Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng toán thiết diện qua trục của hình nón rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các công thức cũng như các bài tập của dạng này bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến dạng toán thiết diện qua trục của hình nón một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức như tính chất của dạng này như sau:
1. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay
a) Hình nón tròn xoay
| – Cho $\Delta IOM$ vuông tại $I$. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh vuông góc $OI$ thì đường gấp khúc $IOM$ tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.
– Trong đó: + Hình tròn tâm $I$ sinh bởi các điểm thuộc cạnh $IM$ khi $IM$ quay quanh trục $OI$ được gọi là mặt đáy của mình nón. + Điểm $O$ được gọi là đỉnh của hình nón. + Độ dài đoạn $OI$ được gọi là chiều cao của hình nón. + Độ dài đoạn $OM$ được gọi là độ dài đường sinh của hình nón. + Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh $OM$ khi quay quanh $OI$ được gọi là mặt xung quanh của hình nón. |
 |
b) Khối nón tròn xoay
| – Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình đó được gọi là khối nón tròn xoay hay còn gọi tắt là khối nón.
– Trong đó: + Điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón gọi là điểm trong của khối nón. + Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. |
 |
2. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón tròn xoay
a) Diện tích xung quanh của hình nón
| – Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh tăng lên vô hạn.
– Công thức: ${{S}_{xq}}=\pi rl$. Trong đó: $r$ là bán kính đáy; $l$ là độ dài đường sinh. |
 |
b) Diện tích toàn phần của hình nón
| – Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay là tổng diện tích mặt đáy với diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.
– Công thức: ${{S}_{tp}}={{S}_{\acute{a}y}}+{{S}_{xq}}=\pi {{r}^{2}}+\pi rl$. |
 |
c) Diện tích hình quạt
| – Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được:
+ Một hình quạt có bán hính bằng độ dài đường sinh của hình nón. + Một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáy của hình nón. – Công thức: ${{S}_{qu\text{\underset{\scriptscriptstyle\centerdot}{a}}t}}={{S}_{xq}}=\pi rl$. |
 |
d) Thể tích của khối nón tròn xoay
| – Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón khi đó số cạnh tăng lên vô hạn.
– Công thức: $V=\frac{1}{3}{{S}_{\acute{a}y}}.h$. Trong đó: $h$ là chiều cao của khối nón. – Nếu đáy là hình tròn có bán kính $r$ thì $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$. |
 |
e) Hình nón cụt
| – Hình nón cụt là phần nón giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song song với đáy.
– Công thức + Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=\pi \left( R+r \right)l$. + Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}={{S}_{2\,\acute{a}y}}+{{S}_{xq}}=\pi \left( {{r}^{2}}+{{R}^{2}} \right)+\pi \left( R+r \right)l$. + Thể tích khối nón cụt $V=\frac{1}{3}\pi h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)$. Trong đó: $R,\,r$ là bán kính hai đáy; $h=IJ$ là độ cao hình chóp cụt. |
. |
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng toán thiết diện qua trục của hình nón thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập mẫu để có thể hiểu rõ hơn chương hình học không gian này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao $h=20\,\text{cm}$, bán kính đáy $r=25\,\text{cm}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua đỉnh của hình nón cách tâm của đáy $12\,\text{cm}$. Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp $\left( \alpha \right)$.
Lời giải
Ta có: $d\left( O,\left( \alpha \right) \right)=OH=12$.
Diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp $\left( \alpha \right)$ là: ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}SM.AB=SM.MA$ .
Trong tam giác $SMO$ vuông tại $O$:$\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}$$\Leftrightarrow \frac{1}{{{12}^{2}}}=\frac{1}{{{20}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}$$\Leftrightarrow OM=15$.
Suy ra $SM=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}+{{15}^{2}}}=25$.
Mặt khác ta có: $M$ là trung điểm của $AB$ và $OM\bot AB$.
Xét tam giác $MOA$ vuông tại $M$: $MA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{{{25}^{2}}-{{15}^{2}}}=20$.
Vậy ${{S}_{\Delta SAB}}=SM.MA=25.20=500\,$$\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{2}}} \right)$.
Bài tập 2:
Cho hình trụ có hình tròn đáy bán kính là $r=a$, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ theo $a$.
Lời giải
Gọi thiết diện qua trục là hình vuông $AB{B}'{A}’$ với $AB$, ${A}'{B}’$ lần lượt là đường kính 2 đường tròn đáy $\Rightarrow AB={A}'{B}’=2r=2a$, do đó $h=A{A}’=B{B}’=2a$.
+ Diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}=2\pi rh=4\pi {{a}^{2}}$
+ Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2.{{S}_{\acute{a}y}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}$.
Bài tập 3:
Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng $a$. Diện tích toàn phần của hình nón là.
Lời giải
Ta có: $l=a,R=\frac{a}{2}.$Diện tích toàn phần ${{S}_{tp}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}=\frac{3\pi {{a}^{2}}}{4}$.
Bài tập 4:
Một hình trụ có bán kính đáy $r=5\,\text{cm}$ và khoảng cách giữa hai đáy $h=7\,\text{cm}$. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục $3\,\text{cm}$. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
Lời giải
Gọi $O,{O}’$ là tâm của hai đáy của hình trụ và $\left( P \right)$ là mặt phẳng song song với trục và cách trục $O{O}’$ một khoảng $3\text{cm}$.
Mp$\left( P \right)$ cắt hai hình tròn đáy $\left( O \right),\left( {{O}’} \right)$ theo hai dây cung lần lượt là $AB,\,CD$ và cắt mặt xung quanh theo hai đường sinh là $AD,BC$. Khi đó $ABCD$ là hình chữ nhật.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Ta có $OH\bot AB;OH\bot AD\Rightarrow OH\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow d\left( O\,{O}’,\left( P \right) \right)=d\left( O,\left( ABCD \right) \right)=OH=3\text{cm}$.
Khi đó: $AB=2AH=2\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8$; $AD=O\,O’=h=7\text{cm}$.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết và công thức của dạng toán thiết diện qua trục của hình nón mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!