Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp cũng như các bài tập bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến mặt cầu ngoại tiếp hình chóp một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
|
MẶT CẦU |
Một số công thức: | Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện |
|
Hình thành: Quay đường tròn tâm $I$, bán kính $R=\frac{AB}{2}$ quanh trục $AB$, ta có mặt cầu như hình vẽ. |
|
Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là mặt cầu đi qua tất cả đỉnh của đa diện đó. |
Mặt cầu nội tiếp đa diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của đa diện đó. |
2. CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI
|
CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP |
|||
| 1. Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh dưới một góc vuông. | 2. Hình chóp đều. | ||
|
Xét hình chóp có $SA\bot (ABC)$ và $\widehat{ABC}={{90}^{0}}$. Ta có $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}={{90}^{0}}$ nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm $I$ là trung điểm $SC$, bán kính |
Xét hình chóp có $SA\bot (ABCD)$ và $ABCD$ là hình chữ nhật hoặc hình vuông. Ta có: $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}$$=\widehat{SDC}={{90}^{0}}$ Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm $I$ là trung điểm $SC$, bán kính |
Xét hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $b$ và đường cao $SH=h$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là |
Xét hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng b và chiều cao $SO=h$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là |
| 3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. |
4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy. |
||
Xét hình chóp có $SA\bot $ và $SA=h$; bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là ${{r}_{\tilde{n}}}$. |
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính $$. Nếu đáy là tam giác đều cạnh $a$ thì ${{r}_{\tilde{n}}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Nếu đáy là hình vuông cạnh $a$ thì ${{r}_{\tilde{n}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Nếu đáy là hình chữ nhật cạnh $a,\,\,b$ thì ${{r}_{\tilde{n}}}=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{2}$. |
Xét hình chóp có mặt bên $(SAB)\bot $, bán kính ngoại tiếp đáy là ${{r}_{\tilde{n}}}$, bán kính ngoại tiếp $\Delta SAB$ là ${{r}_{b}}$, $d=AB=(SAB)\cap $. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $$. |
|
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập mẫu của công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương để có thể hiểu rõ hơn chương hình học không gian này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA=a\sqrt{6}$ và vuông góc với đáy $\left( ABCD \right)$. Tính theo $a$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$.
A. $8\pi {{a}^{2}}$. B. ${{a}^{2}}\sqrt{2}$. C. $2\pi {{a}^{2}}$. D. $2{{a}^{2}}$.
Lời giải
Gọi $O=AC\cap BD$, đường chéo $AC=a\sqrt{2}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $SC$.
Suy ra $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$. Suy ra $OI\,\text{//}\,SA$$\Rightarrow OI\bot \left( ABCD \right)$.
Hay $OI$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD$.
Mà $IS=IC$$\Rightarrow $$IA=IB=IC=ID=IS$. Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABCD$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABCD$: $R=SI=\frac{SC}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn là A.
Bài tập 2:
Trong không gian, cho hình chóp $S.ABC$ có $SA,AB,BC$ đôi một vuông góc với nhau và $SA=a,AB=b,BC=c.$ Mặt cầu đi qua $S,A,B,C$ có bán kính bằng
A. $\frac{2(a+b+c)}{3}.$ B. $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.$ C. $2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.$ D. $\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.$
Lời giải
Ta có: $\left\{ \begin{align}& SA\bot AB \\& SA\bot BC \\\end{align} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot AC.$
Ta có: $\left\{ \begin{align}& BC\bot SA \\& BC\bot AB \\\end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB.$
Gọi $O$ là trung điểm $SC$, ta có tam giác $SAC,SBC$ vuông lần lượt tại $A$ và $B$ nên:
$OA=OB=OC=OS=\frac{SC}{2}.$ Do đó mặt cầu đi qua $S,A,B,C$ có tâm $O$ và bán kính $R=\frac{SC}{2}.$
Ta có: $S{{C}^{2}}=S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$ suy ra $R=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.$
Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn là D.
Bài tập 3:
Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. $SA=5,\text{ }AB=3,\text{ }BC=4$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
A. $R=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. B. $R=5$. C. $R=\frac{5}{2}$. D. $R=5\sqrt{2}$.
Lời giải 1
Gọi $K$ là trung điểm $AC$. Gọi $M$là trung điểm $SA$.
Vì tam giác ABC vuông tại B nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác$ABC$.
Từ K dựng đường thẳng d vuông góc với $mp\left( ABC \right).$
Trong $mp\left( SAC \right)$dựng $MI$ là đường trung trực đoạn $SA$ cắt d tại$I$.
Khi đó điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính mặt cầu là $R=AI$.
Ta có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=5\Rightarrow AK=\frac{5}{2}$. Có $IK=MA=\frac{SA}{2}=\frac{5}{2}$.
Vậy $R=AI=\sqrt{A{{K}^{2}}+I{{K}^{2}}}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn là A.
Lời giải 2
Gọi $I$ là trung điểm của $SC.$ Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $IS=IC=IA$
Ta có $BC\bot AB;BC\bot SA\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \Delta SBC$vuông tại B.
Nên, ta có: $IS=IC=IB$
Từ và ta có $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bán kính $R=\frac{1}{2}SC.$
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=5$; $SC=\sqrt{A{{S}^{2}}+A{{C}^{2}}}=5\sqrt{2}$
Vậy $R=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$
Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn là A.
Bài tập 4:
Cho hình chóp $S.ABC$có $\widehat{BAC}=60{}^\circ $, $BC=a$, $SA\bot \left( ABC \right)$. Gọi $M$,$N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$. Bán kính mặt cầu đi qua các điểm $A,B,C,M,N$ bằng
A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ B. $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ C. $a$ D. $2a$
Lời giải
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
$\Rightarrow IA=IB=IC\text{ }\left( 1 \right)$.
Kẻ $IH$ là trung trực của $AC$.
$\left. \begin{matrix}IH\bot AC \\IH\bot SA \\\end{matrix} \right\}\Leftrightarrow IH\bot \left( SAC \right)\Leftrightarrow IH\bot \left( ANC \right)$.
Mà $\Delta ANC$ vuông tại $N$có $AC$ là cạnh huyền và $H$ là trung điểm $AC$$\Rightarrow IH$ là trục của $\Delta ANC\Rightarrow IA=IC=IN\text{ }\left( 2 \right)$.
Tương tự kẻ $IK$ là trung trực của $AB\Rightarrow IK$ là trục của $\Delta AMB\Rightarrow IA=IB=IM\text{ }\left( 3 \right)$.
$\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow IA=IB=IC=IM=IN\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp $A.BCMN$.
Định lí hàm sin trong $\Delta ABC$: $IA=\frac{BC}{2\sin \widehat{BAC}}=\frac{a}{2\sin 60{}^\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn là A.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết và công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!