Cách giải và bài tập mẫu đạo hàm logarit

Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn công thức đạo hàm logarit, cách giải các dạng bài tập đạo hàm logarit cơ số x, bảng đạo hàm logarit, công thức tính đạo hàm logarit cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!

I. CÁCH GIẢI

II. BÀI TẬP MẪU

Câu 1: 

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln 2018+\ln \left( \frac{x}{x+1} \right)$. Tính $S=f’\left( 1 \right)+f’\left( 2 \right)+f’\left( 3 \right)+\cdots +f’\left( 2017 \right).$

A. $S=\frac{4035}{2018}$                                        B. $S=\frac{2017}{2018}$                                   C. $S=\frac{2016}{2017}$                                D. $S=2017$

Lời giải

Chọn B

Ta có $f\left( x \right)=\ln 2018+\ln \left( \frac{x}{x+1} \right)$$\Rightarrow {f}’\left( x \right)=\frac{1}{x\left( x+1 \right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$

Do đó $S=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}$$=1-\frac{1}{2018}=\frac{2017}{2018}$.

Câu 2: 

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \frac{2018x}{x+1}$. Tính tổng $S={f}’\left( 1 \right)+{f}’\left( 2 \right)+…+{f}’\left( 2018 \right)$.

A. $\ln 2018$.                                     B. $1$.                                          C. $2018$.                                     D. $\frac{2018}{2019}$.

Lời giải

Ta có: ${f}’\left( x \right)={{\left( \ln \frac{2018x}{x+1} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\frac{2018x}{x+1}}.{{\left( \frac{2018x}{x+1}. \right)}^{\prime }}$$=\frac{x+1}{2018x}.\frac{2018}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{x.\left( x+1 \right)}$

Vậy $S={f}’\left( 1 \right)+{f}’\left( 2 \right)+…+{f}’\left( 2018 \right)$

$=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{2018.2019}$ $=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}$

$=1-\frac{1}{2019}=\frac{2018}{2019}$.

Câu 3: 

Cho hàm $y=x\left[ \cos \left( \ln x \right)+sin\left( \ln x \right) \right]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${{x}^{2}}{{y}’}’+x{y}’-2y+4=0$.                                                    B. ${{x}^{2}}{{y}’}’-x{y}’-2xy=0$.

C. $2{{x}^{2}}{y}’+x{{y}’}’+2y-5=0$.                                                    D. ${{x}^{2}}{{y}’}’-x{y}’+2y=0$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $y=x\left[ \cos \left( \ln x \right)+sin\left( \ln x \right) \right]$

${y}’=\cos \left( \ln x \right)+sin\left( \ln x \right)-sin\left( \ln x \right)+\cos \left( \ln x \right)=2\cos \left( \ln x \right)$

${{y}’}’=-\frac{2}{x}\sin \left( \ln x \right)$

Từ đó kiểm tra thấy đáp án $D$ đúng vì :

${{x}^{2}}{{y}’}’-x{y}’+2y={{y}’}’=-2x\sin \left( \ln x \right)-2x\cos \left( \ln x \right)+2x\left[ \cos \left( \ln x \right)+\sin \left( \ln x \right) \right]=0$.

Câu 4: 

Tính đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2019}}\left| x \right|,\,\forall x\ne 0$.

A. ${y}’=\frac{1}{\left| x \right|\ln 2019}$.                               B. ${y}’=\frac{1}{\left| x \right|}$.                           C. ${y}’=\frac{1}{x\ln 2019}$.                         D. ${y}’=x\ln 2019$.

Lời giải

Câu 5: 

Cho hàm số $f\left( x \right)={{e}^{x-{{x}^{2}}}}$. Biết phương trình ${{f}’}’\left( x \right)=0$ có hai nghiệm ${{{x}_{1}}}$, ${{{x}_{2}}}$. Tính ${{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$.

A. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\frac{1}{4}$                           B. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1$                      C. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{3}{4}$                     D. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=0$

Lời giải

Chọn A

Ta có: ${f}’\left( x \right)=\left( 1-2x \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}$.

${{f}’}’\left( x \right)=-2{{e}^{x-{{x}^{2}}}}+\left( 1-2x \right)\left( 1-2x \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}=\left( -1-4x+4{{x}^{2}} \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}$

${{f}’}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( -1-4x+4{{x}^{2}} \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow -1-4x+4{{x}^{2}}=0$ khi đó ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{4}$.

Câu 6: 

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( \frac{x}{x+2} \right).$ Tổng ${{f}^{‘}}\left( 1 \right)+{{f}^{‘}}\left( 3 \right)+{{f}^{‘}}\left( 5 \right)+…+{{f}^{‘}}\left( 2021 \right)$ bằng

A. $\frac{4035}{2021}.$.                              B. $\frac{2021}{2022}$.                           C. $2021.$.                      D. $\frac{2022}{2023}.$

Lời giải

Chọn D

Ta có$f\left( x \right)=\ln \left( \frac{x}{x+2} \right)\Rightarrow {{f}^{‘}}\left( x \right)=\frac{2}{x\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$

Vậy

công thức đạo hàm logarit

Câu 7: 

Phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ với $f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-\frac{1}{2} \right)$ có bao nhiêu nghiệm?

A. $0$ nghiệm.                                B. $1$ nghiệm.                                 C. $2$ nghiệm.                      D. $3$ nghiệm.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: ${{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-\frac{1}{2}>0$.

Đối chiếu điều kiện ta được $x=1$.

Vậy phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ có $1$ nghiệm.

Câu 8: 

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \frac{x+1}{x+4}$. Tính giá trị của biểu thức $P={f}’\left( 0 \right)+{f}’\left( 3 \right)+{f}’\left( 6 \right)+…+{f}’\left( 2019 \right)$.

A. $\frac{1}{4}$.                             B. $\frac{2024}{2023}$.                              C. $\frac{2022}{2023}$.                               D. $\frac{2020}{2023}$.

Lời giải

Chọn C

Với $x\in [0\text{ ; +}\infty \text{)}$ta có $x+1>0$ và $x+4>0$ nên $f\left( x \right)=\ln \frac{x+1}{x+4}=\ln \left( x+1 \right)-\ln \left( x+4 \right)$.

Từ đó ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}$.

Do đó $P={f}’\left( 0 \right)+{f}’\left( 3 \right)+{f}’\left( 6 \right)+…+{f}’\left( 2019 \right)$

$=\left( 1-\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{7} \right)+\left( \frac{1}{7}-\frac{1}{10} \right)+…+\left( \frac{1}{2020}-\frac{1}{2023} \right)=1-\frac{1}{2023}=\frac{2022}{2023}$.

Câu 9: 

Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left( 2m-1 \right){{e}^{x}}+3$. Giá trị của $m$ để $f’\left( -\ln 3 \right)=\frac{5}{3}$ là

A. $m=\frac{7}{9}$.                           B. $m=\frac{2}{9}$.                          C. $m=3$.                      D. $m=-\frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn C

$f’\left( x \right)=\left( 2m-1 \right){{e}^{x}}$.

$\Rightarrow f’\left( -\ln 3 \right)=\left( 2m-1 \right){{e}^{-\ln 3}}=\frac{2m-1}{{{e}^{\ln 3}}}=\frac{2m-1}{3}$.

$f’\left( -\ln 3 \right)=\frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{2m-1}{3}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow m=3$.

Xem thêm:

Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Lý thuyết và bài tập mẫu phương trình mũ và logarit

Lý thuyết và bài tập mẫu lũy thừa