Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về đạo hàm cấp 2 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về đạo hàm cấp 2 của hàm ẩn, ý nghĩa của đạo hàm cấp 2, tính đạo hàm cấp 2 bằng máy tính cũng như các bài tập đạo hàm cấp 2 bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, có đạo hàm ${y}’={f}’\left( x \right)$. Đạo hàm của đạo hàm ${y}’$ được gọi là đạo hàm cấp $2$. Kí hiệu: ${{y}’}’={{\left[ {{y}’} \right]}^{\prime }}$ hoặc ${{f}’}’={{\left[ {{f}’} \right]}^{\prime }}$.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Chứng minh:
a) Nếu $y=x\sin x$ thì $x.y”-2\left( y’-\sin x \right)+xy=0$
b) Nếu $y=A\sin \left( at=b \right)+B\cos \left( at+b \right)$ thì $y”+{{a}^{2}}.y=0$
Lời giải
a) Tập xác định: $D=R$
Ta có: $y’=\sin x+x\cos x;\,y”=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x$
Do đó:
$\begin{align} & xy”-2\left( y-\sin x \right)+xy \\ & =x\left( 2\cos x-x\sin x \right)-2\left( \sin x+x\cos x-\sin x \right)+{{x}^{2}}\sin x \\ & =2x\cos x-{{x}^{2}}\sin x-2x\cos x+{{x}^{2}}\sin x=0 \\\end{align}$
b) Tập xác định: $D=R$
Ta có:
$\begin{align} & y’=aA\cos \left( at+b \right)-aB\sin \left( at+b \right) \\ & y”=-{{a}^{2}}A\sin \left( at+b \right)-{{a}^{2}}B\cos \left( at+b \right) \\ & =-{{a}^{2}}\left( A\sin \left( at+b \right)+B\cos \left( at+b \right) \right)={{a}^{2}}.y \\\end{align}$
Do đó:
$y”+{{a}^{2}}y=0$
Bài tập 2:
Chứng minh rằng hàm số:
1) $y=\frac{x-3}{x+4}$thỏa $2{{(y’)}^{2}}=(y-1).y”$
2) $y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$thỏa ${{y}^{3}}y”+1=0$
3) $y=x\sin x$ thỏa$xy-2(y’-\sin x)+x.y”=0$
Lời giải
1) Ta có: $y’=\frac{7}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}};\,\,y”=\frac{-14}{{{\left( x+4 \right)}^{3}}}$
Suy ra: $\left( y-1 \right).y”=\left( \frac{x-3}{x+4}-1 \right)\left[ \frac{-14}{{{\left( x+4 \right)}^{3}}} \right]=\frac{98}{{{\left( x+4 \right)}^{4}}}=2{{\left( y’ \right)}^{2}}$(Đpcm)
2) Ta có: $y’=\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$
$\,y”=\frac{-\sqrt{2x-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right)\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}}{2x-{{x}^{2}}}=\frac{-1}{{{\left( \sqrt{2x-{{x}^{2}}} \right)}^{3}}}=\frac{-1}{{{y}^{3}}}$
Suy ra: ${{y}^{3}}y”+1=0$(Đpcm)
3) Ta có: $y’=\sin x+x\cos x;\,\,y”=2\cos x-x\sin x$
Suy ra: $xy-2(y’-\sin x)+x.y”={{x}^{2}}\sin x-2x\cos x+2x\cos x-{{x}^{2}}\sin x=0$(Đpcm)
Bài tập 3:
a. Cho $y={{x}^{3}}\left[ \cos \left( \ln x \right)+\sin \left( \ln x \right) \right]$. Chứng minh rằng: ${{x}^{2}}{{y}’}’-5x{y}’+10y=0$.
b. Cho $y={{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}$. Chứng minh rằng: $\left( 1+{{x}^{2}} \right){{y}’}’+x{y}’-4y=0$.
Lời giải
a.${y}’=3{{x}^{2}}\left[ \cos \left( \ln x \right)+\sin \left( \ln x \right) \right]+{{x}^{3}}\left[ \frac{-\sin \left( \ln x \right)}{x}+\frac{\cos \left( \ln x \right)}{x} \right].$
${y}’=4{{x}^{2}}\cos \left( \ln x \right)+2{{x}^{2}}\sin \left( \ln x \right).$
${{y}’}’=8x\cos \left( \ln x \right)-4{{x}^{2}}\frac{\sin \left( \ln x \right)}{x}+4x\sin \left( \ln x \right)+2{{x}^{2}}\frac{\cos \left( \ln x \right)}{x}=10x\cos \left( \ln x \right).$
Vậy ${{x}^{2}}{{y}’}’-5x{y}’+10y=0.$
b.${y}’=2\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\left( 1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)=2\frac{{{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
$=2\frac{2{{x}^{2}}+1+2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=4\sqrt{{{x}^{2}}+1}+4x-\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}.$
${{y}’}’=4\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+4+\frac{x}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}.$
Khi đó:
$\left( 1+{{x}^{2}} \right){{y}’}’+x{y}’-4y$
$=\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 4\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+4+\frac{x}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}} \right)+x\left( 4\sqrt{{{x}^{2}}+1}+4x-\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)-4{{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}$
$=4x\sqrt{{{x}^{2}}+1}+4\left( {{x}^{2}}+1 \right)+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+4x\sqrt{{{x}^{2}}+1}+4{{x}^{2}}-\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-4\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)-8x\sqrt{{{x}^{2}}+1}=0$
Ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 4:
Cho hàm số $y={{\sin }^{2}}2x$. Tính giá trị của biểu thức ${{y}^{\left( 3 \right)}}+{{y}’}’+16{y}’+16y-8$.
Lời giải
Ta có: $y={{\sin }^{2}}2x$$\Rightarrow y=\frac{1-\cos 4x}{2}$ ; ${y}’=2\sin 4x$; ${{y}’}’=8\cos 4x$; ${{y}^{\left( 3 \right)}}=-32\sin 4x$.
Khi đó ${{y}^{\left( 3 \right)}}+{{y}’}’+16{y}’+16y-8=$$-32\sin 4x+8\cos 4x+32\sin 4x+8\left( 1-\cos 4x \right)-8=0$
Bài tập 5:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+16\cos x-\cos 2x$.
a. Tính ${f}’\left( x \right)$ và ${{f}’}’\left( x \right)$.
b. Tính ${f}’\left( 0 \right)$ và ${{f}’}’\left( \pi \right)$.
c. Giải phương trình ${{f}’}’\left( x \right)=0$.
Lời giải
a. ${f}’=4x-16\sin x+2\sin 2x$
${{f}’}’=4-16\cos x+4\cos 2x$.
b. ${f}’\left( 0 \right)=4.0-16\sin 0+2\sin \left( 2.0 \right)=0$.
${{f}’}’\left( \pi \right)=4-16\cos \pi +4\cos \left( 2.\pi \right)=24$.
c. ${{f}’}’\left( x \right)=0$$\Leftrightarrow 4-16\cos x+4\cos 2x=0$$\Leftrightarrow 4-16\cos x+4\left( 2{{\cos }^{2}}x-1 \right)=0$$\Leftrightarrow 8\cos x\left( \cos x-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \cos x=0$$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Bài tập 6:
Tính đạo hàm cấp cao:
a. $y=\cos 2x$.
b. $y=\frac{1}{x}$.
c. $y=\frac{1}{{{x}^{2}}+3x+2}$.
Lời giải
a. ${y}’=-2\sin 2x=2\cos \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)$.
${{y}’}’=-4\sin \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)$$=4\cos \left( 2x+2.\frac{\pi }{2} \right)$.
${{{y}’}’}’=-8\sin \left( 2x+2.\frac{\pi }{2} \right)$$=8\cos \left( 2x+3.\frac{\pi }{2} \right)$.
……………………………………………..
${{y}^{\left( n \right)}}={{2}^{n}}\cos \left( 2x+n.\frac{\pi }{2} \right)$.
b. ${y}’=-\frac{1}{{{x}^{2}}}$; ${{y}’}’=\frac{2}{{{x}^{3}}}$; ${{{y}’}’}’=-\frac{2.3}{{{x}^{4}}}$
…………………………………
${{y}^{\left( n \right)}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{n!}{{{x}^{n+1}}}$.
c. $y=\frac{1}{{{x}^{2}}+3x+2}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$
$\Rightarrow {{y}^{\left( n \right)}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}n!}{{{\left( x+1 \right)}^{n+1}}}-\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}n!}{{{\left( x+2 \right)}^{n+1}}}$.
Bài tập 7:
Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau.
a) $y=co\operatorname{s}\left( x+1 \right)$.b) $y={{\sin }^{2}}x$.
c) $y={{\left( 1-x \right)}^{4}}$.d) $y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}$.
e) $y=\frac{5-2x}{x+3}$.f)$y=\frac{-{{x}^{2}}+2x}{x-1}$
Lời giải
a) TXĐ: D=R. ${y}’=-\sin (x+1)\,,\,{{y}’}’=-c\text{os}\left( x+1 \right)$.
b) TXĐ: D=R. ${y}’=2\sin x\cos x=\sin 2x\,,\,{{y}’}’=2c\text{os2x}\text{.}$
c) TXĐ: D=R. ${y}’=-4{{\left( 1-x \right)}^{3}}\,,\,{{y}’}’=12{{\left( 1-x \right)}^{2}}\text{.}$
d) TXĐ: D=R. ${y}’=4x\left( {{x}^{2}}+1 \right)=4{{x}^{3}}+4x\,,\,{{y}’}’=12{{x}^{2}}\text{+4}\text{.}$
e) TXĐ: $D=R\backslash \left\{ -3 \right\}\text{.}$ ${y}’=\frac{-11}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}\,,\,{{y}’}’=\frac{11{{\left[ {{\left( x+3 \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}}{{{\left( x+3 \right)}^{4}}}\text{=}\frac{22\left( x+3 \right)}{{{\left( x+3 \right)}^{4}}}\text{=}\frac{22}{{{\left( x+3 \right)}^{3}}}\text{.}$
f) TXĐ: $D=R\backslash \left\{ -1 \right\}\text{.}$ ${y}’=\frac{-{{x}^{2}}+2x-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{-{{x}^{2}}+2x-2}{{{x}^{2}}-2x+1}\,,\,{{y}’}’=\frac{2x-2}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}\text{.}$
Bài tập 8:
Đạo hàm cấp hai của hàm số $y=\frac{3x+1}{x+2}$ là
A. ${y}”=\frac{10}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$ B. ${y}”=-\frac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{4}}}$ C. ${y}”=-\frac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}$ D. ${y}”=-\frac{10}{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}$
Lời giải
Chọn D
Ta có $y=3-\frac{5}{x+2}\Rightarrow {y}’=\frac{5}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}};{y}”=-\frac{10}{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}$
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của lý thuyết và bài tập mẫu đạo hàm cấp 2 mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về chuyên đề đạo hàm thì đừng ngần ngại hãy liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!