Kỳ thi THPT Quốc gia sắp đến gần, vì vậy Khoa Cử muốn chia sẻ đến với các độc giả của chúng tôi về các công thức thể tích hình học 12 qua bài viết ngày hôm nay. Bài viết này sẽ tổng hợp công thức hình học 12, đồng thời đưa ra các chọn lọc giúp bạn ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hãy cùng tìm hiểu bài viết này ngay sau đây nhé!
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến chuyên đề số phức luyện thi đại học một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức trong dạng cũng như tính chất của thể tích khối đa diện này như sau:
1. Khái niệm về thể tích khối đa diện
Cho khối đa diện $\left( H \right)$, khi đó thể tích khối đa diện $\left( H \right)$ là số dương ${{V}_{(H)}}$thỏa mãn :
a) Nếu $\left( H \right)$là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì ${{V}_{(H)}}=1$.
b) Nếu hai khối đa diện $\left( {{H}_{1}} \right)$và $\left( {{H}_{2}} \right)$bằng nhau thì ${{V}_{({{H}_{1}})}}={{V}_{({{H}_{2}})}}$.
c) Nếu khối đa diện $\left( H \right)$ được phân chia thành hai khối đa diện $\left( {{H}_{1}} \right)$ và$\left( {{H}_{2}} \right)$thì
${{V}_{(H)}}={{V}_{({{H}_{1}})}}+{{V}_{({{H}_{2}})}}$.
Định lí : Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước $a,b,c$: $$
2. Thể tích khối chóp
+ Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}.B.h$
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy.
h : là chiều cao của khối chóp.
3. Thể tích khối lăng trụ
+ Thể tích khối lăng trụ $V=B.h$
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy.
h : là chiều cao của khối lăng trụ.
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao là độ dài cạnh bên.
4. Tỉ số thể tích.
Cho hình chóp $S.ABC\text{ }$. Trên các đoạn thẳng $SA,SB,SC$lần lượt lấy ba điểm $M,N,K$ khác với $S$ , khi đó ta có:
$\frac{{{V}_{S.MNK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SK}{SC}$.
+ Các công thức tính nhanh (nếu có), có chứng minh các công thức tính nhanh (nếu có thể).
Xem thêm: Chuyên đề thể tích khối đa diện đầy đủ chi tiết
5. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Bảng tóm tắt công thức hình học 12 được chúng tôi liệt kê sau đây:
Kiến thức cần nhớ:
1) Công thức tính: $V=\frac{1}{3}B.h$ ($B$: diện tích đáy và $h$ là chiều cao của khối chóp).
2) Chiều cao của khối chóp thường tính bằng độ dài cạnh vuông góc với đáy
Loại 1: Tính bằng công thức
Ở loại toán này trình bày cách tính thể tích khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy bằng sử dụng đơn thuần công thức $V=\frac{1}{3}B.h$, trong đó $B$: diện tích đáy và $h$ là chiều cao của khối chóp. Ta cần nhớ một số kiến thức cơ bản sau:
1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
| $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$
$AH.BC=AB.AC$ $A{{B}^{2}}=BH.BC$, $A{{C}^{2}}=CH.CB$ $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$, $A{{H}^{2}}=BH.CH$ |
 |
2. Các hệ thức trong tam giác thường
| Định lý hàm cosin:
${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A$ ${{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B$ ${{60}^{0}}$ |
 |
| Định lý hàm sin:
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ ($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$) |
 |
| Công thức tính diện tích tam giác:
${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}a.{{h}_{a}}=\frac{1}{2}b.{{h}_{b}}=\frac{1}{2}c.{{h}_{c}}$ ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$ ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{abc}{4R}$, ${{S}_{\Delta ABC}}=pr$ $S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$ |
Trong đó: $p=\frac{a+b+c}{2}$, $r$ bán kính đường tròn nội tiếp |
| Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
$m_{a}^{2}=\frac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-{{a}^{2}}}{4}$, $m_{b}^{2}=\frac{2\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-{{b}^{2}}}{4}$ $m_{c}^{2}=\frac{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-{{c}^{2}}}{4}$ |
 |
3. Diện tích đa giác:
| Tam giác vuông
Diện tích: ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC$ |
 |
| Diện tích tam giác đều
Diện tích: $S=\frac{A{{B}^{2}}.\sqrt{3}}{4}$. Đường cao: $h=\frac{AB\sqrt{3}}{2}$. |
 |
| Hình vuông:
Diện tích: $S=A{{B}^{2}}$ Đường chéo: $AC=BD=AB\sqrt{2}$ |
 |
| Hình chữ nhật:
Diện tích: $S=AB.AD$ Đường chéo:$AC=BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}$ |
 |
| Hình thoi:
Diện tích: $S=\frac{1}{2}AC.BD$ Đặt biệt: $1$ trong các góc trong của hình thoi bằng $60{}^\circ $, khi đó hình thoi được tạo bởi $2$ tam giác đều. |
 |
| Hình thang:
Diện tích: $S=\frac{\left( AD+BC \right)AH}{2}$ Đặc biệt: Hình thang vuông, hình thang cân |
. |
6. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY KHI BIẾT GÓC GIỮA ĐƯỜNG VÀ MẶT
Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Nếu $d\bot \left( P \right)$ thì $\widehat{\left( d,\left( P \right) \right)}=90{}^\circ .$
- Nếu $d$ không vuông góc với $\left( P \right)$ thì $\widehat{\left( d,\left( P \right) \right)}=\widehat{\left( d,d’ \right)}$ với $d’$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$
Chú ý: $0{}^\circ \le \widehat{\left( d,\left( P \right) \right)}\le 90{}^\circ .$
7. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY KHI BIẾT GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
– Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ cắt nhau theo giao tuyến $d$. Từ một điểm $I$ bất kì trên $d$ ta dựng đường thẳng $a$ trong $\left( P \right)$ vuông góc với $d$ và dựng đường thẳng $b$ trong $\left( Q \right)$ vuông góc với $d$. Khi đó góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b.$
– Diện tích hình chiếu của đa giác: $S’=S.\cos \alpha $
(với $S$ là diện tích đa giác nằm trong $\left( P \right)$ và $S’$ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên $\left( Q \right)$, $\alpha $ là góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$)
8. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY KHI BIẾT KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG.
1) Cần nhớ kiến thức cơ bản về xác định khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.
Xét tam giác $SHM$ vuông tại $H$, $HM$ vuông góc với $BC$ và $HK$ là đường cao
- Tính khoảng cách từ chân đường cao $H$ đến mặt bên $\left( SBC \right)$ ta sử dụng công thức
$HK=\frac{HM.SH}{\sqrt{H{{M}^{2}}+S{{H}^{2}}}}$
- Tính độ dài cạnh $SH$ ta sử dụng công thức
$SH=\frac{HM.HK}{\sqrt{H{{M}^{2}}-H{{K}^{2}}}}$
2) Trong trường hợp bài toán cho khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đáy đến mặt bên, ta phải dùng tỷ lệ để đưa về khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên.
9. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH LÀ CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN MẶT ĐÁY
+ Tóm tắt ngắn gọn kiến thức cơ bản cần nắm.
Công thức tính thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}.B.h$. (Trong đó: $B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao)
– Để tính thể tích của khối chóp, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định đường cao. Tính đường cao.
Bước 2: Nhận dạng đáy. Tính diện tích của đáy.
Bước 3: Tính thể tích theo công thức.
Chú ý:
1. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
2. Nếu $(SAB)\bot (ABC)$ thì đường cao $SH$của tam giác $SAB$chính là đường cao của khối chóp$S.ABC$
3. Để tính diện tích tam giác ta sử dụng các công thức sau:
$S=\frac{1}{2}{{h}_{a}}.a=\frac{1}{2}{{h}_{b}}.b=\frac{1}{2}{{h}_{c}}.c$.
$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin C$.
4. Tam giác $ABC$ có $h$ là đường cao kẻ từ $A$, $S$ là diện tích.
– Tam giác $ABC$ đều: $h=\frac{\sqrt{3}AB}{2}$, $S=\frac{\sqrt{3}}{4}A{{B}^{2}}$.
– Tam giác$ABC$vuông tại $A$: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}$, $h=\frac{AB.AC}{BC}$, $S=\frac{1}{2}AB.AC$.
– Tam giác$ABC$cân tại $A$: $h=\sqrt{A{{B}^{2}}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}}\ $, $S=\frac{1}{2}h.BC$.
5. Góc giữa cạnh bên và đáy
$\widehat{\left( SA,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SAH}$, $\widehat{\left( SB,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SBH}$, $\widehat{\left( SC,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SCH}$.
Tóm lại, $\widehat{\left( SM,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SMH}\ $, $\forall M\in \left( ABC \right)$.
6. Góc giữa mặt bên và đáy:
$\widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SKH}$,$\ \widehat{\left( \left( SAC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SIH}$.
Chú ý:$HK=A{A}’.\frac{BH}{AB}\ $, $HI=B{B}’.\frac{AH}{AB}$ (với $A{A}’$, $B{B}’$là các đường cao của tam giác$ABC$)
10. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG – ĐỀU
+ Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Như vậy các mặt bên của lăng trụ đứng là hình chữ nhật.
|
Chiều cao của hình lăng trụ đứng chính là cạnh bên của hình lăng trụ đứng.
|
+ Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Như vậy các mặt bên của hình chữ nhật là các hình chữ nhật bằng nhau.
Chú ý. Hình lăng trụ tứ giác đều là một hình hộp đứng đặc biệt có đáy là hình vuông. Hình hộp đứng thì chỉ cần đáy là hình bình hành chứ chưa là hình vuông.
Hình lăng trụ đều thì hiển nhiên là hình lăng trụ đứng.
+ Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
 |
Chiều cao của hình hộp đứng chính là cạnh bên của hình hộp.
|
+ Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
 |
Hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao lần lượt là a, b, c có:
|
+ Hình lập phương: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông ( hay là hình hộp chữ nhật có ba kích thước bằng nhau)
 |
Hình lập phương có cạnh bằng a có:
. |
Như vậy, bên trên là tất tần tật về tổng họp công thức thể tích hình học 12 rất quan trọng mà bạn nên ghi nhớ và hiểu thật rõ để có thể vượt qua được kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới. Mong rằng qua bài viết trên đã có thể giúp bạn dễ dàng hơn trong các chuyên đề số phức luyện thi đại học và đạt được điểm cao trong học tập nhé!
Xem thêm:
