Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của đại cương về đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về cđại cương về đường thẳng và mặt phẳng violet cũng như giải bài tập đại cương về đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được lý thuyết bài tập như đại cương về đường thẳng và mặt phẳng violet cũng như bgiáo án đại cương về đường thẳng và mặt phẳng một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất về phép vị tự là gì của dạng này như sau:
1. TRỌNG TÂM:
A. Mặt phẳng:
Mặt phẳng: Kí hiệu $\text{mp}\left( \alpha \right)$, $\text{mp}\left( \beta \right)$, $\text{mp}\left( P \right)$…
Cách biểu diễn: là hình bình hành.
Điểm thuộc mặt phẳng: $A$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, kí hiệu $A\in \left( \alpha \right)$.
Không thuộc kí hiệu $A\notin \left( \alpha \right)$.
B. Biểu diễn hình không gian
Quy tắc biểu diễn:
- Đường thẳng biểu diễn là đường thẳng
- Đoạn thẳng biểu diễn là đoạn thẳng
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song
- Nét thấy là nét liền
- Nét khuất là nét đứt
C. Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
D. Cách xác định một mặt phẳng trong không gian
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó.
Qua hai đường thẳng cắt nhau.
H. Hình chóp và tứ diện
Hình Chóp
Cho đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng đa giác. Nối $S$ với các đỉnh của đa giác ta được hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}$.
Đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}…{{A}_{n}}$ gọi là đáy; $S$ là đỉnh; $S{{A}_{1}}$, $S{{A}_{2}}$, $S{{A}_{3}}$… gọi là các cạnh bên.
Có hình chóp tam giác, tứ giác,… là hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhau.
Hình tứ diện
Hình tứ diện là hình tạo bởi 4 điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Hình tứ diện có 4 mặt, mỗi mặt là một tam giác.
Tứ diện là hình chóp tam giác
Tứ diện đều là tứ diện có các cạnh bằng nhau.
DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG.
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng? Ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.
Các bạn phải nhớ kỹ: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.
Dạng toán tìm giao tuyến, thường giao tuyến của những câu hỏi đầu hay được sử dụng để tìm giao điểm để làm bài tập ở những câu sau. Ta xét cụ thể những bài toán sau:
DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng $(\alpha )$, có hai cách làm như sau:
Cách 1: Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng $(\beta )$ chứa đường thẳng $d$ và một đường thẳng $a$ thuộc mặt phẳng $(\alpha )$.
Giao điểm của hai đường thẳng không song song $d$ và $a$ chính là giao điểm của $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$.
Cách 2: Tìm một mặt phẳng $(\beta )$ chứa đường thẳng $d$, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt phẳng $(\alpha )$. Giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$ chính là giao điểm của đường thẳng $d$ và giao tuyến $a$ vừa tìm.
DẠNG 3. TÌM THIẾT DIỆN
1. Phương pháp tìm thiết diện
Thiết diện của hình ( H ) và hình ( Q ) là phần chung nhau giữa2 hình đó.
Thiết diện của mặt phẳng ( α ) với hình chóp (H ) là phần chung giữa mặt phẳng (α ) và hình chóp (H ).
2. Đặc điểm
– Thiết diện là đa giác kín.
– Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình chóp.
– Cạnh của thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình chóp.
– Trong giới hạn hình chóp thì Thiết diện có thể cắt hoặc không cắt tất cả các mặt của hình chóp.
3. Phương pháp tìm thiết diện
– Xác định điểm chung có sắn.
– Từ các điểm chung có sắn ta xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt chưa điểm chung đó.
– Từ giao tuyến đó ta xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm giao điểm của giao tuyến với các cạnh của mặt phẳng đó.
– Từ giao tuyến tìm được ta tiến hành tìm giao tuyến và các đoạn giao tuyến còn lại cho đến khi được 1 hình kín.
DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
DẠNG 5: CHỨNG MINH 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY.
Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba
DẠNG 6: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG DI ĐỘNG
Để tìm tập hợp giao điểm $I$ của hai đường thẳng thay đổi $a,b$ ta chọn hai mặt phẳng cố định $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ cắt nhau lần lượt chứa $a,b$, khi đó $I=a\cap b\Rightarrow \left\{ \begin{align}& I\in a\subset \left( \alpha \right) \\& I\in b\subset \left( \beta \right) \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow I\in d=\left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$
Vậy điểm $I$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$.
Để chứng minh đường thẳng $d$ đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau
– Chọn một điểm cố định $J$ thuộc hai mặt phẳng $\left( \delta \right)$ và $\left( \gamma \right)$
– Chứng minh $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \delta \right)$ và $\left( \gamma \right)$, khi đó $d$ đi qua điểm cố định $J$.
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của đại cương về đường thẳng và mặt phẳng violet lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số giải bài tập đại cương về đường thẳng và mặt phẳng để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG.
Bài tập 1: Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là một điểm bên trong tam giác $ABD$, $N$ là một điểm bên trong tam
giác $ACD$. Tìm giao tuyến của các cặp mp sau
a) $\left( AMN \right)$ và $\left( BCD \right)$
b) $\left( DMN \right)$ và $\left( ABC \right)$
Lời giải
a) Tìm giao tuyến của $\left( AMN \right)$ và $\left( BCD \right)$
Trong $\left( ABD \right)$, gọi $E=AM\cap BD$
- $E\in AM$mà $AM\subset \left( AMN \right)\Rightarrow E\in \left( AMN \right)$
- $E\in BD$mà $BD\subset \left( BCD \right)\Rightarrow E\in \left( BCD \right)$
$\Rightarrow E$ là điểm chung của $\left( AMN \right)$ và $\left( BCD \right)$
Trong $\left( ACD \right)$, gọi $F=AN\cap CD$
- $F\in AN$mà $AN\subset \left( AMN \right)\Rightarrow F\in \left( AMN \right)$
- $F\in CD$mà $CD\subset \left( BCD \right)\Rightarrow F\in \left( BCD \right)$
$\Rightarrow F$ là điểm chung của $\left( AMN \right)$ và $\left( BCD \right)$
Vậy $EF$ là giao tuyến của $\left( AMN \right)$ và $\left( BCD \right)$
b) Tìm giao tuyến của $\left( DMN \right)$ và $\left( ABC \right)$
Trong $\left( ABD \right)$, gọi $P=DM\cap AB$
- $P\in DM$mà $DM\subset \left( DMN \right)\Rightarrow P\in \left( DMN \right)$
- $P\in AB$mà $AB\subset \left( ABC \right)\Rightarrow P\in \left( ABC \right)$
$\Rightarrow P$ là điểm chung của $\left( DMN \right)$ và $\left( ABC \right)$
Trong $\left( ACD \right)$, gọi $Q=DN\cap AC$
- $Q\in DN$mà $DN\subset \left( DMN \right)\Rightarrow Q\in \left( DMN \right)$
- $Q\in AC$mà $AC\subset \left( ABC \right)\Rightarrow Q\in \left( ABC \right)$
$\Rightarrow Q$ là điểm chung của $\left( DMN \right)$ và $\left( ABC \right)$
Vậy $PQ$ là giao tuyến của $\left( DMN \right)$ và $\left( ABC \right)$
Bài tập 2: Cho tứ diện $ABCD$, $O$ là một điểm thuộc miền trong tam giác $BCD$, $M$ là điểm trên đoạn $AO$
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $\left( MCD \right)$ với các mặt phẳng $\left( ABC \right),\left( ABD \right)$.
b) Gọi $I,J$ là các điểm tương ứng trên các cạnh $BC$ và $BD$ sao cho $IJ$ không song song với $CD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( IJM \right)$ và $\left( ACD \right)$.
Lời giải
a) Trong $\left( BCD \right)$ gọi $N=DO\cap BC$, trong $\left( ADN \right)$ gọi $P=DM\cap AN$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& P\in DM\subset \left( CDM \right) \\& P\in AN\subset \left( ABC \right) \\\end{align} \right.$$\Rightarrow P\in \left( CDM \right)\cap \left( ABC \right)$
Lại có $C\in \left( CDM \right)\cap \left( ABC \right)\Rightarrow PC=\left( CDM \right)\cap \left( ABC \right)$.
Tương tự, trong $\left( BCD \right)$ gọi $Q=CO\cap BD$, trong $\left( ACQ \right)$gọi $R=CM\cap AQ$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& R\in CM\subset \left( CDM \right) \\& R\in AQ\subset \left( ABD \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow R\in \left( CDM \right)\cap \left( ABD \right)$
$\Rightarrow D$ là điểm chung thứ hai của $\left( MCD \right)$ và $\left( ABD \right)$ nên $DR=\left( CDM \right)\cap \left( ABD \right)$.
b) Trong $\left( BCD \right)$ gọi $E=BO\cap CD,F=IJ\cap CD$, $K=BE\cap IJ$;
trong $\left( ABE \right)$ gọi $G=KM\cap AE$.
Ta có:
$\left\{ \begin{align}& F\in IJ\subset \left( IJM \right) \\& F\in CD\subset \left( ACD \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow F\in \left( IJM \right)\cap \left( ACD \right)$,$\left\{ \begin{align}& G\in KM\subset \left( IJM \right) \\& G\in AE\subset \left( ACD \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow G\in \left( IJM \right)\cap \left( ACD \right)$.
Vậy $FG=\left( IJM \right)\cap \left( ACD \right)$.
DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ có $AD$ và $BC$ không song song với nhau. Lấy $I$ thuộc $SA$ sao cho $SA=3IA$, $J$ thuộc $SC$ và $M$ là trung điểm của $SB$.
a) Tìm giao tuyến của $\left( SAD \right)$ và $\left( SBC \right)$
b) Tìm giao điểm $E$ của $AB$ và $\left( IJM \right)$
c) Tìm giao điểm $F$ của $BC$ và $\left( IJM \right)$
d) Tìm giao điểm $N$ của $SD$ và $\left( IJM \right)$
e) Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $BD$. Chứng minh rằng $H,E,F$ thẳng hàng.
Lời giải
a) $O$ là giao điểm của và $BC$ nên $SO$ là giao tuyến của $\left( SAD \right)$ và $\left( SBC \right)$.
b) Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $IM$ giao với $AB$ tại $E$ nên $E$ là giao điểm của $AB$ và $\left( IJM \right)$.
c) Trong $\left( SBC \right)$: $MJ$ giao với $BC$ tại $F$ nên $F$ là giao điểm của $BC$ và $\left( IJM \right)$.
d) Trong $\left( ABCD \right)$: $EF$ giao với $AD$ tại $P$.
Trong $\left( SAD \right)$: $IP$ giao với $SD$ tại $N$ nên $N$ là giao điểm của $SD$ và $\left( IJM \right)$.
e) $H$ là giao điểm của $MN$ và $BD$. Dễ thấy 3 điểm $H,E,F$ đồng thời nằm trên hai mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $\left( IJM \right)$ nên 3 điểm này thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng trên hay 3 điểm đó thẳng hàng.
DẠNG 3. TÌM THIẾT DIỆN
Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành $ABCD$. $M$ là trung điểm $SB\text{ }v\grave{a}\text{ }G$ là trọng tâm tam giác $SAD$.
a) Tìm giao điểm $I$ của $MG$ với $\left( ABCD \right)$, chứng tỏ $I$ thuộc mặt phẳng $\left( CMG \right).$
b) Chứng tỏ (CMG) đi qua trung điểm của $SA$, tìm thiết diện của hình chóp với $\left( CMG \right).$
c) Tìm thiết diện của hình chóp với $\left( AMG \right).$
Lời giải
a) Gọi $J$ là trung điểm $AD$. Khi đó $I=MG\cap BJ$ suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $SBI$ nên $J$ là trung điểm của $BI$. Khi đó $MG,\text{ }BJ,\text{ }CD$ đồng quy tại điểm $I$. Do vậy $I$ thuộc mặt phẳng $\left( CMG \right).$
b) Ta có $\left( CMG \right)\equiv \left( CIM \right)$. Dựng $DG$ cắt $SA$ tại E. Mặt khác do $G$ là trọng tâm $\Delta SAD\Rightarrow $ E là trung điểm của S
Như vậy tứ giác CMED là thiết diện của (CMG) với khối chóp.
c) Gọi $O=BJ\cap AC,K=SO\cap MI,H=AG\cap SD$.
Dựng AK cắt SC tại F như vậy tứ giác $AMFH$là thiết diện của khối chóp với mặt phẳng $\left( AMG \right).$
DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Cho hình chóp $SABC$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $SA,SB,AC$ sao cho $LM$ không song song với $AB$,$LN$ không song song với $SC$.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( LMN \right)$ và $\left( ABC \right)$.
b. Tìm giao điểm $I=BC\cap \left( LMN \right)$ và $J=SC\cap \left( LMN \right)$.
c. Chứng minh $M,I,J$ thẳng hàng.
Lời giải:
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( LMN \right)$ và $\left( ABC \right)$.
Ta có: $N$ là điểm chung của $\left( LMN \right)$ và $\left( ABC \right)$.
Trong $\left( SAB \right)$, $LM$ không song song với $AB$
Gọi $K=AB\cap LM$
$K\in LM$, mà $LM\subset \left( LMN \right)\Rightarrow K\in \left( LMN \right)$
$K\in AB$, mà $AB\subset \left( ABC \right)\Rightarrow K\in \left( ABC \right)$
Vậy $KN=\left( LMN \right)\cap \left( ABC \right)$
Tìm giao điểm $I=BC\cap \left( LMN \right)$ và $J=SC\cap \left( LMN \right)$.
Tìm giao điểm $I=BC\cap \left( LMN \right)$
Chọn mặt phẳng phụ $\left( ABC \right)\supset BC$
Tìm giao tuyến $\left( ABC \right)\cap \left( LMN \right)$.
$\left( ABC \right)\cap \left( LMN \right)=NK$
Trong $\left( ABC \right)$, gọi $I=NK\cap BC$
$I\in BC$
$I\in NK$, mà $NK\subset \left( LMN \right)\Rightarrow I\in \left( LMN \right)$
Vậy $I=BC\cap \left( LMN \right)$
Tìm giao điểm $J=SC\cap \left( LMN \right)$
Trong $\left( SAC \right)$, $LN$ không song song với $SC$
Gọi $J=LN\cap SC$
$J\in SC$
$J\in LN$, mà $LN\subset \left( LMN \right)\Rightarrow J\in \left( LMN \right)$
Vậy $J=SC\cap \left( LMN \right)$
Chứng minh $M,I,J$ thẳng hàng.
Ta có $M,I,J$ là các điểm chung của hai mặt phẳng $\left( LMN \right)$ và $\left( ABC \right)$.
Vậy $M,I,J$ thẳng hàng.
DẠNG 5: CHỨNG MINH 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY.
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$ tưng ứng tại các điểm $M,N,P,Q$. Chứng minh rằng các đường thẳng $MP,NQ,SO$ đồng qui.
Lời giải
Trong mặt phẳng $\left( MNPQ \right)$ gọi $I=MP\cap NQ$.
Ta sẽ chứng minh $I\in SO$.
Dễ thấy $SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)$.
$\left\{ \begin{align}& I\in MP\subset \left( SAC \right) \\& I\in NQ\subset \left( SBD \right) \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& I\in \left( SAC \right) \\& I\in \left( SBD \right) \\\end{align} \right.$$\Rightarrow I\in SO$
Vậy $MP,NQ,SO$ đồng qui tại $I$.
DẠNG 6: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG DI ĐỘNG
Cho tứ diện $ABDC$. Hai điểm $M,N$ lần lượt nằm trên hai cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $\frac{AM}{AB}\ne \frac{AN}{AC}$. Một mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi luôn chứa $MN$, cắt các cạnh $CD$ và $BD$ lần lượt tại $E$ và $F$.
a) Chứng minh $EF$ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp giao điểm $I$của $ME$ và $NF$.
c) Tìm tập hợp giao điểm $J$ của $MF$ và $NE$.
Lời giải.
a) Trong $\left( ABC \right)$ gọi $K=MN\cap BC$ thì $K$ cố định và $\left\{ \begin{align}& K\in MN \\& K\in BC \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& K\in \left( MNP \right) \\& K\in \left( BCD \right) \\\end{align} \right.\text{ }$
Lại có $EF=\left( P \right)\cap \left( BCD \right)\Rightarrow K\in EF$Vậy $EF$ luôn đi qua điểm $K$ cố định
b) Phần thuận:
Trong $\left( P \right)$ gọi $I=ME\cap NF\Rightarrow \left\{ \begin{align}& I\in ME\subset \left( MCD \right) \\& I\in NF\subset \left( NBD \right) \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow I\in \left( MCD \right)\cap \left( NBD \right)$.
Gọi $O=CM\cap BN\Rightarrow OD=\left( MCD \right)\cap \left( NBD \right)\Rightarrow I\in OD$
Giới hạn:
Khi $E$ chạy đến $C$ thì $F$ chạy đến $B$và $I$ chạy đến $O$
Khi $E$ chạy đến $D$ thì $F$ chạy đến $D$và $I$ chạy đến $D$
Phần đảo:
Gọi $I$ là điểm bất kì trên đoạn $OD$, trong $\left( MCD \right)$ gọi $E=MI\cap CD$, trong $\left( NBD \right)$ gọi $F=NI\cap BD$ suy ra $\left( MNEF \right)$ là mặt phẳng quay quanh $MN$ căt các cạnh $DB,DC$tại các điểm $E,F$ và $I=ME\cap NF$.
Vậy tập hợp điểm $I$ là đoạn $OD$.
c) Gọi $J=MF\cap NE\Rightarrow \left\{ \begin{align}& J\in MF\subset \left( ADB \right) \\& J\in NE\subset \left( ACD \right) \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow J\in \left( ADB \right)\cap \left( ACD \right)$.
Mà $AD=\left( ADC \right)\cap \left( ADB \right)$.
Khi $E$ chạy đến $C$ thì $F$ chạy đến $B$và $J$ chạy đến $A$
Khi $E$ chạy đến $D$ thì $F$ chạy đến $D$và $J$ chạy đến $D$
Từ đó ta có tập hợp điểm $J$ là đường thẳng $AD$ trừ các điểm trong của đoạn $AD$.