Tổng hợp các công thức số phức chi tiết và đầy đủ

Kỳ thi THPT Quốc gia sắp đến gần, vì vậy Khoa Cử muốn chia sẻ một số công thức số phức với các độc giả của chúng tôi qua bài viết này này. Bài viết tổng hợp công thức giải nhanh số phức trong môn toán lớp 12, đồng thời đưa ra các chọn lọc giúp bạn ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hãy cùng tìm hiểu bài viết này ngay sau đây nhé!

1. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC

o Một số phức là một biểu thức dạng $z=a+bi$ với  $a,b\in \mathbb{R}$ và ${{i}^{2}}=-1$.

o $i$ được gọi là đơn vị ảo, $a$được gọi là phần thực và $b$được gọi là phần ảo của số phức $z=a+bi$.

Tập hợp các số phức được kí hiệu là $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$.

o Chú ý: – Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a$ là số thực.

– Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$là số thuần ảo.

– Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.

o Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a=c  \\b=d  \\\end{matrix} \right.\text{ }$với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

o Hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi;\text{ }{{z}_{2}}=-a-bi$ được gọi là hai số phức đối nhau.

2. SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Số phức liên hợp của $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ là $a-bi$ và được kí hiệu bởi $\overline{z}$ .

Một số tính chất của số phức liên hợp:

a) $\overline{\overline{z}}=z$$$                    b)$\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’}$              c) $\overline{z-z’}=\overline{z}-\overline{z’}$

c) $\overline{z.z’}=\overline{z}.\overline{z’}$               d) $\overline{\left( \frac{z}{{{z}’}} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{{{z}’}}}$

$z$ là số thực $\Leftrightarrow z=\overline{z}$ ; $z$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow z=-\overline{z}$.

3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức $z=a+bi$ với  $a,b\in \mathbb{R}$được biểu diễn bằng điểm $M\left( a;b \right)$.

4. MODULE CỦA SỐ PHỨC

o Môđun của số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là $\overline{z}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ .

o Như vậy, môđun của số phức $z$ là $\overline{z}$ chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là:$\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{z\overline{z}}$ .

o Một số tính chất của môđun:

$\begin{align}& \bullet \text{  }\left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0; \\& \bullet \text{  }\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}},\text{ }\left| -z \right|=\left| z \right|,\text{ }\left| \overline{z} \right|=\left| z \right| \\& \bullet \text{  }\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{  }\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z-z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right| \\& \bullet \text{  }\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|\text{       } \\& \bullet \text{  }\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\\end{align}$

cách tính modun số phức

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập của số phức liên hợp

5. CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC: CỘNG – TRỪ – NHÂN – CHIA SỐ PHỨC

Cho hai số phức $z=a+bi$; $z’=a’+b’i\text{ }$với $a,b,a’,b’\in \mathbb{R}$và số $k\in \mathbb{R}$.

  • Tổng hai số phức: $z+z’=a+a’+(b+b’)i$.
  • Hiệu hai số phức: $z+z’=a-a’+(b-b’)i$.
  • Số đối của số phức $z=a+bi$ là $-z=-a-bi$.
  • Nếu $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u’}$ theo thứ tự biểu diễn các số phức $z,z’$ thì

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u’}$ biểu diễn số phức $z+z’$.

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u’}$ biểu diễn số phức $z-z’$.

  • Nhân hai số phức:

$z.z’=\left( a+bi \right)\left( a’+b’i \right)=\left( a.a’-b.b’ \right)+\left( a.b’+a’.b \right)i$.

  • Số phức nghịch đảo: ${{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\overline{z}$.
  • Chia hai số phức:

Nếu $z\ne 0$thì $\frac{z’}{z}=\frac{z’.\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}$, nghĩa là nếu muốn chia số phức $z’$cho số phức $z\ne 0$ thì ta nhân cả tử và mẫu của thương $\frac{z’}{z}$cho $\overline{z}$.

  • Chú ý:

${{i}^{4k}}=1;\text{ }{{i}^{4k+1}}=i;\text{ }{{i}^{4k+2}}=-1;\text{ }{{i}^{4k+3}}=-i\text{  (k}\in \mathbb{Z})$..

6. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

Cho số phức $w$. Mỗi số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}=w$ được gọi là một căn thức bậc 2 của$w$ . Mỗi số phức $w\ne 0$ 0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau $\left( z\text{ }v\grave{a}z \right).$

o Trường hợp $w$ là số thực ($w=a\in \mathbb{R}$)

+ Khi $a>0$thì $w$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.

+ Khi $a<0$ nên $a=(-a){{i}^{2}}$, do đó $w$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{-a}.i$ và $-\sqrt{-a}.i$.

Ví dụ: Hai căn bậc 2 của $-1$  là $i$ và $i$ .

Hai căn bậc 2 của $-{{a}^{2}}\text{ }(a\ne 0)$ là $ai\text{ }\text{,}-ai$.

o   Trường hợp $w=a+bi\text{  }(a,b\in \mathbb{R};b\ne 0)$.

Cách 1:

Gọi $z=x+yi\text{  }(x,y\in \mathbb{R})$là căn bậc 2 của $w$ khi và chỉ khi ${{z}^{2}}=w$, tức là:

$\begin{align}& \text{    }{{(x+yi)}^{2}}=a+bi \\& \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a  \\2xy=b  \\\end{matrix} \right.\to x=…;y=… \\\end{align}$

Mỗi cặp số thực $\left( x;y \right)$ nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai $z=x+yi$ của số phức $w=a+bi$.

Cách 2:

Có thể biến đổi $w$ thành bình phương của một tổng, nghĩa là $w={{z}^{2}}$. Từ đó kết luận căn bậc hai của $w$ là $z$ và -$z$..

7. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Cho phương trình bậc 2: $A{{z}^{2}}+Bz+C=0\text{ }(1)$ trong đó $A,B,C$là những số phức$A\ne 0$.

Ta xét biểu thức như sau:

công thức số phức

o   Nếu $\Delta \ne 0$thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

công thức số phức

Trong đó $\sigma $là một căn bậc 2 của $\Delta $.

o   Nếu $\Delta =0$thì phương trình (1) có nghiệm kép:

công thức số phức toán 12

CHÚ Ý: 

o   Mọi phương trình bậc n: ${{A}_{0}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n-1}}z+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

o   Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực:

Cho phương trình bậc 2 :$A{{z}^{2}}+Bz+C=0\text{  }(A,B,C\in \mathbb{R};A\ne 0)$có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có: $\left\{ \begin{matrix}S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\frac{-B}{A}  \\P={{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{C}{A}\text{     }  \\\end{matrix} \right.$.

8. MỘT SỐ QUỸ TÍCH NÊN NHỚ

Biểu thức liên hệ $x,y$ Quỹ tích điểm M
$\text{ax}+by+c=0$

$\left| z-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|$

Đường thẳng $\Delta \text{:ax}+by+c=0$

Đường trung trực đoạn AB với$\left( A\left( a,b \right),B\left( c,d \right) \right)$

${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ hoặc

$\left| z-a-bi \right|=R$

Đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính $R$
${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}}$ hoặc

$\left| z-a-bi \right|\le R$

Hình tròn tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính $R$
${{r}^{2}}\le {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}}$hoặc

$r\le \left| z-a-bi \right|\le R$

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm $I\left( a;b \right)$, bán kính lần lượt là $r,R$
$\left[ \begin{align}& y=a{{x}^{2}}+bx+c \\& x=a{{y}^{2}}+by+c \\\end{align} \right.\left( c\ne 0 \right)$ Parabol
$\frac{{{\left( x+a \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{\left( y+c \right)}^{2}}}{{{d}^{2}}}=1\,\left( 1 \right)$ hoặc

$\left| z-{{a}_{1}}-{{b}_{1}}i \right|+\left| z-{{a}_{2}}-{{b}_{2}}i \right|=2a$

 

$\left( 1 \right)$ Elip

$\left( 2 \right)$ Elip nếu $2a>AB\,\,,A\left( {{a}_{1}},{{b}_{1}} \right),B\left( {{a}_{2}},{{b}_{2}} \right)$

Đoạn AB nếu$2a=AB$

$\frac{{{\left( x+a \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{{{\left( y+c \right)}^{2}}}{{{d}^{2}}}=1$ Hypebol.

9. PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN

Bài toán: Trong các số phức  thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức  để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp tổng quát: Ta sẽ đặt phương trình như sau:

công thức số phức

Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm  một biến. Tìm giá trị  lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được.

 

Sử dụngcác tính chất và các bất đẳng thức về môđun của số phức sau để giải quyết các bài toán min-max:

$\begin{align}& \bullet \text{ }\overline{\overline{z}}=z \\& \bullet \text{ }\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{z-z’}=\overline{z}-\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{z.z’}=\overline{z}.\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{\left( \frac{z}{z’} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z’}} \\\end{align}$

$\begin{align}& \bullet \text{  }\left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0; \\& \bullet \text{  }\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}},\text{ }\left| -z \right|=\left| z \right|,\text{ }\left| \overline{z} \right|=\left| z \right| \\& \bullet \text{  }\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{  }\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z-z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right| \\& \bullet \text{  }\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|\text{       } \\& \bullet \text{  }\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\\end{align}$

Kết hợp sử dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, BĐT Bunhia- Cốpxki.

§ Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các số thực $a,b,x,y$ ta luôn có ${{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ . Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

§ Bất đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto $\overrightarrow{u}\left( x;y \right)$ và $\overrightarrow{v}\left( x’;y’ \right)$ ta luôn có $\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u+v} \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{x{{‘}^{2}}+y{{‘}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( x-x’ \right)}^{2}}+{{\left( y-y’ \right)}^{2}}}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{x’}=\frac{y}{y’}<0$.

10. TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC

Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức $z$ trong đó số phức $z$ thỏa mãn một hệ thức nào đó. Khi đó ta giải bài toán này như sau:

1. Phương pháp tổng quát:

Đặt $z=x+yi\text{  }(x,y\in \mathbb{R})$. Khi đó số phức $z$ biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm$M\left( x;y \right)$. Biến đổi điều kiện của bài toán thành để tìm mối liên hệ giữa $x$ và $y$ từ đó suy ra tập hợp điểm M.

2.  Giả sử các điểm M, A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, a, b

o $|z-a|=|z-b|\Leftrightarrow MA=MB\Leftrightarrow $ M thuộc đường trung trực của đoạn AB

o $|z-a|=|z-b|=k(k\in \mathbb{R},k>0,k>|a-b|)\Leftrightarrow MA+MB=k$ $\Leftrightarrow M\in (E)$ nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.

3. Giả sử M và M’ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức zw = f(z)

Đặt z = x + yi  và w = u + vi $(x,y,u,v\in \mathbb{R})$.

Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa  x, y, u, v

o Nếu biết một hệ thức giữa x, y  ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra được tập hợp các điểm M’

o Nếu biết một hệ thức giữa u, v ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp điểm M’.

1. Các dạng phương trình đường thẳng

– Dạng tổng quát: $ax+by+c=0$ .                – Dạng đại số: $y=ax+b$ .

– Dạng tham số: $\left\{ \begin{align}& x={{x}_{0}}+at \\& y={{y}_{0}}+bt \\\end{align} \right.$                          – Dạng chính tắc: $\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}$ .

– Phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

– Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ biết hệ số góc k: $y=k(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}$

2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:

${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ với $c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{R}^{2}}$

Lưu ý điều kiện để phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0$ là phương trình đường tròn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$ có tâm $I\left( -a,-b \right)$ và bán kính$R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$.

3. Phương trình (Elip): $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$

Với hai tiêu cự ${{F}_{1}}(-c;0),{{F}_{2}}(c;0),{{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c$. Trục lớn 2a, trục bé 2b và ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$..

11. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

§ Bước 1:

Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phải nhẩm nghiệm của phương trình. Có các cách nhẩm nghiệm như sau:

o Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì nghiệm của phương trình là $x=1$.

o Tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì nghiệm của phương trình $x=-1$.

o Định lý Bézout:

Phần dư trong phép chia đa thức $f\left( x \right)$ cho $x-a$ bằng giá trị của đa thức $f(x)$  tại $x-a$. Tức là $f\left( x \right)=\left( x-a \right)g\left( x \right)-f\left( a \right)$

Hệ quả: Nếu $f\left( a \right)=0$ thì $f\left( x \right)\vdots \left( x-a \right)$.

Nếu $f\left( x \right)~\vdots \left( x-a \right)$ thì $f\left( a \right)=0$.

o Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm:

– Nhập phương trình vào máy tính.

– Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình.    Sau đó dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử.

o Sơ đồ Hoocne:

Với đa thức f(x) = ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{n-2}}{{x}^{n-2}}+  … +  {{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$  chia cho x – a thương là

g(x) = ${{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{n-2}}{{x}^{n-2}}+{{b}_{n-3}}{{x}^{n-3}}+ … +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}}$dư $r$.

Nếu $r=0$  thì $f\left( x \right)\vdots g\left( x \right)$, nghĩa là: $f\left( x \right)=\left( x-a \right)g\left( x \right)$ .

Ta đi tìm các hệ số ${{b}_{n-1}},{{b}_{n-2}},{{b}_{n-3}} … {{b}_{1}},{{b}_{0}}$bằng bảng sau đây.

${{a}_{n}}$ ${{a}_{n-1}}$ ${{a}_{n-2}}$ ${{a}_{2}}$ ${{a}_{1}}$ ${{a}_{0}}$
a $\begin{align}& \text{}{{b}_{n-1}} \\& ={{a}_{n}} \\\end{align}$ $\begin{align}& \text{   }{{b}_{n-2}} \\& =a{{b}_{n-1}}+{{a}_{n-1}} \\\end{align}$ $\begin{align}& \text{   }{{b}_{n-3}} \\& =a{{b}_{n-2}}+{{a}_{n-2}} \\\end{align}$ $\begin{align}& \text{   }{{b}_{1}} \\& =a{{b}_{2}}+{{a}_{2}} \\\end{align}$ $\begin{align}& \text{   }{{b}_{0}} \\& =a{{b}_{1}}+{{a}_{1}} \\\end{align}$ $\begin{align}& \text{   }r \\&=a{{b}_{0}}+{{a}_{0}} \\\end{align}$

§  Bước 2: Giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm..

Như vậy, bên trên là tất tần tật những công thức số phức toán 12 rất quan trọng mà bạn nên ghi nhớ và hiểu thật rõ để có thể vượt qua được kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới. Mong rằng qua bài viết trên đã có thể giúp bạn dễ dàng hơn trong việc tổng hợp các công thức số phức và đạt được điểm cao trong học tập nhé!

Xem thêm:

Cách giải các dạng bài tập số phức nâng cao

Cách giải và bài tập mẫu chia 2 số phức

Cách giải và bài tập mẫu các dạng bài tập số phức nâng cao

Lý thuyết và bài tập của modun số phức