text{)}$ta có $x+1>0$ và $x+4>0$ nên $f\left( x \right)=\ln \frac{x+1}{x+4}=\ln \left( x+1 \right)-\ln \left( x+4 \right)$.

Từ đó ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}$.

Do đó $P={f}’\left( 0 \right)+{f}’\left( 3 \right)+{f}’\left( 6 \right)+…+{f}’\left( 2019 \right)$

$=\left( 1-\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{7} \right)+\left( \frac{1}{7}-\frac{1}{10} \right)+…+\left( \frac{1}{2020}-\frac{1}{2023} \right)=1-\frac{1}{2023}=\frac{2022}{2023}$.

Câu 9: Tính giá trị của m

Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left( 2m-1 \right){{e}^{x}}+3$. Giá trị của $m$ để $f’\left( -\ln 3 \right)=\frac{5}{3}$ là

A. $m=\frac{7}{9}$.                           B. $m=\frac{2}{9}$.                          C. $m=3$.                      D. $m=-\frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn C

$f’\left( x \right)=\left( 2m-1 \right){{e}^{x}}$.

$\Rightarrow f’\left( -\ln 3 \right)=\left( 2m-1 \right){{e}^{-\ln 3}}=\frac{2m-1}{{{e}^{\ln 3}}}=\frac{2m-1}{3}$.

$f’\left( -\ln 3 \right)=\frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{2m-1}{3}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow m=3$.

Xem thêm:

Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Lý thuyết và bài tập mẫu phương trình mũ và logarit

Lý thuyết và bài tập mẫu lũy thừa