Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết của định nghĩa, ý nghĩa và bản chất của đạo hàm là gì? lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bản chất của đạo hàm là gì? hay ý nghĩa của đạo hàm là gì? cũng như định nghĩa đạo hàm bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. ĐỊNH NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM:
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến đạo hàm một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các Định nghĩa, ý nghĩa và bản chất của đạo hàm là gì của dạng này như sau:
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
– Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( a\ ;\ b \right)$ và ${{x}_{0}}\in \left( a\ ;\ b \right)$ nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ và kí hiệu là ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)$ tức là
${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=$$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=$$\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Trong đó: Đại lượng $\Delta x=x-{{x}_{0}}$ là số gia của đối số tại ${{x}_{0}}$, đại lượng $\Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$$=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$ là số gia tương ứng của hàm số.
– Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ bằng định nghĩa ta làm theo các bước sau
Bước 1: Tính $\Delta y$$=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)$
Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Bước 3: Tìm $\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$
3. Đạo hàm bên trái, bên phải
${f}’\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=$$\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$; ${f}’\left( {{x}_{0}}^{-} \right)=$$\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$
Hệ quả: Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì sẽ tồn tại ${f}’\left( {{x}_{0}}^{+} \right)$ và ${f}’\left( {{x}_{0}}^{-} \right)$ đồng thời ${f}’\left( {{x}_{0}}^{+} \right)={f}’\left( {{x}_{0}}^{-} \right)$.
4. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
– Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên $\left( a\,;\ b \right)$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $\left( a\ ;\ b \right)$.
– Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên $\left[ a\,;\ b \right]$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc $\left( a\,;\ b \right)$ đồng thời tồn tại đạo hàm bên trái ${f}’\left( {{b}^{-}} \right)$ và đạo hàm bên phải ${f}’\left( {{a}^{+}} \right)$.
5. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
– Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì $y=f\left( x \right)$ liên tục tại ${{x}_{0}}$.
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$.
Chẳng hạn: Xét hàm $f(x)=|x|$ liên tục tại $x=0$ nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
Vì $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=1$, còn$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=-1$.
II. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM LÀ GÌ?
1. Ý nghĩa hình học
Đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{o}} \right)$ là $k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm ${{M}_{0}}$ có dạng:
$y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$
2. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Phương trình quỹ đạo chuyển động của chất điểm: $s=f\left( t \right)$.
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường $v={s}’={f}’\left( t \right)$.
III. BẢN CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LÀ GÌ?
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:
Cho các hàm số $u=u\left( x \right)$ và $v=v\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:
- $\left( u+v \right)’=u’+v’$2. $\left( u-v \right)’=u’-v’$
- $\left( u.v \right)’=u’v+v’u$4. ${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{\prime }}=\frac{{u}’v-{v}’u}{{{v}^{2}}}\Rightarrow {{\left( \frac{1}{v} \right)}^{\prime }}=-\frac{{{v}’}}{{{v}^{2}}}$
Mở rộng:
${{\left( {{u}_{1}}\pm {{u}_{2}}\pm …\pm {{u}_{n}} \right)}^{\prime }}={{u}_{1}}^{\prime }\pm {{u}_{2}}^{\prime }\pm …\pm {{u}_{n}}^{\prime }$.2.${{\left( u.v.\text{w} \right)}^{\prime }}={u}’.v.\text{w}+u.{v}’.\text{w}+u.v.\text{{w}’}$
2. Đạo hàm của hàm số hợp:
Cho hàm số $y=f\left( u\left( x \right) \right)=f\left( u \right)$ với $u=u\left( x \right)$. Khi đó: $y{{‘}_{x}}=y{{‘}_{u}}.u{{‘}_{x}}$
3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
|
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản |
Đạo hàm các hàm hợp $u=u\left( x \right)$ |
| ${{\left( c \right)}^{\prime }}=0$, c là hằng số
$\begin{align}& {{\left( x \right)}^{\prime }}=1 \\& {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\& {{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\& {{\left( {{x}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{{x}^{\alpha -1}} \\\end{align}$ |
$\begin{align}& {{\left( \frac{1}{u} \right)}^{\prime }}=-\frac{{{u}’}}{{{u}^{2}}} \\& {{\left( \sqrt{u} \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{2\sqrt{u}} \\& {{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{u}’.{{u}^{\alpha -1}} \\\end{align}$
|
Chú ý: Với các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của lý thuyết liên quan đến định nghĩa, ý nghĩa và bản chất của đạo hàm là gì mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về chuyên đề định nghĩa, ý nghĩa và bản chất thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!