Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn công thức đạo hàm logarit, cách giải các dạng bài tập đạo hàm logarit cơ số x, bảng đạo hàm logarit, công thức tính đạo hàm logarit cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. Cách giải đạo hàm logarit
II. Bài tập mẫu đạo hàm logarit
Câu 1: Tính tổng đạo hàm của hàm số x
Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln 2018+\ln \left( \frac{x}{x+1} \right)$. Tính $S=f’\left( 1 \right)+f’\left( 2 \right)+f’\left( 3 \right)+\cdots +f’\left( 2017 \right).$
A. $S=\frac{4035}{2018}$ B. $S=\frac{2017}{2018}$ C. $S=\frac{2016}{2017}$ D. $S=2017$
Lời giải
Chọn B
Ta có $f\left( x \right)=\ln 2018+\ln \left( \frac{x}{x+1} \right)$$\Rightarrow {f}’\left( x \right)=\frac{1}{x\left( x+1 \right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$
Do đó $S=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}$$=1-\frac{1}{2018}=\frac{2017}{2018}$.
Câu 2: Tính tổng đạo hàm của hàm số x
Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \frac{2018x}{x+1}$. Tính tổng $S={f}’\left( 1 \right)+{f}’\left( 2 \right)+…+{f}’\left( 2018 \right)$.
A. $\ln 2018$. B. $1$. C. $2018$. D. $\frac{2018}{2019}$.
Lời giải
Ta có: ${f}’\left( x \right)={{\left( \ln \frac{2018x}{x+1} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\frac{2018x}{x+1}}.{{\left( \frac{2018x}{x+1}. \right)}^{\prime }}$$=\frac{x+1}{2018x}.\frac{2018}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{x.\left( x+1 \right)}$
Vậy $S={f}’\left( 1 \right)+{f}’\left( 2 \right)+…+{f}’\left( 2018 \right)$
$=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{2018.2019}$ $=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}$
$=1-\frac{1}{2019}=\frac{2018}{2019}$.
Câu 3: Tìm khẳng định đúng của hàm số
Cho hàm $y=x\left[ \cos \left( \ln x \right)+sin\left( \ln x \right) \right]$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${{x}^{2}}{{y}’}’+x{y}’-2y+4=0$. B. ${{x}^{2}}{{y}’}’-x{y}’-2xy=0$.
C. $2{{x}^{2}}{y}’+x{{y}’}’+2y-5=0$. D. ${{x}^{2}}{{y}’}’-x{y}’+2y=0$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $y=x\left[ \cos \left( \ln x \right)+sin\left( \ln x \right) \right]$
${y}’=\cos \left( \ln x \right)+sin\left( \ln x \right)-sin\left( \ln x \right)+\cos \left( \ln x \right)=2\cos \left( \ln x \right)$
${{y}’}’=-\frac{2}{x}\sin \left( \ln x \right)$
Từ đó kiểm tra thấy đáp án $D$ đúng vì :
${{x}^{2}}{{y}’}’-x{y}’+2y={{y}’}’=-2x\sin \left( \ln x \right)-2x\cos \left( \ln x \right)+2x\left[ \cos \left( \ln x \right)+\sin \left( \ln x \right) \right]=0$.
Xem thêm: Bài tập phương trình logarit có lời giải
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số
Tính đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2019}}\left| x \right|,\,\forall x\ne 0$.
A. ${y}’=\frac{1}{\left| x \right|\ln 2019}$. B. ${y}’=\frac{1}{\left| x \right|}$. C. ${y}’=\frac{1}{x\ln 2019}$. D. ${y}’=x\ln 2019$.
Lời giải
Câu 5: Tính tích của x1, x2
Cho hàm số $f\left( x \right)={{e}^{x-{{x}^{2}}}}$. Biết phương trình ${{f}’}’\left( x \right)=0$ có hai nghiệm ${{{x}_{1}}}$, ${{{x}_{2}}}$. Tính ${{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$.
A. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\frac{1}{4}$ B. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1$ C. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{3}{4}$ D. ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=0$
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${f}’\left( x \right)=\left( 1-2x \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}$.
${{f}’}’\left( x \right)=-2{{e}^{x-{{x}^{2}}}}+\left( 1-2x \right)\left( 1-2x \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}=\left( -1-4x+4{{x}^{2}} \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}$
${{f}’}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( -1-4x+4{{x}^{2}} \right){{e}^{x-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow -1-4x+4{{x}^{2}}=0$ khi đó ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{4}$.
Câu 6: Tính tổng đạo hàm của hàm số x
Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( \frac{x}{x+2} \right).$ Tổng ${{f}^{‘}}\left( 1 \right)+{{f}^{‘}}\left( 3 \right)+{{f}^{‘}}\left( 5 \right)+…+{{f}^{‘}}\left( 2021 \right)$ bằng
A. $\frac{4035}{2021}.$. B. $\frac{2021}{2022}$. C. $2021.$. D. $\frac{2022}{2023}.$
Lời giải
Chọn D
Ta có$f\left( x \right)=\ln \left( \frac{x}{x+2} \right)\Rightarrow {{f}^{‘}}\left( x \right)=\frac{2}{x\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$
Vậy
Câu 7: Tìm tổng số nghiệm của phương trình
Phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ với $f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-\frac{1}{2} \right)$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0$ nghiệm. B. $1$ nghiệm. C. $2$ nghiệm. D. $3$ nghiệm.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: ${{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-\frac{1}{2}>0$.
Đối chiếu điều kiện ta được $x=1$.
Vậy phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ có $1$ nghiệm.
Câu 8: Tính giá trị của biểu thức
Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \frac{x+1}{x+4}$. Tính giá trị của biểu thức $P={f}’\left( 0 \right)+{f}’\left( 3 \right)+{f}’\left( 6 \right)+…+{f}’\left( 2019 \right)$.
A. $\frac{1}{4}$. B. $\frac{2024}{2023}$. C. $\frac{2022}{2023}$. D. $\frac{2020}{2023}$.
Lời giải
Chọn C
Với $x\in [0\text{ ; +}\infty \text{)}$ta có $x+1>0$ và $x+4>0$ nên $f\left( x \right)=\ln \frac{x+1}{x+4}=\ln \left( x+1 \right)-\ln \left( x+4 \right)$.
Từ đó ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}$.
Do đó $P={f}’\left( 0 \right)+{f}’\left( 3 \right)+{f}’\left( 6 \right)+…+{f}’\left( 2019 \right)$
$=\left( 1-\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{7} \right)+\left( \frac{1}{7}-\frac{1}{10} \right)+…+\left( \frac{1}{2020}-\frac{1}{2023} \right)=1-\frac{1}{2023}=\frac{2022}{2023}$.
Câu 9: Tính giá trị của m
Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left( 2m-1 \right){{e}^{x}}+3$. Giá trị của $m$ để $f’\left( -\ln 3 \right)=\frac{5}{3}$ là
A. $m=\frac{7}{9}$. B. $m=\frac{2}{9}$. C. $m=3$. D. $m=-\frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn C
$f’\left( x \right)=\left( 2m-1 \right){{e}^{x}}$.
$\Rightarrow f’\left( -\ln 3 \right)=\left( 2m-1 \right){{e}^{-\ln 3}}=\frac{2m-1}{{{e}^{\ln 3}}}=\frac{2m-1}{3}$.
$f’\left( -\ln 3 \right)=\frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{2m-1}{3}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow m=3$.
Xem thêm:
Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
