Là một trong những dạng toán tìm cực trị của hàm số, tìm cực trị của hàm số bậc 4 là một dạng toán cơ bản mà các em cần biết! Sau đây Khoa Cử sẽ giới thiệu đến các em cách giải và các bài tập mẫu tìm số điểm cực trị của hàm số bậc 4 và các dạng bài tập cực trị của hàm số bậc 4 khác để các em tham khảo!
1. Cách giải tìm cực trị của hàm số bậc 4
1.1. Kiến thức cần nhớ
Cho hàm số: $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\,\,\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị là $\left( C \right)$.
+) Đồ thị $\left( C \right)$ có đúng một điểm cực trị khi${y}’=0$ có đúng một nghiệm $\Leftrightarrow ab\ge 0$.
+) Đồ thị $\left( C \right)$ có ba điểm cực trị khi ${y}’=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow ab<0$.
Khi đó ba điểm cực trị là: $A\left( 0;c \right)\,\,,\,\,B\left( -\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right)\,\,,\,\,C\left( \sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right)\,$ với $\,\Delta ={{b}^{2}}-4ac$
Độ dài các đoạn thẳng: $AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-\frac{b}{2a}}\,\,,\,\,BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$và tam giác $ABC$luôn là tam giác cân tại $A$.
1.2. Công thức nhanh một số trường hợp thường gặp
| DỮ KIỆN | CÔNG THỨC NHANH | CHỨNG MINH |
| $\widehat{BAC}=\alpha $ | $\cos \alpha =\frac{{{b}^{3}}+8a}{{{b}^{3}}-8a}\Leftrightarrow \tan \frac{\alpha }{2}=-\frac{8a}{{{b}^{3}}}$ | Áp dụng định lý cosin trong $\Delta ABC$ ta
có điều phải chứng minh. |
| $\Delta ABC$vuông | ${{b}^{3}}+8a=0$ | $\Delta ABC$ vuông cân $\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$
Hoặc: $\cos \alpha =\frac{{{b}^{3}}+8a}{{{b}^{3}}-8a}=0\Leftrightarrow {{b}^{3}}+8a=0$ |
| $\Delta ABC$ đều | ${{b}^{3}}+24a=0$ | $\Delta ABC$ đều $\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}$
Hoặc $\cos \alpha =\frac{{{b}^{3}}+8a}{{{b}^{3}}-8a}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{b}^{3}}+24a=0$ |
| ${{S}_{\Delta ABC}}$ | ${{S}_{\Delta ABC}}=\left| a \right|{{\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}} \right)}^{5}}$ | Gọi $I$ là trung điểm đoạn $BC$. Khi đó:
${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}BC.AI=\sqrt{\frac{-b}{2a}}.\left| -\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}-c \right|$ $=\left| a \right|{{\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}} \right)}^{5}}$ |
| Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ | $R=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left| a \right|b}$ | Áp dụng công thức
$R=\frac{A{{B}^{2}}}{2AI}=\frac{AB.BC.AC}{4{{S}_{\Delta ABC}}}\Leftrightarrow R=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left| a \right|b}$ |
| Bán kính
đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ |
$r=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|+\sqrt{16{{a}^{2}}-2a{{b}^{3}}}}$ | Áp dụng công thức $r=\frac{{{S}_{\Delta ABC}}}{p}$
$\Leftrightarrow r=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|+\sqrt{16{{a}^{2}}-2a{{b}^{3}}}}$ |
| $\Delta ABC$ có
trọng tâm là gốc tọa độ $O$ |
${{b}^{2}}-6ac=0$ | Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm cho$\Delta ABC$ ta có:
$-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{2a}+c=0$$\Leftrightarrow {{b}^{2}}-6ac=0$ |
| $\Delta ABC$ có
trực tâm là gốc tọa độ $O$ |
${{b}^{3}}+8a-4ac=0$ | $\Delta ABC$ có trực tâm là gốc tọa độ $O$ khi $\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow $${{b}^{3}}+8a-4ac=0$ |
| Phương trình
đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ |
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( \frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a}+c \right)y+c\left( \frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a} \right)=0$ |
|
| Phương trình
parabol đi qua 3 điểm cực trị |
$y=\frac{1}{2}b{{x}^{2}}+c$ | Lấy $y$chia $y’$ ta được phần dư là $r\left( x \right)=\frac{1}{2}b{{x}^{2}}+c$.
Khi đó phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị là $y=r\left( x \right)=\frac{1}{2}b{{x}^{2}}+c$ |
2. Bài tập mẫu các dạng bài tập cực trị của hàm số bậc 4
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số ${m}$ để hàm số ${y=2{{x}^{4}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+4}$ có ba điểm cực trị.
Lời giải
Cách 1:
Ta có ${y}’=8{{x}^{3}}-2\left( m+1 \right)x$.
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi ${y}’=0$có ba nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt khác
$\Leftrightarrow \frac{\left( m+1 \right)}{4}>0\Leftrightarrow m>-1$.
Cách 2:
Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi $ab<0\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1$.
Câu 2: Cho hàm số$y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
Lời giải
Cách 1:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có:${y}’=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x$.
Đồ thị số có ba điểm cực trị thì phương trình ${y}’=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>-1$$\left( * \right)$.
Khi đó, ba điểm cực trị là: $A\left( 0\,;\,{{m}^{2}} \right),$$B\left( \sqrt{m+1}\,;\,-2m-1 \right),$$C\left( -\sqrt{m+1}\,;\,-2m-1 \right)$
Ta thấy $A\in Oy$, $B,C$đối xứng nhau qua $Oy$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$.
Do đó tam giác $ABC$vuông cân tại $A$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$vuông tại $A$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.
$\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m+1}\,;\,-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right),\,$$\overrightarrow{AC}=\left( -\sqrt{m+1}\,;\,-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)$.
Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.
Chú ý có thể sử dụng điều kiện sau:
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ thì $H\left( 0\,;\,-2m-1 \right)$
Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $AH=BH$$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{4}}}=\sqrt{m+1}$$\Leftrightarrow m=0$thỏa mãn $\left( * \right)$.
Cách 2:
Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có ba điểm cực trị là $ab<0$$\Leftrightarrow m>-1$
Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi: ${{b}^{3}}+8a=0$$\Leftrightarrow -8{{\left( m+1 \right)}^{3}}+8=0$$\Leftrightarrow m=0$.
Câu 3: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-4\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2m-1$có đồ thị$\left( {{C}_{m}} \right)$. Xác định tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình $y’=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)>0$$\Leftrightarrow m>1$
Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là:
$A\left( 0\,;\,2m-1 \right)$; $B\left( \sqrt{2\left( m-1 \right)}\,;\,-4{{\left( m-1 \right)}^{2}}+2m-1 \right)$;$C\left( -\sqrt{2\left( m-1 \right)}\,;\,-4{{\left( m-1 \right)}^{2}}+2m-1 \right)$và tam giác $ABC$luôn là tam giác cân tại $A$vì:$AB=AC=\sqrt{2\left( m-1 \right)+16{{\left( m-1 \right)}^{4}}}$; $BC=2\sqrt{2\left( m-1 \right)}$.
Do đó tam giác $ABC$ đều khi $AB=BC$$\Leftrightarrow \sqrt{2\left( m-1 \right)+16{{\left( m-1 \right)}^{4}}}=2\sqrt{2\left( m-1 \right)}$.
Vậy $m=1+\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$ là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có ba điểm cực trị là $ab<0$$\Leftrightarrow m>-1$.
Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác đều khi: ${{b}^{3}}+24a=0$$\Leftrightarrow -64{{\left( m+1 \right)}^{3}}+24=0\Leftrightarrow m=1+\frac{\sqrt[3]{3}}{2}.$
Câu 4: Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số ${y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-1}$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng $4\sqrt{2}$.
Lời giải
Cách 1:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-1$ có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}’=0$có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m<0$.
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là:$A\left( 0\,;-1 \right)$, $B\left( -\sqrt{-m}\,;-{{m}^{2}}-1 \right)$, $C\left( \sqrt{-m}\,;-{{m}^{2}}-1 \right)$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$ nên $H\left( 0\,;-{{m}^{2}}-1 \right).$
$AH=\sqrt{{{\left( -{{m}^{2}} \right)}^{2}}}={{m}^{2}}$; $BC=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{-m} \right)}^{2}}}=2\sqrt{-m}$.
Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.{{m}^{2}}.2\sqrt{-m}=4\sqrt{2}$$\Leftrightarrow m=-2$.
Vậy $m=-2$.
Cách 2:
Hàm số có ba điểm cực trị khi $m<0$.
Áp dụng công thức: ${{S}_{\Delta ABC}}=\left| a \right|{{\left( \sqrt{-\frac{b}{2a}} \right)}^{5}}$,
ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{-\frac{2m}{2}} \right)}^{5}}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{-m}=\sqrt{2}\Leftrightarrow m=-2$.
Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.
Câu 5: Cho hàm số ${y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m-1}$, với ${m}$ là tham số thực. Xác định các giá trị của tham số ${m}$ để đồ thị hàm số có ba cực trị đồng thời các điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${{y}’=4{{x}^{3}}-4mx}$.
Hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có ba nghiệm phân biệt và ${y}’$ đổi dấu qua các nghiệm đó $\Leftrightarrow m>0$.
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
$A\left( 0\,;m-1 \right),\,\,B\left( -\sqrt{m}\,;-{{m}^{2}}+m-1 \right),\,$$\,C\left( \sqrt{m}\,;-{{m}^{2}}+m-1 \right)$.
Cách 1: Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right|.\left| {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right|={{m}^{2}}\sqrt{m}$ và $AB=\sqrt{{{m}^{2}}+m},BC=2\sqrt{m}$.
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{AB.AC.BC}{4{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{\left( {{m}^{2}}+m \right).2\sqrt{m}}{4{{m}^{2}}\sqrt{m}}$.
$R=1\Leftrightarrow \frac{\left( {{m}^{2}}+m \right)\sqrt{m}}{2{{m}^{2}}\sqrt{m}}=1\Leftrightarrow \frac{m+1}{2m}=1\Leftrightarrow m=1$.
Cách 2: Gọi $M$, $H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
$AB=\sqrt{{{m}^{2}}+m},AH={{m}^{2}}$. Ta có $\Delta AMI$ đồng dạng $\Delta AHB$$\Rightarrow R=\frac{A{{B}^{2}}}{2AH}$.
$R=1\Leftrightarrow \frac{A{{B}^{2}}}{2AH}=1$$\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}+m}{2{{m}^{2}}}=1\Leftrightarrow \frac{m+1}{2m}\Leftrightarrow m=1$,.
Vậy $m=1$.
Câu 6: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m$, với $m$là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng $1$.
Lời giải
Tập xác định: .
${y}’=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)$
Hàm số có 3 điểm cực trị khi ${y}’=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$
Khi đó tọa độ ba điểm cực trị: $A\left( 0\,;\,m \right),$$B\left( -\sqrt{m}\,;\,-{{m}^{2}}+\,m \right),$$C\left( \sqrt{m}\,;\,-{{m}^{2}}+\,m \right)$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$. Ta có $H\left( 0\,;\,-{{m}^{2}}+\,m \right)$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{AB.AC.BC}{4R}$ $\Leftrightarrow
Suy ra $m+{{m}^{4}}=2{{m}^{2}}$$\Leftrightarrow m\left( {{m}^{3}}-2m+1 \right)=0\Leftrightarrow m\left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=0$
Đối chiếu điều kiện ta được$S=\left\{ 1\,;\,\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right\}$.
Xem thêm:
Cách giải và bài tập mẫu tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối