Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn công thức tính thể tích hình trụ rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về công thức tính thể tích hình trụ cũng như các bài tập bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa mặt trụ tròn xoay:
Trong mp (P) cho hai đường thẳng D và l song song nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay (P) xung quanh D thì l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. D gọi là trục, l gọi là đường sinh, r là bán kính của mặt trụ đó.
2. Hình trụ tròn xoay:
Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành 1 hình được gọi là hình trụ tròn xoay.
– Hai đáy: là hai hình tròn: tâm $A$ bán kính $r=AD$ và tâm $B$ bán kính $r=BC$.
– Đường sinh: là đoạn $CD$.
– Mặt xung quanh: là mặt do đoạn $CD$ tạo thành khi quay, nếu cắt theo một đường sinh và trãi ra ta được mặt xung quanh là một hình chữ nhật.
– Chiều cao: $h=AB=CD$.
* Khối trụ tròn xoay: Phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ kể cả hình trụ đó được gọi là khối trụ tròn xoay.
Công thức tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ:
* Diện tích xung quanh của hình trụ bằng tích độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh. ${{S}_{xq}}=2\pi rl$ mà $h=l$ nên
* Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai đáy. ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2.{{S}_{\acute{a}y}}$ do đó
* Thể tích khối trụ: $V=Bh$
Một số tính chất:
– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là$r$) bởi một$mp\left( \alpha \right)$vuông góc với trục$\Delta $thì ta được đường tròn có tâm trên$\Delta $và có bán kính bằng $r$ với $r$ cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
– Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là$r$) bởi một$mp\left( \alpha \right)$không vuông góc với trục$\Delta $nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng $2r$và trục lớn bằng$\frac{2r}{\sin \varphi }$, trong đó $\varphi $ là góc giữa trục $\Delta $ và $mp\left( \alpha \right)$ với${{0}^{0}}<\varphi <{{90}^{0}}$.
– Cho $mp\left( \alpha \right)$ song song với trục $\Delta $ của mặt trụ tròn xoay và cách $\Delta $ một khoảng $k$:
+ Nếu $k<r$thì$mp\left( \alpha \right)$ cắt mặt trụ theo hai đường sinh$\Rightarrow $thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu $k=r$thì$mp\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu $k>r$thì$mp\left( \alpha \right)$ không cắt mặt trụ.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho khối trụ $\left( T \right)$ có bán kính đáy $R=1$, thể tích $V=5\pi $. Tính diện tích toàn phần của hình trụ tương ứng
A. $S=12\pi $ B. $S=11\pi $ C. $S=10\pi $ D. $S=7\pi $
Lời giải
Chọn A
Ta có $V=S.h$ với $S=\pi {{r}^{2}}=\pi $ nên $h=\frac{V}{S}=5$.
Diện tích toàn phần của trụ tương ứng là: ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}$$=2\pi .1.5+2\pi {{.1}^{2}}=12\pi $.
Bài tập 2:
Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $3a$. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A. $\frac{13\pi {{a}^{2}}}{6}$. B. $\frac{27\pi {{a}^{2}}}{2}$. C. $9\pi {{a}^{2}}$. D. $\frac{9\pi {{a}^{2}}}{2}$.
Lời giải
Gọi thiết diện qua trục là hình vuông $ABCD$. Theo đề thì $AB=AD=3a$.
Bán kính đáy của hình trụ là $R=\frac{AB}{2}=\frac{3a}{2}$.
Đường sinh của hình trụ là $l=AD=3a$.
Áp dụng công thức diện tích toàn phần của hình trụ, ta có ${{S}_{tp}}=2\pi Rl+2\pi {{R}^{2}}=2\pi .\frac{3a}{2}.3a+2\pi {{\left( \frac{3a}{2} \right)}^{2}}=\frac{27\pi {{a}^{2}}}{2}$.
Bài tập 3:
Một hình trụ có bán kính đáy bằng $50$cm và có chiều cao là $50$cm. Một đoạn thẳng $AB$ có chiều dài là $100$cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách $d$ từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.
A. $d=50$cm. B. $d=50\sqrt{3}$cm. C. $d=25$cm. D. $d=25\sqrt{3}$cm.
Lời giải
Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $O{O}’$ cắt đường tròn đáy tại $C$.
$O{O}’\,\text{//}\,BC\Rightarrow O{O}’\,\text{//}\,\left( ABC \right)\Rightarrow d\left( O{O}’,AB \right)=d\left( O{O}’,\left( ABC \right) \right)=d\left( O,\left( ABC \right) \right)=OH=d$. ($H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$).
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}=50\sqrt{3}$cm.
Vậy $d=OH=\sqrt{O{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=25$cm.
Bài tập 4:
Một khối trụ có bán kính đáy $r=2a$. $O,\,{O}’$ lần lượt là tâm đường tròn đáy. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục $\frac{a\sqrt{15}}{2}$, cắt đường tròn $\left( {{O}’} \right)$ tại hai điểm $A,\,B$. Biết thể tích của khối tứ diện $O{O}’AB$ bằng $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4}$. Độ dài đường cao của hình trụ bằng
A. $a$. B. $6a$. C. $3a$. D. $2a$.
Lời giải
Chọn C
Vẽ đường sinh $AC$, khi đó mặt phẳng $\left( ABC \right)$ song song với $O{O}’$ và cách $O{O}’$một khoảng $\frac{a\sqrt{15}}{2}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, ta có $d\left( O{O}’,\left( ABC \right) \right)=d\left( {O}’,\left( ABC \right) \right)={O}’I=\frac{a\sqrt{15}}{2}$.
Bán kính ${O}’A=2a$ suy ra $BA=2IA=2\sqrt{{O}'{{A}^{2}}-{O}'{{I}^{2}}}=2\sqrt{4{{a}^{2}}-\frac{15{{a}^{2}}}{4}}=a$.
Thể tích tứ diện $O{O}’AB$ bằng $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4}$ nên ta có :$\frac{1}{6}.O{O}’.I{O}’.AB=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{6}.O{O}’.\frac{a\sqrt{15}}{2}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4}\Leftrightarrow O{O}’=3a$.
Vậy hình trụ có chiều cao $O{O}’=3a$.
Bài tập 5:
Cho lăng trụ đứng$ABC.{A}'{B}'{C}’$ có độ dài cạnh bên bằng$2a$, đáy$ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, góc giữa$A{C}’$ và mặt phẳng$\left( BC{C}'{B}’ \right)$ bằng${{30}^{{}^\circ }}$. Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ$ABC.{A}'{B}'{C}’$ bằng
A. $\pi {{a}^{3}}$. B. $2\pi {{a}^{3}}$. C. $4\pi {{a}^{3}}$. D. $3\pi {{a}^{3}}$.
Lời giải
Gọi bán kính của hình trụ là$R$.
Ta có: $C{C}’\bot \left( ABC \right)$$\Rightarrow C{C}’\bot AI$.
Lại có tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên $AI\bot BC$ do đó $AI\bot \left( BC{C}'{B}’ \right)$ hay góc giữa $A{C}’$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}’ \right)$ là $\widehat{I{C}’A}$.
Xét tam giác $AI{C}’$ ta có: $I{C}’=\frac{AI}{\tan \widehat{I{C}’A}}$$=R\sqrt{3}$.
Xét tam giác $CI{C}’$ ta có: $I{{{C}’}^{2}}=I{{C}^{2}}+C{{{C}’}^{2}}$$\Leftrightarrow 3{{R}^{2}}={{R}^{2}}+4{{a}^{2}}$$\Rightarrow R=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là: $V=\pi {{R}^{2}}.h$$=4\pi {{a}^{3}}$.
Bài tập 6:
Một công ty sản xuất bút chì có dạng hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao $18\,\text{cm}$ và đáy là hình lục giác nội tiếp đường tròn đường kính $1\,\operatorname{cm}$. Bút chì được cấu tạo từ hai thành phần chính là than chì và bột gỗ ép, than chì là một khối trụ ở trung tâm có đường kính $\frac{1}{4}\,\text{cm}$, giá thành $540$ đồng$/{{\operatorname{cm}}^{3}}$. Bột gỗ ép xung quanh có giá thành $100$ đồng$/{{\operatorname{cm}}^{3}}$. Tính giá của một cái bút chì được công ty bán ra biết giá nguyên vật liệu chiếm $15,58\,%$ giá thành sản phẩm.
A. $10000$ đồng. B. $8000$ đồng. C. $5000$ đồng. D. $3000$ đồng.
Lời giải
Chọn A
Gọi $R$ và $r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều và bán kính của lõi than chì.
Ta có $R=\frac{1}{2}\,\operatorname{cm}$ và $r=\frac{1}{8}\,\operatorname{cm}$.
Suy ra diện tích của lục giác đều là $S=6.{{R}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}=6.\frac{1}{4}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$.
Gọi $V$ là thể tích của khối lăng trụ lục giác đều. ${{V}_{1}}$, ${{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích của khối than chì và bột gỗ dùng để làm ra một cây bút chì.
Ta có $V=S.h=\frac{3\sqrt{3}}{8}.18=\frac{27\sqrt{3}}{4}\,\left( {{\operatorname{cm}}^{3}} \right)$; ${{V}_{1}}=\pi {{r}^{2}}h=\pi .\frac{1}{{{8}^{2}}}.18=\frac{9\pi }{32}\,\left( {{\operatorname{cm}}^{3}} \right)$.
$\Rightarrow {{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\frac{27\sqrt{3}}{4}-\frac{9\pi }{32}\,\left( {{\operatorname{cm}}^{3}} \right)$.
Do đó, giá nguyên vật liệu dùng để làm một cây bút chì là $540{{V}_{1}}+100{{V}_{2}}$.
Vậy giá bán ra của cây bút chì là
$\left( 540{{V}_{1}}+100{{V}_{2}} \right).\frac{100}{15,58}=\left[ 540.\frac{9\pi }{32}+100\left( \frac{27\sqrt{3}}{4}-\frac{9\pi }{32} \right) \right].\frac{100}{15,58}\approx 10000$.
Bài tập 7:
Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích bằng $1{{m}^{2}}$ và cạnh $BC=x$$\left( m \right)$ để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật $ABCD$ thành hai hình chữ nhật $ADNM$ và $BCNM$, trong đó phần hình chữ nhật $ADNM$ được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng $AM$; phần hình chữ nhật $BCNM$ được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên. Tính gần đúng giá trị $x$ để thùng nước trên có thể tích lớn nhất.
A. $1,37m$. B. $1,02m$. C. $0,97m$. D. $1m$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $AB.BC=1$$\Rightarrow $$AB=\frac{1}{BC}=\frac{1}{x}$$\left( m \right)$.
Gọi $R$$\left( m \right)$ là bán kính đáy hình trụ inox gò được, ta có chu vi hình tròn đáy bằng $BC=x$$\left( m \right)$.
Do đó $2\pi R=x$$\Leftrightarrow $$R=\frac{x}{2\pi }$$\left( m \right)$; $BM=2R=\frac{x}{\pi }$$\Rightarrow $$AM=AB-BM=\frac{1}{x}-\frac{x}{\pi }$$\left( m \right)$.
Thể tích khối trụ inox gò được là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{x}{2\pi } \right)}^{2}}.\left( \frac{1}{x}-\frac{x}{\pi } \right)=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}}x\left( \pi -{{x}^{2}} \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x\left( \pi -{{x}^{2}} \right)$$\left( x>0 \right)$$\Rightarrow $${f}’\left( x \right)=\pi -3{{x}^{2}}$.
${f}’\left( x \right)=0$$\Rightarrow $$x=\sqrt{\frac{\pi }{3}}$; ${f}’\left( x \right)>0$$\Leftrightarrow $$x\in \left( 0;\sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)$ và ${f}’\left( x \right)<0$$\Leftrightarrow $$x\in \left( \sqrt{\frac{\pi }{3}};+\infty \right)$.
Vậy $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( \sqrt{\frac{\pi }{3}};+\infty \right)$.
Suy ra $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( \sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)=\frac{2\pi \sqrt{3\pi }}{9}$.
Từ đó ta có thể tích $V$ lớn nhất khi và chỉ khi $f\left( x \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow $$x=\sqrt{\frac{\pi }{3}}\approx 1,02$$\left( m \right)$.
Bài tập 8:
Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12 $\text{cm}$. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là:
A. $64\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{3}}$. B. $16\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{3}}$. C. $8\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{3}}$. D. $32\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{3}}$.
Lời giải
Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ lần lượt là $x$, $y$ $\left( x,\,y>0\, \right)$.
Khi đó ta có thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có kích thước lần lượt là $x$, $2y$
Theo giả thiết ta có $2.\left( x+2y \right)=12$ $\Leftrightarrow x+2y=6$.
Cách 1.
Thể tích khối trụ: $V=\pi {{y}^{2}}.x$ $=\pi {{y}^{2}}\left( 6-2y \right)=2\pi \left( -{{y}^{3}}+3{{y}^{2}} \right)$.
Vì $x+2y=6$ $\Rightarrow 0<2y<6\Leftrightarrow 0<y<3.$
Xét hàm số $f\left( y \right)=-{{y}^{3}}+3{{y}^{2}}$ trên khoảng $\left( 0\,;\,3 \right)$
Ta có ${f}’\left( y \right)=-3{{y}^{2}}+6y$ $\Rightarrow {f}’\left( y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& y=0 \\& y=2 \\\end{align} \right.$.
Bảng biến thiên:
Suy ra $\underset{\left( 0\,;\,3 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( y \right)=f\left( 2 \right)=4.$
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng $2\pi .4\,=\,\,8\pi \,\,\text{c}{{\text{m}}^{3}}$.
Cách 2.
Thể tích khối trụ: $V=\pi {{y}^{2}}x=\pi .x.y.y\le \pi {{\left( \frac{x+y+y}{3} \right)}^{3}}=\pi {{\left( \frac{x+2y}{3} \right)}^{3}}=\pi {{\left( \frac{6}{3} \right)}^{3}}=8\pi $
Dấu “=” xảy ra khi $x=y=2$.
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng $V\,=\,\,8\pi \,\,\text{c}{{\text{m}}^{3}}.$