Tổng hợp các công thức số phức chi tiết và đầy đủ

o $i$ được gọi là đơn vị ảo, $a$được gọi là phần thực và $b$được gọi là phần ảo của số phức $z=a+bi$.

Tập hợp các số phức được kí hiệu là $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$.

o Chú ý: – Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a$ là số thực.

– Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$là số thuần ảo.

– Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.

o Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a=c  \\b=d  \\\end{matrix} \right.\text{ }$với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

o Hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi;\text{ }{{z}_{2}}=-a-bi$ được gọi là hai số phức đối nhau.

Một số tính chất của số phức liên hợp:

a) $\overline{\overline{z}}=z$$$                    b)$\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’}$              c) $\overline{z-z’}=\overline{z}-\overline{z’}$

c) $\overline{z.z’}=\overline{z}.\overline{z’}$               d) $\overline{\left( \frac{z}{{{z}’}} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{{{z}’}}}$

$z$ là số thực $\Leftrightarrow z=\overline{z}$ ; $z$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow z=-\overline{z}$.

o Như vậy, môđun của số phức $z$ là $\overline{z}$ chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là:$\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{z\overline{z}}$ .

o Một số tính chất của môđun:

$\begin{align}& \bullet \text{  }\left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0; \\& \bullet \text{  }\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}},\text{ }\left| -z \right|=\left| z \right|,\text{ }\left| \overline{z} \right|=\left| z \right| \\& \bullet \text{  }\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{  }\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z-z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right| \\& \bullet \text{  }\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|\text{       } \\& \bullet \text{  }\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\\end{align}$

• Tổng hai số phức: $z+z’=a+a’+(b+b’)i$.
• Hiệu hai số phức: $z+z’=a-a’+(b-b’)i$.
• Số đối của số phức $z=a+bi$ là $-z=-a-bi$.
• Nếu $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u’}$ theo thứ tự biểu diễn các số phức $z,z’$ thì

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u’}$ biểu diễn số phức $z+z’$.

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u’}$ biểu diễn số phức $z-z’$.

• Nhân hai số phức:

$z.z’=\left( a+bi \right)\left( a’+b’i \right)=\left( a.a’-b.b’ \right)+\left( a.b’+a’.b \right)i$.

• Số phức nghịch đảo: ${{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\overline{z}$.
• Chia hai số phức:

Nếu $z\ne 0$thì $\frac{z’}{z}=\frac{z’.\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}$, nghĩa là nếu muốn chia số phức $z’$cho số phức $z\ne 0$ thì ta nhân cả tử và mẫu của thương $\frac{z’}{z}$cho $\overline{z}$.

• Chú ý:

${{i}^{4k}}=1;\text{ }{{i}^{4k+1}}=i;\text{ }{{i}^{4k+2}}=-1;\text{ }{{i}^{4k+3}}=-i\text{  (k}\in \mathbb{Z})$..

o Trường hợp $w$ là số thực ($w=a\in \mathbb{R}$)

+ Khi $a>0$thì $w$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.

+ Khi $a<0$ nên $a=(-a){{i}^{2}}$, do đó $w$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{-a}.i$ và $-\sqrt{-a}.i$.

Ví dụ: Hai căn bậc 2 của $-1$  là $i$ và $i$ .

Hai căn bậc 2 của $-{{a}^{2}}\text{ }(a\ne 0)$ là $ai\text{ }\text{,}-ai$.

o   Trường hợp $w=a+bi\text{  }(a,b\in \mathbb{R};b\ne 0)$.

Cách 1:

Gọi $z=x+yi\text{  }(x,y\in \mathbb{R})$là căn bậc 2 của $w$ khi và chỉ khi ${{z}^{2}}=w$, tức là:

$\begin{align}& \text{    }{{(x+yi)}^{2}}=a+bi \\& \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a  \\2xy=b  \\\end{matrix} \right.\to x=…;y=… \\\end{align}$

Mỗi cặp số thực $\left( x;y \right)$ nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai $z=x+yi$ của số phức $w=a+bi$.

Cách 2:

Có thể biến đổi $w$ thành bình phương của một tổng, nghĩa là $w={{z}^{2}}$. Từ đó kết luận căn bậc hai của $w$ là $z$ và -$z$..

Ta xét biểu thức như sau:

o   Nếu $\Delta \ne 0$thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

Trong đó $\sigma $là một căn bậc 2 của $\Delta $.

o   Nếu $\Delta =0$thì phương trình (1) có nghiệm kép:

CHÚ Ý: 

o   Mọi phương trình bậc n: ${{A}_{0}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n-1}}z+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

o   Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực:

Cho phương trình bậc 2 :$A{{z}^{2}}+Bz+C=0\text{  }(A,B,C\in \mathbb{R};A\ne 0)$có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có: $\left\{ \begin{matrix}S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\frac{-B}{A}  \\P={{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{C}{A}\text{     }  \\\end{matrix} \right.$.

$\left| z-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|$

Đường trung trực đoạn AB với$\left( A\left( a,b \right),B\left( c,d \right) \right)$

$\left| z-a-bi \right|=R$

$\left| z-a-bi \right|\le R$

$r\le \left| z-a-bi \right|\le R$

$\left| z-{{a}_{1}}-{{b}_{1}}i \right|+\left| z-{{a}_{2}}-{{b}_{2}}i \right|=2a$

$\left( 2 \right)$ Elip nếu $2a>AB\,\,,A\left( {{a}_{1}},{{b}_{1}} \right),B\left( {{a}_{2}},{{b}_{2}} \right)$

Đoạn AB nếu$2a=AB$

Phương pháp tổng quát: Ta sẽ đặt phương trình như sau:

Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm  một biến. Tìm giá trị  lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được.

$\begin{align}& \bullet \text{ }\overline{\overline{z}}=z \\& \bullet \text{ }\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{z-z’}=\overline{z}-\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{z.z’}=\overline{z}.\overline{z’} \\& \bullet \text{ }\overline{\left( \frac{z}{z’} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z’}} \\\end{align}$

$\begin{align}& \bullet \text{  }\left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0; \\& \bullet \text{  }\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}},\text{ }\left| -z \right|=\left| z \right|,\text{ }\left| \overline{z} \right|=\left| z \right| \\& \bullet \text{  }\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{  }\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z-z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right| \\& \bullet \text{  }\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|\text{       } \\& \bullet \text{  }\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\\end{align}$

Kết hợp sử dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, BĐT Bunhia- Cốpxki.

§ Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các số thực $a,b,x,y$ ta luôn có ${{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ . Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

§ Bất đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto $\overrightarrow{u}\left( x;y \right)$ và $\overrightarrow{v}\left( x’;y’ \right)$ ta luôn có $\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u+v} \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{x{{‘}^{2}}+y{{‘}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( x-x’ \right)}^{2}}+{{\left( y-y’ \right)}^{2}}}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{x’}=\frac{y}{y’}<0$.

1. Phương pháp tổng quát:

Đặt $z=x+yi\text{  }(x,y\in \mathbb{R})$. Khi đó số phức $z$ biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm$M\left( x;y \right)$. Biến đổi điều kiện của bài toán thành để tìm mối liên hệ giữa $x$ và $y$ từ đó suy ra tập hợp điểm M.

2.  Giả sử các điểm M, A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, a, b

o $|z-a|=|z-b|\Leftrightarrow MA=MB\Leftrightarrow $ M thuộc đường trung trực của đoạn AB

o $|z-a|=|z-b|=k(k\in \mathbb{R},k>0,k>|a-b|)\Leftrightarrow MA+MB=k$ $\Leftrightarrow M\in (E)$ nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.

3. Giả sử M và M’ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w = f(z)

Đặt z = x + yi  và w = u + vi $(x,y,u,v\in \mathbb{R})$.

Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa  x, y, u, v

o Nếu biết một hệ thức giữa x, y  ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra được tập hợp các điểm M’

o Nếu biết một hệ thức giữa u, v ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp điểm M’.

– Dạng tổng quát: $ax+by+c=0$ .                – Dạng đại số: $y=ax+b$ .

– Dạng tham số: $\left\{ \begin{align}& x={{x}_{0}}+at \\& y={{y}_{0}}+bt \\\end{align} \right.$                          – Dạng chính tắc: $\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}$ .

– Phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

– Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ biết hệ số góc k: $y=k(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}$

2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:

${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ với $c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{R}^{2}}$

Lưu ý điều kiện để phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0$ là phương trình đường tròn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$ có tâm $I\left( -a,-b \right)$ và bán kính$R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$.

3. Phương trình (Elip): $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$

Với hai tiêu cự ${{F}_{1}}(-c;0),{{F}_{2}}(c;0),{{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c$. Trục lớn 2a, trục bé 2b và ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$..

Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phải nhẩm nghiệm của phương trình. Có các cách nhẩm nghiệm như sau:

o Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì nghiệm của phương trình là $x=1$.

o Tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì nghiệm của phương trình $x=-1$.

o Định lý Bézout:

Phần dư trong phép chia đa thức $f\left( x \right)$ cho $x-a$ bằng giá trị của đa thức $f(x)$  tại $x-a$. Tức là $f\left( x \right)=\left( x-a \right)g\left( x \right)-f\left( a \right)$

Hệ quả: Nếu $f\left( a \right)=0$ thì $f\left( x \right)\vdots \left( x-a \right)$.

Nếu $f\left( x \right)~\vdots \left( x-a \right)$ thì $f\left( a \right)=0$.

o Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm:

– Nhập phương trình vào máy tính.

– Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình.    Sau đó dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử.

o Sơ đồ Hoocne:

Với đa thức f(x) = ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{n-2}}{{x}^{n-2}}+  … +  {{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$  chia cho x – a thương là

g(x) = ${{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{n-2}}{{x}^{n-2}}+{{b}_{n-3}}{{x}^{n-3}}+ … +{{b}_{1}}x+{{b}_{0}}$dư $r$.

Nếu $r=0$  thì $f\left( x \right)\vdots g\left( x \right)$, nghĩa là: $f\left( x \right)=\left( x-a \right)g\left( x \right)$ .

Ta đi tìm các hệ số ${{b}_{n-1}},{{b}_{n-2}},{{b}_{n-3}} … {{b}_{1}},{{b}_{0}}$bằng bảng sau đây.

§  Bước 2: Giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm..