Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của đạo hàm của hàm số lượng giác 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài 3 đạo hàm của hàm số lượng giác cũng như các bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được lý thuyết bài tập dãy số lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
Bảng công thức tính đạo hàm các hàm lượng giác
| ${{\left( \sin \,x\right)}^{\prime }}=\cos x$ | ${{\left( \sin \,u\right)}^{\prime }}={u}’.\cos u$ |
| ${{\left( \cos \,x \right)}^{\prime }}=-\sin x$ | ${{\left( \cos \,u \right)}^{\prime }}=-{u}’.\sin u$ |
| ${{\left( \tan \,x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ | ${{\left( \tan \,u\right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{{{\cos }^{2}}u}$ |
| ${{\left( \cot \,x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ | ${{\left( \cot \,u \right)}^{\prime }}=-\frac{{{u}’}}{{{\sin }^{2}}x}$ |
1. Ý nghĩa hình học
Đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{o}} \right)$ là $k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm ${{M}_{0}}$ có dạng:
$y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$
2. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Phương trình quỹ đạo chuyển động của chất điểm: $s=f\left( t \right)$.
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường $v={s}’={f}’\left( t \right)$.
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của chuyên đề đạo hàm của hàm số lượng giác thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác lớp 11 có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Tính đạo hàm các phương trình sau:
a) $y=\left( \sin x+\cos x \right)\left( 3\cos x-\frac{1}{3}\sin x \right)$
b) $y=\cot x.\left( 4\cos x-\sqrt[3]{x} \right)$
c) $y=\left( 2\tan x+\frac{1}{2}\cot x \right)\left( 6\sin x-\frac{2}{3} \right)$
Lời giải
a) ${y}’={{\left( \sin x+\cos x \right)}^{\prime }}\left( 3\cos x-\frac{1}{3}\sin x \right)+\left( \sin x+\cos x \right){{\left( 3\cos x-\frac{1}{3}\sin x \right)}^{\prime }}$
$\begin{align}& =\left( \cos x-\sin x \right)\left( 3\cos x-\frac{1}{3}\sin x \right)+\left( \sin x+\cos x \right)\left( -3\sin x-\frac{1}{3}\cos x \right) \\ & =3{{\cos }^{2}}x-\frac{10}{3}\sin x\cos x+\frac{1}{3}{{\sin }^{2}}x-\frac{10}{3}\sin x\cos x-\frac{1}{3}{{\cos }^{2}}x \\ & =\frac{8}{3}{{\cos }^{2}}x-\frac{8}{3}{{\sin }^{2}}x-\frac{20}{3}\sin x\cos x \\ \end{align}$
b) ${y}’={{\left( \cot x \right)}^{\prime }}\left( 4\cos x-\sqrt[3]{x} \right)+\cot x.{{\left( 4\cos x-\sqrt[3]{x} \right)}^{\prime }}$
$\begin{align}& =-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\left( 4\cos x-\sqrt[3]{x} \right)+\cot x\left( -4sinx-\frac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \right) \\ & =-\frac{4\cos x}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{\sqrt[3]{x}}{{{\sin }^{2}}x}-4\cos x-\frac{\cot x}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \\ \end{align}$
c) ${y}’={{\left( 2\tan x+\frac{1}{2}\cot x \right)}^{\prime }}\left( 6\sin x-\frac{2}{3} \right)+\left( 2\tan x+\frac{1}{2}\cot x \right){{\left( 6\sin x-\frac{2}{3} \right)}^{\prime }}$
$\begin{align}& =\left( \frac{2}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{2{{\sin }^{2}}x} \right)\left( 6\sin x-\frac{2}{3} \right)+\left( 2\tan x+\frac{1}{2}\cot x \right)6\cos x \\ & =\frac{12\sin x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{3}{\sin x}-\frac{4}{3{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{3{{\sin }^{2}}x}+12\sin x+\frac{3{{\cos }^{2}}x}{\sin x} \\\end{align}$
Bài tập 2:
Tính đạo hàm các phương trình sau:
a) $y=\frac{x}{1-2\cos x}$
b) $y=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$
c) $y=f\left( x \right)=\frac{2x-1}{\sin x+\cos x}$
Lời giải
a) ${y}’=\frac{1-2\cos x-x\left( 2\sin x \right)}{{{\left( 1-2\cos x \right)}^{2}}}=\frac{1-2\cos x-2x\sin x}{{{\left( 1-2\cos x \right)}^{2}}}$
b) ${y}’=\frac{{{\left( 1+\sin x \right)}^{\prime }}\left( 1+\cos x \right)-{{\left( 1+\cos x \right)}^{\prime }}\left( 1+\sin x \right)}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}$
$\,\,=\frac{\cos x\left( 1+\cos x \right)+\sin x\left( 1+\sin x \right)}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}=\frac{\cos x+\sin x+1}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}$
c) ${y}’=\frac{2\left( \sin x+\cos x \right)-\left( 2x-1 \right)\left( \cos x-\sin x \right)}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}$
$\begin{align}& =\frac{2\sin x+2\cos x-2x\cos x+2x\sin x+\cos x-\sin x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\frac{\sin x+3\cos x-2x\cos x+2x\sin x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}} \\ \end{align}$
Bài tập 3:
Tính đạo hàm các phương trình sau:
a) $y=\frac{1}{3}\sin 3x$ b) $y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}$
c) $y=\tan 2x-\frac{1}{3}\cot 4x+\sqrt{\sin x}$ d) $y=\sqrt{\cos 3x}-\frac{1}{\sin 2x}$
e) $y={{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}}$
Lời giải
a) ${y}’=\frac{1}{3}{{\left( \sin 3x \right)}^{\prime }}=\cos 3x$
b) ${y}’={{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( \frac{x}{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$
c) ${y}’={{\left( \tan 2x \right)}^{\prime }}-\frac{1}{3}{{\left( \cot 4x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{{{\cos }^{2}}2x}+\frac{4}{3{{\sin }^{2}}4x}+\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$
d) ${y}’={{\left( \sqrt{\cos 3x} \right)}^{\prime }}-{{\left( \frac{1}{\sin 2x} \right)}^{\prime }}=\frac{-3\sin 3x}{2\sqrt{\cos 3x}}+\frac{2\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x}$
e) ${y}’={{\left[ {{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}=2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}{{\left( \frac{\sin x}{1+\cos 2x} \right)}^{\prime }}$
$\begin{align}& =2.\frac{\sin x}{1+\cos 2x}.\frac{\cos x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\sin x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{2}}}=\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+4\sin 2x{{\sin }^{2}}x}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\ & =\frac{\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)+2\sin 2x\left( 1-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}}=\frac{\sin 2x\left( 3-\cos 2x \right)}{{{\left( 1+\cos 2x \right)}^{3}}} \\ \end{align}$
Bài tập 4:
Giải phương trình ${f}'(x)=0$ trong các trường hợp sau
a) $f(x)=\sin 3x+3\sin x+4$.
b) $f(x)=\cos 2x+2\sin x+3$.
c) $f(x)=-\sqrt{3}\cos x+\sin x+1$.
Lời giải
a) $f(x)=\sin 3x+3\sin x+4\Rightarrow {f}’\left( x \right)=3\cos 3x+3\cos x$
${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3\cos 3x+3\cos x=0\Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( \pi -x \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 3x=\pi -x+k2\pi \\& 3x=-\pi +x+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\& x=\frac{-\pi }{2}+k\pi \\\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
b) $f(x)=\cos 2x+2\sin x+3\Rightarrow {f}’\left( x \right)=-2\sin 2x+2\cos x$
${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow -2\sin 2x+2\cos x=0\Leftrightarrow \cos x\left( -2\sin x+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \cos x=0 \\& \sin x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\& x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\& x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\& x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\& x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
c) ${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x+\cos x=0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=0\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=0$
$\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{6}=k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \,\,\,\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Bài tập 5:
Cho hàm số $y=\sqrt{\cot \left( {{x}^{2}}+1 \right)}$. Chứng minh rằng: $2y.{{y}^{‘}}+x.\left( 1+{{y}^{4}} \right)=0$.
Lời giải
Ta có: ${{y}^{‘}}=\frac{{{\left( \cot \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}^{‘}}}{2\sqrt{\cot \left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{\left( -1 \right)\left( 1+\cot \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right).{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{‘}}}{2\sqrt{\cot \left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{-x\left( 1+{{\cot }^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{2\sqrt{\cot \left( {{x}^{2}}+1 \right)}}$
$\begin{align}& VT=-2\sqrt{\cot \left( {{x}^{2}}+1 \right)}.\frac{x\left( 1+{{\cot }^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{2\sqrt{\cot \left( {{x}^{2}}+1 \right)}}+x+x.{{y}^{4}} \\& \,\,\,\,\,\,\,=-x\left( 1+{{\cot }^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)+x+x.{{\cot }^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0=VP \\\end{align}$
Bài tập 6:
Cho hàm số $y=\left( 1+\sin x \right)\left( 1+\cos x \right)$, giải phương trình ${y}’=2(\cos x-\sin x)$.
Lời giải
TXĐ : $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}’=\cos x\left( 1+\cos x \right)-\sin x\left( 1+\sin x \right)=\cos x-\sin x+{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x$, nên
${y}’=2(\cos x-\sin x)\Leftrightarrow \cos x-\sin x+{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=2(\cos x-\sin x)$
$\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-(\cos x-\sin x)=0\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x-1)=0$
Bài tập 7:
Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{3+{{\sin }^{2}}\left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)}+\cos \sqrt{2{{x}^{2}}+1}$.
Lời giải
Ta có: $\begin{align}& {y}’=\frac{3.2\sin \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)\cos \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)}{2\sqrt{3+{{\sin }^{2}}\left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)}}-\sin \sqrt{2{{x}^{2}}+1}.\frac{2x}{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}} \\& =\frac{3\sin 2\left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)}{2\sqrt{3+{{\sin }^{2}}\left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)}}-\frac{2x}{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}\sin \sqrt{2{{x}^{2}}+1} \\\end{align}$
Bài tập 8:
Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{\tan x+\cot x}$ tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$.
Lời giải
Ta có:$f'(x)=\frac{{{(\tan x+\cot x)}^{\prime }}}{2\sqrt{\tan x+\cot x}}=\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}{2\sqrt{\tan x+\cot x}}$
$=\frac{{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}{2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x\sqrt{\tan x+\cot x}}=\frac{-2\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x\sqrt{\tan x+\cot x}}$
Suy ra$f’\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{-2\cos \frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}\left( \frac{\pi }{2} \right)\sqrt{\tan \frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}}}=0$
Bài tập 9:
Tính đạo hàm của hàm số $y=\tan \left( {{x}^{2}}+2\sqrt{x}+1 \right)$
Lời giải
Ta có: $y’={{\left( \tan \left( {{x}^{2}}+2\sqrt{x}+1 \right) \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+2\sqrt{x}+1 \right)}^{‘}}}{{{\cos }^{2}}\left( {{x}^{2}}+2\sqrt{x}+1 \right)}$
$=\frac{2x+\frac{1}{\sqrt{x}}}{{{\cos }^{2}}\left( {{x}^{2}}+2\sqrt{x}+1 \right)}=\frac{2x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\left( {{x}^{2}}+2\sqrt{x}+1 \right)}$
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của các dạng toán về đạo hàm của hàm số lượng giác có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về chuyên đề đạo hàm của hàm số lượng giác lớp 11 thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!