Bài viết sau đây giới thiệu đến các cách giải bài toán cực trị số phức, cực trị số phức bằng hình học, bất đẳng thức số phức cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI CỰC TRỊ SỐ PHỨC
1. Môđun của số phức:
Số phức $z=a+bi$được biểu diễn bởi điểm M trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ $\overrightarrow{OM}$ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu $\left| z \right|=\left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Tính chất
- $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{z\bar{z}}=\left| \overrightarrow{OM} \right|$ · $\left| z \right|\ge 0,\ \forall z\in \mathbb{C}\ ,\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0$
- $\left| z.z’ \right|=\left| z \right|.\left| z’ \right|$ · $\left| \frac{z}{z’} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| z’ \right|},\left( z’\ne 0 \right)$ · $\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z\pm z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right|$
$\left| kz \right|=\left| k \right|.\left| z \right|,k\in \mathbb{R}$
Chú ý: $\left| {{z}^{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi \right|=\sqrt{{{({{a}^{2}}-{{b}^{2}})}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}={{\left| \overline{z} \right|}^{2}}=z.\overline{z}$.
Lưu ý:
- $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=k{{z}_{2}}\,\left( k\ge 0 \right)$
- $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=k{{z}_{2}}\,\left( k\le 0 \right)$.
- $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\ge \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=k{{z}_{2}}\,\left( k\le 0 \right)$
- $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\ge \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=k{{z}_{2}}\,\left( k\ge 0 \right)$
- ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)$
- ${{\left| z \right|}^{2}}=\left| \overline{z} \right|\left| z \right|={{\left| \overline{z} \right|}^{2}}$$$ $\forall z\in \mathbb{C}$
2.Một số quỹ tích nên nhớ
| Biểu thức liên hệ $x,y$ | Quỹ tích điểm M |
| $\text{ax}+by+c=0$
$\left| z-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|$ |
Đường thẳng $\Delta \text{:ax}+by+c=0$
Đường trung trực đoạn AB với$\left( A\left( a,b \right),B\left( c,d \right) \right)$ |
| ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ hoặc
$\left| z-a-bi \right|=R$ |
Đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính $R$ |
| ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}}$ hoặc
$\left| z-a-bi \right|\le R$ |
Hình tròn tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính $R$ |
| ${{r}^{2}}\le {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}}$hoặc
$r\le \left| z-a-bi \right|\le R$ |
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính lần lượt là $r,R$ |
| $\left[ \begin{align}& y=a{{x}^{2}}+bx+c \\& x=a{{y}^{2}}+by+c \\\end{align} \right.\left( c\ne 0 \right)$ | Parabol |
| $\frac{{{\left( x+a \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{\left( y+c \right)}^{2}}}{{{d}^{2}}}=1\,\left( 1 \right)$ hoặc
$\left| z-{{a}_{1}}-{{b}_{1}}i \right|+\left| z-{{a}_{2}}-{{b}_{2}}i \right|=2a$
|
$\left( 1 \right)$ Elip
$\left( 2 \right)$ Elip nếu $2a>AB\,\,,A\left( {{a}_{1}},{{b}_{1}} \right),B\left( {{a}_{2}},{{b}_{2}} \right)$ Đoạn AB nếu$2a=AB$ |
| $\frac{{{\left( x+a \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{{{\left( y+c \right)}^{2}}}{{{d}^{2}}}=1$ | Hypebol |
MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CẦN LƯU Ý:
- DẠNG 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
TQ1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-a-bi \right|=\left| z \right|$, tìm ${{\left| z \right|}_{Min}}$. Khi đó ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực đoạn $OA$ với $A\left( a;b \right)$
+ $\left\{ \begin{align}& {{\left| z \right|}_{Min}}=\frac{1}{2}\left| {{z}_{0}} \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\& z=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}i \\\end{align} \right.$
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện $\left| z-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|.$ Tìm${{\left| z \right|}_{\min }}$. Ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực đoạn $AB$ với $A\left( a;b \right),B\left( c;d \right)$
+ ${{\left| z \right|}_{Min}}=d\left( O,AB \right)=\frac{\left| {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-{{d}^{2}} \right|}{2\sqrt{{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}}$
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1:
+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|.$ Khi đó ta biến đổi
$\left| \overline{z}-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|\Leftrightarrow \left| z-a+bi \right|=\left| z-c-di \right|.$
+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện $\left| iz-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|.$ Khi đó ta biến đổi
$\left| iz-a-bi \right|=\left| iz-c-di \right|\Leftrightarrow \left| z+\frac{-a-bi}{i} \right|=\left| z+\frac{-c-di}{i} \right|\Leftrightarrow \left| z+b+ai \right|=\left| z+d+ci \right|.$
- DẠNG 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-a-bi \right|=R>0\,\left( \left| z-{{z}_{0}} \right|=R \right)$. Tìm ${{\left| z \right|}_{Max}},{{\left| z \right|}_{Min}}$. Ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$ bán kính $R$
+ $\left\{ \begin{align}& {{\left| z \right|}_{Max}}=OI+R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+R=\left| {{z}_{0}} \right|+R \\& {{\left| z \right|}_{Min}}=\left| OI-R \right|=\left| \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-R \right|=\left| \left| {{z}_{0}} \right|-R \right| \\\end{align} \right.$
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| iz-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| z+\frac{-a-bi}{i} \right|\,=\frac{R}{\left| i \right|}$
$\Leftrightarrow \left| z+b+ai \right|=R$
Ví dụ 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| z-a+bi \right|=R$
Ví dụ 3: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \left( c+di \right)z-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| z+\frac{-a-bi}{c+di} \right|=\frac{R}{\left| c+di \right|}=\frac{R}{\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}}$
Hay viết gọn $\left| {{z}_{0}}z-{{z}_{1}} \right|=R\Leftrightarrow \left| z-\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{0}}} \right|=\frac{R}{\left| {{z}_{0}} \right|}$
- DẠNG 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-c \right|+\left| z+c \right|=2a\,,\left( a>c \right)$ Khi đó ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là Elip: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=1$
+ $\left\{ \begin{align}& {{\left| z \right|}_{Max}}=a \\& {{\left| z \right|}_{Min}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}} \\\end{align} \right.$
TQ2:. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=2a$
Thỏa mãn $2a>\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc
Ta có
| Khi đề cho Elip dạng không chính tắc $\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=2a\,,\left( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|<2a \right)$và ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\ne \pm c,\pm ci$ ). Tìm Max, Min của $P=\left| z-{{z}_{0}} \right|$.
Đặt $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2c \\& {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} \\\end{align} \right.$ |
|
| Nếu $\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|=0$ | $\left\{ \begin{align}& {{P}_{Max}}=a \\& {{P}_{Min}}=b \\\end{align} \right.$ |
| Nếu $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|>a \\& {{z}_{0}}-{{z}_{1}}=k\left( {{z}_{0}}-{{z}_{2}} \right) \\\end{align} \right.$ | $\left\{ \begin{align}& {{P}_{Max}}=\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|+a \\& {{P}_{Min}}=\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|-a \\\end{align} \right.$ |
| Nếu $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|<a \\& {{z}_{0}}-{{z}_{1}}=k\left( {{z}_{0}}-{{z}_{2}} \right) \\\end{align} \right.$ | ${{P}_{Max}}=\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|+a$ |
| Nếu $\left| {{z}_{0}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{0}}-{{z}_{2}} \right|$ | ${{P}_{Min}}=\left| \left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|-b \right|$ . |
Xem thêm: Cách giải các dạng bài tập số phức nâng cao
II. BÀI TẬP MẪU CỰC TRỊ SỐ PHỨC
Câu 1: Tính giá trị $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$
Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau $\left| z-1 \right|=\sqrt{34},\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|$ và sao cho $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là lớn nhất. Khi đó giá trị $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $\sqrt{2}$ B. $10$ C. $2$ D. $\sqrt{130}$
Lời giải
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$
Gọi $z=x+iy,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\left| z-1 \right|=\sqrt{34}\Rightarrow M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{34}$
Mà $\left| z+1+mi \right|=\left| z+m+2i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi+1+mi \right|=\left| x+yi+m+2i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+m \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)x+2\left( m-2 \right)y-3=0$
Suy ra $M,N$ thuộc đường thẳng $d:2\left( m-1 \right)x+2\left( m-2 \right)y-3=0$
Do đó $M,N$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( C \right)$
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN$ nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ lớn nhất khi và chỉ khi $MN$ lớn nhất
$\Leftrightarrow MN$ đường kính của $\left( C \right)$. Khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2OI=2$
Câu 2: Số phức $z-i$ có môđun nhỏ nhất là
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-2-2i \right|=1$. Số phức $z-i$ có môđun nhỏ nhất là:
A. $\sqrt{5}-2$. B. $\sqrt{5}-1$. C. $\sqrt{5}+1$. D. $\sqrt{5}+2$.
Lời giải
Cách 1:
Đặt $w=z-i\Rightarrow z=w+i$.
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn hình học của số phức $w.$
Từ giả thiết $\left| z-2-2i \right|=1$ ta được:
$\left| w+i-2-2i \right|=1$$\Leftrightarrow \left| w-2-i \right|=1$$\Leftrightarrow \left| \left( x-2 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=1$$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$.
Suy ra tập hợp những điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn cho số phức $w$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;1 \right)$ bán kính $R=1$.
Giả sử $OI$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ với $A$ nằm trong đoạn thẳng $OI$.
Ta có $\left| w \right|=OM$
Mà $OM+MI\ge OI$ $\Leftrightarrow OM+MI\ge OA+AI$ $\Leftrightarrow OM\ge OA$
Nên $\left| w \right|$ nhỏ nhất bằng $OA=OI-IA=\sqrt{5}-1$ khi $M\equiv A.$
Cách 2:
Từ $\left| z-2-2i \right|=1$$\Rightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=1$ với $z=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
$a-2=\sin x;\text{ }b-2=\cos x$ $\Rightarrow a=2+\sin x,\text{ }b=2+\cos x$
Khi đó: $\left| z-i \right|=\left| 2+\sin x+\left( 2+\cos x \right)i-i \right|$ $=\sqrt{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}+{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}$$=\sqrt{6+\left( 4\sin x+2\cos x \right)}$
$\ge \sqrt{6-\sqrt{\left( {{4}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}}$ $=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}-1$
Nên $\left| z-i \right|$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{5}-1$ khi $\left\{ \begin{align}& 4\cos x=2\sin x \\& 4\sin x+2\cos x=-2\sqrt{5} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \sin x=-\frac{2\sqrt{5}}{5} \\& \cos x=\frac{-\sqrt{5}}{5} \\\end{align} \right.$
Ta được $z=\left( 2-\frac{2\sqrt{5}}{5} \right)+\left( 2-\frac{\sqrt{5}}{5} \right)i$
Cách 3:
Sử dụng bất đẳng thức $\left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|\le \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$
$\left| z-i \right|=\left| \left( z-2-2i \right)+\left( 2+i \right) \right|\ge \left| \left| z-2-2i \right|-\left| 2+i \right| \right|=\sqrt{5}-1$
Câu 3: Tính tỉ số $\frac{M}{m}$
Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=\left| \frac{2z+i}{z} \right|$ với $z$ là số phức khác $0$ và thỏa mãn $\left| z \right|\ge 2$. Tính tỉ số $\frac{M}{m}$.
A. $\frac{M}{m}=3$. B. $\frac{M}{m}=\frac{4}{3}$. C. $\frac{M}{m}=\frac{5}{3}$. D. $\frac{M}{m}=2$.
Lời giải
Ta có $P=\left| \frac{2z+i}{z} \right|=\frac{\left| 2z+i \right|}{\left| z \right|}\Rightarrow \frac{\left| 2z \right|-\left| i \right|}{\left| z \right|}\le P\le \frac{\left| 2z \right|+\left| i \right|}{\left| z \right|}\Leftrightarrow 2-\frac{1}{\left| z \right|}\le P\le 2+\frac{1}{\left| z \right|}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\le P\le \frac{5}{2}$.
Vậy $\frac{M}{m}=\frac{5}{3}$.
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của $\left| \bar{z}+1+i \right|$
Cho số phức $z$thoả mãn $\left| z-2-3i \right|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $\left| \bar{z}+1+i \right|$.
A. $\sqrt{13}+3$. B. $\sqrt{13}+5$. C. $\sqrt{13}+1$. D. $\sqrt{13}+6$.
Lời giải
Ta có $1={{\left| z-2-3i \right|}^{2}}=\left( z-2-3i \right).\overline{\left( z-2-3i \right)}=\left( z-2-3i \right)\left( \bar{z}-2+3i \right)$
$\Leftrightarrow 1=\left| \left( z-2-3i \right)\left( \bar{z}-2+3i \right) \right|\Leftrightarrow \left| \bar{z}-2+3i \right|=1\grave{\ }\Leftrightarrow \left| \bar{z}+1+i-3+2i \right|=1(*)$.
+Đặt $\text{w}=\bar{z}+1+i$, khi đó $\Leftrightarrow \left| \text{w}-3+2i \right|=1$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\text{w}=\bar{z}+1+i$ là đường tròn $\left( I;\,1 \right)$ và $\left| \text{w} \right|$ là khoảng cách từ gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường tròn. Do đó giá trị lớn nhất của $\left| \text{w} \right|$ chính là đoạn $OQ$.
$\Rightarrow {{\left| \text{w} \right|}_{\max }}=1+\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=1+\sqrt{13}$.
Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|$ nằm trong khoảng nào?
Xét tất cả các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3i+4 \right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|$ nằm trong khoảng nào?
A. $\left( 0;1009 \right)$. B. $\left( 1009;2018 \right)$. C. $\left( 2018;4036 \right)$. D. $\left( 4036;+\infty \right)$.
Lời giải
Ta có $1=\left| z-3i+4 \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| 3i-4 \right| \right|=\left| \left| z \right|-5 \right|\Rightarrow -1\le \left| z \right|-5\le 1\Rightarrow 4\le \left| z \right|\le 6$.
Đặt ${{z}_{0}}=4-3i\Rightarrow \left| {{z}_{0}} \right|=5,{{z}_{0}}^{2}=7-24i$.
Ta có $A={{\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|}^{2}}={{\left| {{z}^{2}}+{{z}_{o}}^{2} \right|}^{2}}=\left( {{z}^{2}}+{{z}_{o}}^{2} \right)\left( {{\overline{z}}^{2}}+{{\overline{{{z}_{o}}}}^{2}} \right)$$={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{o}} \right|}^{4}}+{{\left( z.\overline{{{z}_{o}}}+{{z}_{o}}.\overline{z} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{o}} \right|}^{2}}$
Mà $\left( z+{{z}_{o}} \right)\left( \overline{z}+\overline{{{z}_{o}}} \right)=1\Rightarrow z.\overline{{{z}_{o}}}+{{z}_{o}}.\overline{z}=1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{o}} \right|}^{2}}$
Suy ra $A={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{o}} \right|}^{4}}+{{\left( 1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| \overline{{{z}_{o}}} \right|}^{2}} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{o}} \right|}^{2}}=2{{\left| z \right|}^{4}}-2{{\left| z \right|}^{2}}+1201$.
Hàm số $y=2{{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+1201$ đồng biến trên $\left[ 4;6 \right]$ nên $A\ge {{2.4}^{4}}-{{2.4}^{2}}+1201=1681$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}& \left| z \right|=4 \\& \left| z+4-3i \right|=1 \\\end{align} \right.$.
Do đó $\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|$ nằm trong khoảng $\left( 1009;2018 \right)$.
Xem thêm:
Cách giải phương trình số phức và bài tập mẫu chi tiết
Cách bấm máy tính số phức các dạng từ A-Z
Lý thuyết và bài tập mẫu số phức chi tiết nhất
Lý thuyết và bài tập của số phức liên hợp
