Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về đạo hàm cấp cao rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về cách tính đạo hàm cấp cao, đạo hàm cấp cao toán cao cấp cũng như bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$.
Đạo hàm cấp $1$ kí hiệu là: ${y}’={{y}^{\left( 1 \right)}}={f}’\left( x \right)$.
Đạo hàm cấp $2$ là đạo hàm của đạo hàm cấp $1$, kí hiệu là ${{y}’}’={{y}^{\left( 2 \right)}}={{f}’}’\left( x \right)$.
Đạo hàm cấp $3$ là đạo hàm của đạo hàm cấp $2$, kí hiệu là ${{{y}’}’}’={{y}^{\left( 3 \right)}}={{{f}’}’}’\left( x \right)$.
Đạo hàm cấp $n$ là đạo hàm của đạo hàm cấp $n-1$, kí hiệu là ${{y}^{\left( n \right)}}={{\left[ {{y}^{\left( n-1 \right)}} \right]}^{\prime }}$.
PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐẠO HÀM CẤP CAO
+ Tính đạo hàm: ${y}’$, ${{y}’}’$, ${{{y}’}’}’$, …. để tìm quy luật.
+ Dự đoán đạo hàm cấp $n$: ${{y}^{\left( n \right)}}$.
+ Chứng minh điều dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho các hàm số sau:
a. $y=3\cos 2x$. Tính ${{{y}’}’}’=?$.
b. $y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$. Tính ${{{y}’}’}’=?$.
c. $y=\frac{1-x}{1+x}$. Tính ${{y}’}’=?$.
d. $y={{x}^{6}}-4{{x}^{3}}+\sqrt{x}-1$. Tính ${{y}^{\left( 4 \right)}}=?$.
Lời giải
a. ${y}’=-6\sin 2x$; ${{y}’}’\left( x \right)=-12\cos 2x$; ${{{y}’}’}’=24\sin 2x$.
b. ${y}’=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$
${{y}’}’=\frac{-\sqrt{2x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}}{2x-{{x}^{2}}}$$=\frac{-\left( 2x-{{x}^{2}} \right)-\left( 1-2x+{{x}^{2}} \right)}{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$$=\frac{-1}{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$.
${{{y}’}’}’=\frac{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}\sqrt{2x-{{x}^{2}}}+\left( 2x-{{x}^{2}} \right)\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}}{{{\left( \left( 2x-{{x}^{2}} \right)\sqrt{2x-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}$$=\frac{\left( 2-2x \right)\left( 2x-{{x}^{2}} \right)+\left( 2x-{{x}^{2}} \right)\left( 1-x \right)}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}{{\left( \left( 2x-{{x}^{2}} \right)\sqrt{2x-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}$
$=\frac{3\left( 2x-{{x}^{2}} \right)\left( 1-x \right)}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}{{\left( \left( 2x-{{x}^{2}} \right)\sqrt{2x-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}$$=\frac{3\left( x-1 \right)}{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$.
c. ${y}’=\frac{2}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}$; ${{y}’}’=-2.\frac{2\left( 1+x \right)}{{{\left( 1+x \right)}^{4}}}$$=\frac{-4}{{{\left( 1+x \right)}^{3}}}$; ${{{y}’}’}’=\frac{4.3{{\left( 1+x \right)}^{2}}}{{{\left( 1+x \right)}^{6}}}$$=\frac{12}{{{\left( 1+x \right)}^{4}}}$.
d. ${y}’=6{{x}^{5}}-12{{x}^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$; ${{y}’}’=30{{x}^{4}}-24x-\frac{1}{4}.\frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}}$.
${{{y}’}’}’=120{{x}^{3}}-24+\frac{3}{8}.\frac{1}{\sqrt{{{x}^{5}}}}$; ${{y}^{\left( 4 \right)}}=360{{x}^{2}}-\frac{15}{16\sqrt{{{x}^{7}}}}$.
Bài tập 2:
Tính giá trị đạo hàm tại điểm:
a) $y={{x}^{3}}\text{-}{{\text{x}}^{2}}\text{+15x-1}\,\text{,}\,\text{{{y}’}’}\left( 5 \right)$
b) $y=\sin 3x+8\,\text{,}\,\text{{{{y}’}’}’}\left( \frac{\pi }{3} \right)$
c) $y={{\left( 5x+1 \right)}^{8}}\,\text{,}\,\text{{{{y}’}’}’}\left( 10 \right)$
d) $y=\frac{3x-1}{x+2}\,\text{,}\,\text{{{y}’}’}\left( 1 \right)$.
Lời giải
a) Tập xác định: $D=R$
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-2x+15,y”=6x-2$
Do đó: $y”\left( 5 \right)=30-2=28$
b) Tập xác định: $D=R$
Ta có: $y’=3\cos 3x;y”=-9\sin 3x;y”’=-27\cos 3x$
Do đó: $y”\left( \frac{\pi }{3} \right)=-27\cos \left( 3.\frac{\pi }{3} \right)=27$
c) Tập xác định: $D=R$. Ta có:
$\begin{align} & y’=8{{\left( 5x+1 \right)}^{7}}.5=40{{\left( 5x+1 \right)}^{7}} \\ & y”=40.7{{\left( 5x+1 \right)}^{6}}.5=1400{{\left( 5x+1 \right)}^{6}} \\ & y”’=1400.6{{\left( 5x+1 \right)}^{5}}.5=42000{{\left( 5x+1 \right)}^{5}} \\\end{align}$
Do đó: $y”\left( 10 \right)={{42000.51}^{5}}$
d) Tập xác định: $D=R\backslash \left\{ -2 \right\}$
Ta có: $y’=\frac{3\left( x+2 \right)-\left( 3x-1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\frac{7}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}};y”=\frac{-14\left( x+2 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}=\frac{-14}{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}$
Do đó: $y”\left( 1 \right)=\frac{-14}{27}$
Bài tập 3:
Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2$. Giải phương trình sau
$4f’\left( x \right)-\left( 2x-5 \right)f”\left( x \right)-x+1=2\sqrt{25-{{x}^{2}}}$
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right)=2x-3,\,f”\left( x \right)=2$
Do đó
$4f’\left( x \right)-\left( 2x-5 \right)f”\left( x \right)-x+1=2\sqrt{25-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 4\left( 2x-3 \right)-2\left( 2x-5 \right)-x+1=2\sqrt{25-{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 3x-1=2\sqrt{25-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge \frac{1}{3} \\ & {{\left( 3x-1 \right)}^{2}}=4\left( 25-{{x}^{2}} \right) \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge \frac{1}{3} \\ & 13{{x}^{2}}-6x-99=0 \\\end{align} \right.$ 
Kết luận: $x=3$
Bài tập 4:
Chứng minh: ${{\left( \frac{1}{\text{ax}+b} \right)}^{\left( n \right)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}n!{{a}^{n}}}{{{\left( \text{ax}+b \right)}^{n+1}}}\,,\,a\ne 0\,\,\,\,\,(*)$
Lời giải
Ta chứng minh qui nạp.
Khi $n=1$ thì ${{\left( \frac{1}{\text{ax}+b} \right)}^{\prime }}=\frac{-a}{{{\left( \text{ax}+b \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{1}}1!a}{{{\left( \text{ax}+b \right)}^{2}}}\,,$do đó (*) đúng khi $n=1$
Giả sử (*) đúng khi $n=k,k\ge 1$, ta có: ${{\left( \frac{1}{\text{ax}+b} \right)}^{\left( k \right)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}k!{{a}^{k}}}{{{\left( \text{ax}+b \right)}^{k+1}}}.$
Lấy đạo hàm 2 vế: ${{\left( \frac{1}{\text{ax}+b} \right)}^{\left( k+1 \right)}}={{\left( -1 \right)}^{k}}k!{{a}^{k}}.a.\left( -k-1 \right){{\left( \text{ax}+b \right)}^{-k-1-1}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k+1}}\left( k+1 \right)!{{a}^{k+1}}}{{{\left( \text{ax}+b \right)}^{k+2}}}.$ Đo đó (*) đúng với $n=k+1$. Vậy (*) đúng $\forall n\in N$.
Bài tập 5:
Tính đạo hàm cấp cao các hàm số sau
a.$y=\frac{1}{2x-1}.$
b.$y={{\cos }^{2}}x.$
c.$y=\sin 3x+\frac{1}{x}.$
Lời giải
a.${y}’=-\frac{2}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}$; $\text{{{y}’}’=}\frac{2.2.2\left( 2x-1 \right)}{{{\left( 2x-1 \right)}^{4}}}=\frac{{{2}^{2}}.1.2}{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}=\frac{{{2}^{2}}.2!}{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}.$${{{y}’}’}’=-\frac{{{2}^{2}}.1.2.3.{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}{{{\left( 2x-1 \right)}^{6}}}\text{=}-\frac{{{2}^{3}}.1.2.3}{{{\left( 2x-1 \right)}^{4}}}=-\frac{{{2}^{3}}.3!}{{{\left( 2x-1 \right)}^{4}}}.$
……………………………………………………..
${{y}^{\left( n \right)}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{2}^{n}}.n!}{{{\left( 2x-1 \right)}^{n+1}}}.$
b.${y}’=2\cos x\sin x=\sin 2x.$
${{y}’}’=2\cos 2x=2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right).$
${{{y}’}’}’={{2}^{2}}\cos \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)={{2}^{2}}\sin \left( 2x+2.\frac{\pi }{2} \right).$
…………………………………………….
${{y}^{\left( n \right)}}={{2}^{n-1}}\sin \left( 2x+\left( n-1 \right)\frac{\pi }{2} \right).$
c.${y}’=3\cos 3x-\frac{1}{{{x}^{2}}}=3\sin \left( 3x+\frac{\pi }{2} \right)-\frac{1!}{{{x}^{2}}}.$
${{y}’}’={{3}^{2}}\cos \left( 3x+\frac{\pi }{2} \right)-\frac{2}{{{x}^{3}}}={{3}^{2}}\sin \left( 3x+2.\frac{\pi }{2} \right)-\frac{2!}{{{x}^{3}}}.$
${{{y}’}’}’={{3}^{3}}\cos \left( 3x+2.\frac{\pi }{2} \right)-\frac{2.3}{{{x}^{3}}}={{3}^{3}}\sin \left( 3x+3.\frac{\pi }{2} \right)-\frac{3!}{{{x}^{3}}}.$
…………………………………………………………
${{y}^{\left( n \right)}}={{3}^{n}}\sin \left( 3x+n.\frac{\pi }{2} \right)-\frac{n!}{{{x}^{n+1}}}.$
Bài tập 6:
Giải bất phương trình $f”(x)>g(x)$ với:
1) $f(x)={{x}^{3}}+x-\sqrt{2},\,\,g(x)=5{{x}^{2}}+1$
2) $f(x)=3{{x}^{2}}-{{x}^{3}};\,\,g(x)=\frac{1-x}{x}$
Lời giải
1) Ta có: $f’\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1;\,\,f”\left( x \right)=6x$
Suy ra: $f”(x)>g(x)\Leftrightarrow 6x>5{{x}^{2}}+1\Leftrightarrow \frac{1}{5}<x<1$
2) Ta có: $f’\left( x \right)=6x-3{{x}^{2}};\,\,f”\left( x \right)=6-6x$
Suy ra: $f”(x)>g(x)\Leftrightarrow 6\left( 1-x \right)>\frac{1-x}{x}\Leftrightarrow \left( 1-x \right)\frac{6x-1}{x}>0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( \frac{1}{6};1 \right)$
Bài tập 7:
Cho hàm số $f\left( x \right)={{\left( 3{{x}^{2}}-2x-1 \right)}^{9}}$. Tính đạo hàm cấp $6$ của hàm số tại điểm $x=0$.
A. ${{f}^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right)=-60480$. B. ${{f}^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right)=-34560$. C. ${{f}^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right)=60480$. D. ${{f}^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right)=34560$.
Lời giải
Giả sử $f\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{18}}{{x}^{18}}$.
Khi đó ${{f}^{\left( 6 \right)}}\left( x \right)=6!.{{a}_{6}}+{{b}_{7}}x+{{b}_{8}}{{x}^{2}}+…+{{b}_{18}}{{x}^{12}}$$\Rightarrow {{f}^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right)=720{{a}_{6}}$.
Ta có ${{\left( 3{{x}^{2}}-2x-1 \right)}^{9}}$$=-{{\left( 1+2x-3{{x}^{2}} \right)}^{9}}$$=-\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{\left( 2x-3{{x}^{2}} \right)}^{k}}}$
$=-\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}{{\left( 2x \right)}^{k-i}}{{\left( -3{{x}^{2}} \right)}^{i}}}}$$=-\sum\limits_{k=0}^{9}{\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{9}^{k}C_{k}^{i}{{2}^{k-i}}{{\left( -3 \right)}^{i}}{{x}^{k+i}}}}$.
Số hạng chứa ${{x}^{6}}$ ứng với $k$, $i$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & 0\le i\le k\le 9 \\ & k+i=6 \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow \left( k;i \right)\in \left\{ \left( 6;0 \right),\text{ }\left( 5;1 \right),\text{ }\left( 4;2 \right),\text{ }\left( 3;3 \right) \right\}$
$\Rightarrow {{a}_{6}}=-\left[ C_{9}^{6}C_{6}^{0}{{2}^{6}}{{\left( -3 \right)}^{0}}+C_{9}^{5}C_{5}^{1}{{2}^{4}}\left( -3 \right)+C_{9}^{4}C_{4}^{2}{{2}^{2}}{{\left( -3 \right)}^{2}}+C_{9}^{3}C_{3}^{3}{{2}^{0}}{{\left( -3 \right)}^{3}} \right]=-84$
$\Rightarrow {{f}^{\left( 6 \right)}}\left( 0 \right)=720.\left( -64 \right)=-60480$.
Bài tập 8:
Cho hàm số $y={{\sin }^{2}}x$. Tính ${{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( \pi \right)$
A. ${{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( \pi \right)={{2}^{2017}}$. B. ${{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( \pi \right)={{2}^{2018}}$. C. ${{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( \pi \right)=-{{2}^{2017}}$. D. ${{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( \pi \right)=-{{2}^{2018}}$.
Lời giải
Ta có $y={{\sin }^{2}}x=\frac{1-\text{cos}2x}{2}$.
Khi đó ${y}’=\sin 2x$ ; ${{y}’}’=2.c\text{os}2x=2.\text{sin}\left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)$ ; ${{{y}’}’}’=-{{2}^{2}}.\text{sin}2x={{2}^{2}}.\text{sin}\left( 2x+\pi \right)$…
${{y}^{\left( n \right)}}={{2}^{n-1}}\sin \left[ 2x+\frac{\left( n-1 \right)\pi }{2} \right]$.
Vậy ${{y}^{\left( 2018 \right)}}={{2}^{2017}}.\sin \left( 2.\pi +\frac{2017\pi }{2} \right)={{2}^{2017}}.\sin \left( 1010\pi +\frac{\pi }{2} \right)={{2}^{2017}}$.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của lý thuyết và bài tập mẫu đạo hàm cấp cao mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về chuyên đề đạo hàm thì đừng ngần ngại hãy liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!